物理與工程教學(xué)研究

一個(gè)軟鏈問(wèn)題的受力情況分析任海林 １理工大學(xué)機(jī)械江蘇２理工大學(xué)理學(xué)院江蘇收稿日期摘要對(duì)軟鏈在桌面滑落的問(wèn)題進(jìn)行了詳盡的受力情況分析研究結(jié)果表明不能忽略桌角處軟鏈內(nèi)部的張力變化．軟鏈問(wèn)題受力情況分析摩擦因數(shù)ＥＮＴＮＧＥｎ ｇ ｇｔｄｓｎｙｓ１問(wèn)題的提出在一些大學(xué)物理和習(xí)題指導(dǎo)書(shū)中［１，２］，通常安排了一道關(guān)于軟鏈的習(xí)題：如圖所示，一質(zhì)量均勻分布的鏈條總長(zhǎng)度為Ｌ，線密度為，與水平桌面的摩擦因數(shù)為其中有長(zhǎng)度為ａ的部分垂在桌面外松手后使它由靜止在重力作用下下落求軟鏈下垂長(zhǎng)度為ｘ時(shí)軟鏈的速度大?。ǔ＠玫诙蓙?lái)求解這道題建立如圖所示的坐標(biāo)系將軟鏈分成桌面部分和下垂部分對(duì)這兩個(gè)部分進(jìn)行受力情況的分析列出第二定律方程設(shè)ｘ為某時(shí)刻軟鏈下垂在桌面外的長(zhǎng)度分別列出豎直方向和水平方向的第二定律方程 圖 ＝ｘｖ

ｇλＬ 這時(shí)我們默認(rèn)在任意時(shí)刻總有Ｔ＝Ｔ２，２ 式相加 λＬｇ＝Ｌ

然后我們?cè)賹?duì)θ處θ段軟鏈進(jìn)行受力分析，如圖３所示我們可以得到軟鏈微元的運(yùn)動(dòng)方向利用變量變換ｖ 并進(jìn)行變量分 τ方向和垂直運(yùn)動(dòng)方向ｎ方向的兩個(gè)分ｄ ｄｔ

ｓ２θθ ＲｇλＬｘｇｄｘ＝ Ｒ從而得到軟鏈下垂部分長(zhǎng)度為ｘ時(shí)軟鏈的速度 ｎ

θ ｖ＝ ｇ２ ａ２＋μｘａ）ｘ＋ａ２Ｌ）］

以上是通常的解法但是在實(shí)際情況下桌角處軟鏈內(nèi)的張力Ｔ＝Ｔ２的條件成立嗎我們先來(lái)仔細(xì)分析桌角處軟鏈的受力情況然后再來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題．２桌角處軟鏈的受力情況分析假設(shè)有一段長(zhǎng)為Ｌ的質(zhì)量線密度為λλ

圖３θ處θ段軟鏈?zhǔn)芰Ψ治?量的不可伸長(zhǎng)的軟鏈把桌角看成一個(gè)半徑為

因?yàn)槭切×?/p>

的４圓弧桌子表面摩擦因數(shù)為

，桌角處的摩

ｓＴｎ 擦因數(shù)為μ２．在某一時(shí)刻軟鏈下落速度大這也是軟鏈在水平桌面滑行的速度大小軟鏈各處的加速度值為已通過(guò)桌角的部分長(zhǎng)為ｘ，且此時(shí)軟鏈與桌子仍完全接觸．首先在桌角處建立坐標(biāo)系如圖所示θ為分析的軟鏈微元與豎直方向的夾角，Ｔ２

θ式和式Ｔ＝θ＋ｆθ ｄＮ＝θ 由式式式可以得出ｄ平桌面上的部分軟鏈在θ＝０處受到的力１在桌面外的部分軟鏈在θ＝π處受到的力２

ｄＴθ２ ２

ｄＴμＴ＝ａθμ２ｇＴ１＝ａ

）Ｌｘ）２

）２）Ｔ２ ｇλＬ 由式可以知道應(yīng)該具有如下形式θ） ｆｆ（θ∫（ａ ２ｅθ＋＋Ｃ ｅ）＝圖２桌角處的坐標(biāo)系示意圖）＝

＝λ 物理與工程１θ ２） 現(xiàn)在我們求積分常數(shù)Ｃ及加速度ａ的表達(dá)１＋２ 式將式和式代入式和式此時(shí)Ｔ的表達(dá)式中有一個(gè)積分常數(shù)Ｃ．當(dāng) λＬ１

πＲ＋

ａ０時(shí)Ｔ值等于Ｔ當(dāng)θ＝π時(shí)Ｔ值等于Ｔ． ２

１＋２ １ λＬＲｇθ ２ｇλＬＲｇ

２ λｘ Ｒａ＋２＝ｇ ２π ２ ＝Ｔ πμ

根據(jù)線性代數(shù)的知識(shí)可以得出θ λｘｇ ｘＲν２１μ２ＲｇＬｘ ＋２ μ）（μ）［１＋ ２１Ｌ １（＋（Ｃ

π πｅ２μ２Ｌ Ｒ ２

Ｒ２Ｒπ２ πＲμＲ１＋ａ πμ

［１＋ ２）

ｅ２２Ｌ ｅ２２Ｌ 由此可以看出加速度值ａ和積分常數(shù)Ｃ均與摩擦因數(shù)μ１和μ２軟鏈速度ｖ軟鏈下垂長(zhǎng)度ｘ有關(guān)而且我們能夠根據(jù)式和式求出任意時(shí)刻桌角處任意位置軟鏈內(nèi)的張力大?。?dāng)質(zhì)量線密度為λ的軟鏈繞過(guò)半徑為Ｒ的桌角時(shí)由式和式給出圖所示的Ｔ１和Ｔ２的差值為ΔＴ＝Ｔ１ Ｒ

件同時(shí)滿足的情況下本文開(kāi)頭列出的通常解法才是正確的否則必須考慮到桌角處軟鏈內(nèi)張力的變化．３對(duì)軟鏈在水平桌面滑落的問(wèn)題進(jìn)行了詳盡的受力情況分析研究結(jié)果表明只有當(dāng)桌角的摩擦 １

因數(shù)為零而且桌角為理想的直角時(shí)桌面上的軟＝ｅ２２

２ 中認(rèn)為在桌角處軟鏈內(nèi)的張力Ｔ１＝Ｔ２是不合顯然這個(gè)差值是不等于零的換一句話說(shuō)在本文開(kāi)頭列出來(lái)的關(guān)于這個(gè)軟鏈問(wèn)題的通常解法

的那么在什么情況下可以認(rèn)為Ｔ１＝Ｔ２呢？可以看出Ｔ為零的條件是２，就是桌角的摩擦因數(shù)為零而且桌角為理想的直角也就是半徑Ｒ趨向于零只有在這兩個(gè)條

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