1-3線性時(shí)不變系統(tǒng)的

差分方程描述

下圖是用線性時(shí)不變系統(tǒng)的基本單元表示的一個(gè)較復(fù)雜的系統(tǒng)框圖：Dx(n)y(n)1/4w當(dāng)前1頁，總共56頁。錯：y(n)=x(n)+x(n-1)/4+x(n-1)正確做法：設(shè)節(jié)點(diǎn)w，線性時(shí)不變系統(tǒng)，則：

y(n)=w(n)+w(n-1)=>y(n-1)=w(n-1)+w(n-2)w(n)=x(n)+w(n-1)/4=>w(n-1)=x(n-1)+w(n-2)/4

遞推：y(n)=x(n)+w(n-1)/4+x(n-1)+w(n-2)/4=x(n)+x(n-1)+[w(n-1)+w(n-2)]/4y(n)=x(n)+x(n-1)+y(n-1)/4當(dāng)前2頁，總共56頁。*表示法一

對上述簡單的方程作一般性推廣，可以得到更復(fù)雜的離散時(shí)間系統(tǒng)的（線性）差分方程，有兩種表達(dá)形式：當(dāng)前3頁，總共56頁。當(dāng)前4頁，總共56頁。上述數(shù)學(xué)表達(dá)式是一個(gè)N階的線性常系數(shù)差分方程，即差分方程可以描述離散時(shí)間系統(tǒng)，但就系統(tǒng)特性而言，系統(tǒng)可能是線性的、時(shí)不變的，也可能不是。當(dāng)前5頁，總共56頁。當(dāng)前6頁，總共56頁。1、經(jīng)典解法用模擬系統(tǒng)中求解微分方程的方法，由邊界條件求待定系數(shù)，太麻煩，實(shí)際中很少用。2、迭代（遞推）解法方法簡單，適合計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，不容易得到封閉形式的解（一般只能得到數(shù)值解）。當(dāng)前7頁，總共56頁。3、變換域方法將差分方程變換到Z變換域，方法簡單實(shí)用，是解差分方程的主要方法，后面介紹。事實(shí)上，由差分方程的形式可以發(fā)現(xiàn)：求n時(shí)刻的輸出，需要知道n時(shí)刻及n時(shí)刻以前的輸入序列值，同時(shí)還要知道n時(shí)刻以前的N個(gè)輸出信號（狀態(tài)），只有在已知輸入序列和N個(gè)初始條件的情況下，才能求得唯一解，這一點(diǎn)很容易用迭代過程實(shí)現(xiàn)。當(dāng)前8頁，總共56頁。y(-1)=0當(dāng)前9頁，總共56頁。例1-3-1續(xù)：初始條件y(-1)=1;n<-1,y(n)=0;解：y(-1)=1，向n≥0方向遞推：n=0:y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+an=1:y(1)=ay(0)+δ(1)=a(1+a)n=2:y(2)=ay(1)+δ(2)=a2(1+a)……對于n≥0:y(n)=ay(n-1)+δ(n)=an(1+a)對于同一差分方程和相同輸入信號，如果初始條件不同，得出的系統(tǒng)輸出不同。當(dāng)前10頁，總共56頁。例1-3-1續(xù)：初始條件y(0)=0;n>0,y(n)=0;解：y(0)=0,向n<0方向遞推：y(n-1)=a-1(y(n)-δ(n))n=1:y(0)=a-1(y(1)-δ(1))=0n=0:y(-1)=a-1(y(0)-δ(0))=-a-1n=-1:y(-2)=a-1(y(-1)-δ(-1))=-a-2……n=-m+1:y(-m)=a-1(y(-m+1)-δ(-m+1))=-a-m令n=-m,即：y(n)=-anu(-n-1),n≤0.顯然，系統(tǒng)為一非因果系統(tǒng)，即非因果的初始條件，導(dǎo)出非因果系統(tǒng)。當(dāng)前11頁，總共56頁。同樣，系統(tǒng)的線性性和時(shí)不變特性也與初始條件有關(guān)，看下面的例子：當(dāng)前12頁，總共56頁。例1-3-2：討論差分方程的線性性與時(shí)變特性當(dāng)前13頁，總共56頁。為什么？當(dāng)前14頁，總共56頁。由y(-1)=0,可推得：n<0,y(n)=0當(dāng)前15頁，總共56頁。結(jié)論：一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，也并不一定代表線性時(shí)不變系統(tǒng)，其決定性因素是初始(邊界)條件。上述例子中：當(dāng)y(0)=1時(shí)，是非線性的時(shí)變系統(tǒng)；當(dāng)y(0)=0時(shí)，是線性的時(shí)變系統(tǒng)；當(dāng)y(-1)=1時(shí)，是非線性的時(shí)不變系統(tǒng)；只有當(dāng)y(-1)=0時(shí)，是線性時(shí)不變系統(tǒng)；當(dāng)前16頁，總共56頁。結(jié)論：當(dāng)y(-1)=0時(shí)，系統(tǒng)是因果、線性、時(shí)不變系統(tǒng)；

y(n)=x(n)+ay(n-1)且當(dāng)|a|<1時(shí)，差分方程是穩(wěn)定系統(tǒng)。差分方程、邊界條件和常系數(shù)共同決定系統(tǒng)的特性。TheEnd當(dāng)前17頁，總共56頁。當(dāng)前18頁，總共56頁。當(dāng)前19頁，總共56頁。信號流曲線依次為：模擬信號采樣信號（量化后）數(shù)字信號處理后的數(shù)字信號輸出模擬信號當(dāng)前20頁，總共56頁。當(dāng)前21頁，總共56頁。當(dāng)前22頁，總共56頁。通過開關(guān)電路實(shí)現(xiàn)當(dāng)前23頁，總共56頁。當(dāng)前24頁，總共56頁。從頻域角度分析信號的變化看下面的推導(dǎo)！當(dāng)前25頁，總共56頁。1)、周期信號的傅立葉級數(shù)展開以T為周期的信號M(t)可以用傅立葉級數(shù)展開為基頻和各次諧波分量的線性組合，而不為零的最大諧波分量，對應(yīng)信號的最高頻率:當(dāng)前26頁，總共56頁。2)、沖擊函數(shù)串的傅立葉級數(shù)展開當(dāng)前27頁，總共56頁。2)、沖擊函數(shù)串的傅立葉級數(shù)展開在|t|<T/2的區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)沖擊脈沖δ(t),當(dāng)m≠0時(shí),δ(t-mT)在積分區(qū)間外。利用沖擊函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)前28頁，總共56頁。3)、的傅立葉變換相當(dāng)于常數(shù)的傅立葉變換，由于：所以：于是：當(dāng)前29頁，總共56頁。的傅立葉變換利用復(fù)指數(shù)的性質(zhì)當(dāng)前30頁，總共56頁。k當(dāng)前31頁，總共56頁。當(dāng)前32頁，總共56頁。時(shí)域的離散性對應(yīng)頻域的周期性，反之亦然。當(dāng)前33頁，總共56頁。當(dāng)前34頁，總共56頁。當(dāng)前35頁，總共56頁。當(dāng)前36頁，總共56頁。對于正弦信號必須大于2倍最高頻域當(dāng)前37頁，總共56頁。時(shí)域的解釋采樣頻率越高，對應(yīng)在時(shí)域上采樣周期縮短，采樣點(diǎn)增多。采樣點(diǎn)增多，說明能夠應(yīng)付更為劇烈的信號變化?，F(xiàn)實(shí)中，用A/D轉(zhuǎn)換器來實(shí)現(xiàn)，所以A/D的采樣頻率顯得非常重要。當(dāng)前38頁，總共56頁。當(dāng)前39頁，總共56頁。實(shí)際的信號不可能是帶限信號，需要在抽樣前，增加抗混疊（Anti-Aliasing）濾波器，濾除高于Ωs/2的頻率分量；（低通）不可能實(shí)現(xiàn)理想采樣，而是用寬度為τ的矩形脈沖串，主要差別是Ak不是常數(shù)，但仍符合Nyquist定理（參見程佩青P39）；量化編碼是將無限精度的抽樣信號變成有限字長表示的數(shù)字信號，不可避免會引起失真，即所謂的有限字長效應(yīng)。因而或多或少的會帶來信號的失真！實(shí)際的考慮：當(dāng)前40頁，總共56頁。當(dāng)前41頁，總共56頁。用理想低通濾波器取抽樣信號頻譜的第一個(gè)周期，即可恢復(fù)原信號的頻譜，因而可恢復(fù)原信號。頻域的表達(dá)式非常簡單即：當(dāng)前42頁，總共56頁。內(nèi)插函數(shù)當(dāng)前43頁，總共56頁。當(dāng)前44頁，總共56頁。當(dāng)前45頁，總共56頁。當(dāng)前46頁，總共56頁。當(dāng)前47頁，總共56頁。當(dāng)前48頁，總共56頁。當(dāng)前49頁，總共56頁。當(dāng)前50頁，總共56頁。零階保持器能夠起到信號恢復(fù)的作用；與理想濾波器相比，零階保持器的輸出含有更多的高頻分量，因此需要增加平滑濾波器去除其中的高頻分量。當(dāng)前51頁，總共56頁。當(dāng)前52頁，總共56頁。當(dāng)前53頁，總共56頁。當(dāng)前54頁，總共56頁。當(dāng)前55頁，總共56頁。第一章小結(jié)離散時(shí)間信號常用序列，是信號處