2022-2023學年高一下數學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，這是某校高一年級一名學生七次月考數學成績（滿分100分）的莖葉圖去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和方差分別是()A．87,9.6 B．85,9.6 C．87,5,6 D．85,5.62．已知函數的值域為，且圖像在同一周期內過兩點，則的值分別為（）A． B．C． D．3．若，滿足，則的最大值為（）．A． B． C． D．4．己知關于的不等式解集為，則突數的取值范圍為()A． B．C． D．5．函數的最小值為（）A． B． C． D．6．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A． B． C． D．7．已知向量，，若，則銳角α為()A．45° B．60° C．75° D．30°8．下面的程序運行后，輸出的值是（）A．90 B．29 C．13 D．549．已知直線l過點且與直線垂直，則l的方程是（）A． B．C． D．10．若直線過點，則此直線的傾斜角是（）A． B． C． D．90。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列是等差數列，記數列的前項和為，若，則________.12．設數列（）是等差數列，若和是方程的兩根，則數列的前2019項的和________13．__________．14．已知，則_________.15．在中，已知，則下列四個不等式中，正確的不等式的序號為____________①②③④16．函數的反函數的圖象經過點，那么實數的值等于____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，，，，，，，分別為棱，的中點.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.18．2019年，我國施行個人所得稅專項附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項專項附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調查專項附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項專項附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現從這6人中隨機抽取2人接受采訪.員工項目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結果；（ii）設為事件“抽取的2人享受的專項附加扣除至少有一項相同”，求事件發(fā)生的概率.19．如圖所示，是邊長為的正三角形，點四等分線段．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若點是線段上一點，且，求實數的值．20．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當為何值時，PB⊥AC？21．已知數列的前項和為，且，.（1）試寫出數列的任意前后兩項（即、）構成的等式；（2）用數學歸納法證明：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據為82，84，84，86，89，由此能求出所剩數據的平均數和方差．【詳解】平均數，方差，選D.【點睛】本題考查所剩數據的平均數和方差的求法，考查莖葉圖、平均數、方差的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2、C【解析】

先利用可求出的值，再利用、兩點橫坐標之差的絕對值為周期的一半，計算出周期，再由可計算出的值，從而可得出答案．【詳解】由題意可知，，、兩點橫坐標之差的絕對值為周期的一半，則，，因此，，，故選C．【點睛】本題考查三角函數的解析式的求解，求解步驟如下：（1）求、：，；（2）求：根據題中信息求出最小正周期，利用公式求出的值；（3）求：將對稱中心點和最高、最低點的坐標代入函數解析式，若選擇對稱中心點，還要注意函數在該點附近的單調性．3、D【解析】作出不等式組，所表示的平面區(qū)域，如圖所示，當時，可行域為四邊形內部，目標函數可化為，即，平移直線可知當直線經過點時，直線的截距最大，從而最大，此時，，當時，可行域為三角形，目標函數可化為，即，平移直線可知當直線經過點時，直線的截距最大，從而最大，，綜上，的最大值為．故選．點睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內作出可行域．(2)考慮目標函數的幾何意義，將目標函數進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據目標函數的類型，并結合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數即可求出最大值或最小值．注意解答本題時不要忽視斜率不存在的情形.4、C【解析】

利用絕對值的幾何意義求解，即表示數軸上與和－2的距離之和，其最小值為．【詳解】∵，∴由解集為，得，解得．故選C．【點睛】本題考查絕對值不等式，考查絕對值的性質，解題時可按絕對值定義去絕對值符號后再求解，也可應用絕對值的幾何意義求解．不等式解集為，可轉化為的最小值不小于1，這是解題關鍵．5、D【解析】

令，即有，則，運用基本不等式即可得到所求最小值，注意等號成立的條件.【詳解】令，即有，則，當且僅當，即時，取得最小值.故選：【點睛】本題考查基本不等式，配湊法求解，屬于基礎題.6、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.7、D【解析】

根據向量的平行的坐標表示，列出等式，即可求出．【詳解】因為，所以，又為銳角，因此，即，故選D．【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示．8、D【解析】

根據程序語言的作用，模擬程序的運行結果，即可得到答案．【詳解】模擬程序的運行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，執(zhí)行循環(huán)體，，退出循環(huán)，輸出的值為1．故選：D．【點睛】本題考查利用模擬程序執(zhí)行過程求輸出結果，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎題．9、A【解析】

直線2x–3y+1=0的斜率為則直線l的斜率為所以直線l的方程為故選A10、A【解析】

根據兩點間斜率公式,可求得斜率.再由斜率與傾斜角關系即可求得直線的傾斜角.【詳解】直線過點則直線的斜率設傾斜角為,根據斜率與傾斜角關系可得由直線傾斜角可得故選:A【點睛】本題考查了直線斜率的求法,斜率與傾斜角關系,屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

由等差數列的求和公式和性質可得，代入已知式子可得．【詳解】由等差數列的求和公式和性質可得：＝，且，∴.故答案為：1．【點睛】本題考查了等差數列的求和公式及性質的應用，屬于基礎題．12、2019【解析】

根據二次方程根與系數的關系得出，再利用等差數列下標和的性質得到，然后利用等差數列求和公式可得出答案.【詳解】由二次方程根與系數的關系可得，由等差數列的性質得出，因此，等差數列的前項的和為，故答案為.【點睛】本題考查等差數列的性質與等差數列求和公式的應用，涉及二次方程根與系數的關系，解題的關鍵在于等差數列性質的應用，屬于中等題.13、【解析】

在分式的分子和分母上同時除以，然后利用極限的性質來進行計算.【詳解】，故答案為：.【點睛】本題考查數列極限的計算，解題時要熟悉一些常見的極限，并充分利用極限的性質來進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解析】由題意可得：點睛：熟記同角三角函數關系式及誘導公式，特別是要注意公式中的符號問題；注意公式的變形應用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問題時簡化解題過程的關鍵所在．15、②③【解析】

根據，分當和兩種情況分類討論，每一類中利用正、余弦函數的單調性判斷，特別注意，當時，.【詳解】當時，在上是增函數，因為，所以，因為在上是減函數，且，所以，當時，且，因為在上是減函數，所以，而，所以.故答案為：②③【點睛】本題主要考查了正弦函數與余弦函數的單調性在三角形中的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.16、【解析】

根據原函數與其反函數的圖象關于直線對稱，可得函數的圖象經過點，由此列等式可得結果.【詳解】因為函數的反函數的圖象經過點，所以函數的圖象經過點，所以，即，解得.故答案為：【點睛】本題考查了原函數與其反函數的圖象的對稱性，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）由勾股定理得，已知，故得證；（2）由題，E為AB中點，，故ABCD為平行四邊形，，由F為PB中點，EF為三角形APB的中位線，故，AP和AD相交于A，EF和CE相交于E，故得證．【詳解】證明：（1）因為，，，所以，由所以.因為，，所以平面.（2）因為為棱的中點，所以，因為，所以.因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.因為，分別為棱，的中點，所以，所以平面.因為，平面，平面，所以平面平面.【點睛】本題考查直線和平面垂直的判定，平面和平面平行的判斷，比較基礎．18、（I）6人，9人，10人；（II）（i）見解析；（ii）.【解析】

（I）根據題中所給的老、中、青員工人數，求得人數比，利用分層抽樣要求每個個體被抽到的概率是相等的，結合樣本容量求得結果；（II）（I）根據6人中隨機抽取2人，將所有的結果一一列出；（ii）根據題意，找出滿足條件的基本事件，利用公式求得概率.【詳解】（I）由已知，老、中、青員工人數之比為，由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人.（II）（i）從已知的6人中隨機抽取2人的所有可能結果為,,,,共15種；（ii）由表格知，符合題意的所有可能結果為,,,,共11種，所以，事件M發(fā)生的概率.【點睛】本小題主要考查隨機抽樣、用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數、古典概型即其概率計算公式等基本知識，考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）以作為基底，表示出，然后利用數量積的運算法則計算即可求出；（Ⅱ）由平面向量數量積的運算及其運算可得：設，又，所以，解得，得解．【詳解】（Ⅰ）由題意得，則（Ⅱ）因為點Q是線段上一點，所以設，又，所以，故，解得，因此所求實數m的值為.【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算以及數量積的運算以及平面向量基本定理的應用,屬于中檔題.20、（1）見解析；（2）見解析【解析】

1）連結BD交AC于O，連結EO,由EO//PB可證PB//平面EA．（2）由側面PAD⊥底面ABCD，，可證，又PAD是正三角形，所以AE⊥平面PCD．（3）設N為AD中點，連接PN，則，可證PN⊥底面ABCD，所以要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，由相似三角形可求得比值．【詳解】（1）連結BD交AC于O，連結EO,因為O，E分別為BD.PD的中點,所以EO//PB,,所以PB//平面EAC．（2）正三角形PAD中，E為PD的中點，所以，，又，所以，AE⊥平面PCD．（3）設N為AD中點，連接PN，則．又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB為PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，只需NB⊥AC，在矩形ABCD中，設AD＝1，AB＝x,由,得∽，解之得：,所以，當時，PB⊥AC．【點睛】本題綜合考查線面平行的判定，線面垂直的判定，及探索性問題找異面直線垂直，第三問難度較大，需要把異面直線垂直轉化為射影垂直，即共面垂直問題．