北京北小營(yíng)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=x|x﹣a|+2x．若存在a∈[﹣3，3]，使得關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】當(dāng)﹣2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)a∈（2，3]時(shí)和當(dāng)a∈[﹣3，﹣2）時(shí)，等價(jià)轉(zhuǎn)化f（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的單調(diào)性能得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：當(dāng)﹣2≤a≤2時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，…則當(dāng)a∈（2，3]時(shí)，由f（x）=，得x≥a時(shí)，f（x）=x2+（2﹣a）x，對(duì)稱軸x=＜a，則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)閇f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a時(shí)，f（x）=﹣x2+（2+a）x，對(duì)稱軸x=＜a，則f（x）在x∈（﹣∞，]為增函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋ī仭?，]，f（x）在x∈[，a）為減函數(shù)，此時(shí)f（x）的值域?yàn)椋?a，]；由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個(gè)不相等的實(shí)根，則2ta∈（2a，），即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，）即可，令g（a）==（a++4），只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函數(shù)，∴（g（a））max=g（3）=，故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，）；…同理可求當(dāng)a∈[﹣3，﹣2）時(shí)，t的取值范圍為（1，）；綜上所述，實(shí)數(shù)t的取值范圍為（1，）．…故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高．2.已知函數(shù)則是成立的

（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案：A3.等于A.sin2+cos2

B.cos2-sin2

C.-sin2-cos2

D.sin2-cos2參考答案：D略4.函數(shù)圖象的大致形狀是（）．A. B.C. D.參考答案：C【分析】根據(jù)條件先判斷函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性，利用的值的符號(hào)進(jìn)行排除即可．【詳解】則則是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除當(dāng)時(shí)，，排除本題正確選項(xiàng)：C

5.設(shè)復(fù)數(shù)z=2+bi(b∈R)且=2，則復(fù)數(shù)的虛部為

(

)A.2

B.±2i

C.±2

D.±2參考答案：C因?yàn)?2，所以，因此選C。6.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合等于（

）

A．{1，2，3，4}

B．{2，3，4}

C．{1，5}

D．{5}參考答案：答案：C7.已知某幾何體的三視圖如，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（）A． B． C．2cm3 D．4cm3參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由題目給出的幾何體的三視圖，還原得到原幾何體，然后直接利用三棱錐的體積公式求解．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm的四棱錐，如圖，故，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的體積，考查了空間幾何體的三視圖，能夠由三視圖還原得到原幾何體是解答該題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．8.函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（A）和內(nèi) （B）和內(nèi) （C）和內(nèi) （D）和內(nèi)參考答案：A略9.已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，）的部分圖象如圖所示，其中點(diǎn)P是圖象的最高點(diǎn)，則f（0）=（） A． B． C． 1 D． 參考答案：A10.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，若向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，那么使得△ABP與△ADP的面積都不小于2的概率為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】本題是一個(gè)幾何概型的概率，以AB為底邊，要使面積不小于2，則三角形的高要h≥1，得到兩個(gè)三角形的高即為P點(diǎn)到AB和AD的距離，得到對(duì)應(yīng)區(qū)域，利用面積比求概率．【解答】，解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型的概率，以AB為底邊，要使面積不小于2，由于S△ABP=AB×h=2h，則三角形的高要h≥1，同樣，P點(diǎn)到AD的距離要不小于，滿足條件的P的區(qū)域如圖，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，它的面積是整個(gè)矩形面積的（4﹣）（3﹣1）=，∴使得△ABP與△ADP的面積都不小于2的概率為：；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題給出幾何概型，明確滿足條件的區(qū)域，利用面積比求概率是關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.實(shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＝2，則的最小值是________________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式；指數(shù)的運(yùn)算

B6

E6

【答案解析】6

解析：利用基本不等式可得：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故答案為：6【思路點(diǎn)撥】利用基本不等式和指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出結(jié)論。12.已知函數(shù)則參考答案：-2略13.已知，且，則____________．參考答案：略14.函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則

參考答案：15.已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是__________________________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象．B10【答案解析】解析：由題意可得：存在x0∈（﹣∞，0），滿足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有負(fù)根，∵當(dāng)x趨近于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，ex0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趨近于負(fù)無(wú)窮大，且函數(shù)h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）為增函數(shù)，∴h（0）=﹣lna＞0，∴l(xiāng)na＜ln，∴0＜a＜，∴a的取值范圍是（0，），故答案為：（0，）【思路點(diǎn)撥】由題意可得：存在x0∈（﹣∞，0），滿足x02+ex0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），函數(shù)h（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）的圖象和性質(zhì)，得到h（0）=﹣lna＞0，繼而得到答案．16.某商場(chǎng)營(yíng)銷人員進(jìn)行某商品的市場(chǎng)營(yíng)銷調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù)，該商品每天的銷量就會(huì)發(fā)生一定的變化，經(jīng)過(guò)試點(diǎn)統(tǒng)計(jì)得到以下表：反饋點(diǎn)數(shù)t12345銷量（百件）/天0.50.611.41.7

（Ⅰ）經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量y（千件）與返還點(diǎn)數(shù)t之間的相關(guān)關(guān)系.試預(yù)測(cè)若返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天的銷量；（Ⅱ）若節(jié)日期間營(yíng)銷部對(duì)商品進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購(gòu)買該商品的消費(fèi)群體十分龐大，經(jīng)營(yíng)銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間（百分比）[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)頻數(shù)206060302010

（1）求這200位擬購(gòu)買該商品的消費(fèi)者對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值x的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計(jì)值（同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替；估計(jì)值精確到0.1）；（2）將對(duì)返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在[1,3)和[11,13]的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個(gè)區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查，設(shè)抽出的3人中“欲望緊縮型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考答案：（Ⅰ）返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量約為2百件；（Ⅱ）（1）均值的估計(jì)值為6,中位數(shù)的估計(jì)值為5.7；（2）詳見解析.【分析】（Ⅰ）先由題中數(shù)據(jù)得到，根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本中心，將代入，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）（1）根據(jù)頻數(shù)表中數(shù)據(jù)，每組的中間值乘以該組的頻率，再求和，即可得出平均值；根據(jù)中位數(shù)兩側(cè)的頻率之和均為0.5，即可求出結(jié)果；（2）先求出抽取6名消費(fèi)者中“欲望緊縮型”消費(fèi)者人數(shù)與“欲望膨脹型”消費(fèi)者人數(shù)，根據(jù)題意得到的可能取值，求出其對(duì)應(yīng)概率，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（Ⅰ）由題意可得：，因?yàn)榫€性回歸模型為，所以，解得；故關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即返回6個(gè)點(diǎn)時(shí)該商品每天銷量約為2百件.（Ⅱ）（1）根據(jù)題意，這200位擬購(gòu)買該商品的消費(fèi)者對(duì)返回點(diǎn)數(shù)的心里預(yù)期值的平均值的估計(jì)值為：，中位數(shù)的估計(jì)值為.

（2）抽取6名消費(fèi)者中“欲望緊縮型”消費(fèi)者人數(shù)為，“欲望膨脹型”消費(fèi)者人數(shù)為.由題意的可能取值為，所以,

,

故隨機(jī)變量的分布列為X123P

.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸分析、考查根據(jù)頻數(shù)表求平均值與中位數(shù)、以及超幾何分布，熟記線性回歸分析的基本思想，以及平均數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法、超幾何分布的概念等即可，屬于?？碱}型.17.已知三角形所在平面與矩形所在平面互相垂直，，，若點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積等于_______.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．甲產(chǎn)品的一等品率為80％，二等品率為20％：乙產(chǎn)品的一等品率為90％，二等品率為10％．生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立．

（1）記X（單位：萬(wàn)元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求x的分布列：

（2）求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率．參考答案：略19.某研究小組在電腦上進(jìn)行人工降雨摸擬試驗(yàn)，準(zhǔn)備用三種人工降雨方式分別對(duì)甲、乙、丙三地實(shí)施人工降雨，其試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：方式實(shí)施地點(diǎn)大雨中雨小雨摸擬試驗(yàn)總次數(shù)甲4次6次2次12次乙3次6次3次12次丙2次2次8次12次假設(shè)甲、乙、丙三地實(shí)施的人工降雨彼此互不影響.（Ⅰ）求甲、乙兩地恰為中雨且丙地為小雨的概率；（Ⅱ）考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即能達(dá)到理想狀態(tài)，乙地必須是大雨才能達(dá)到理想狀態(tài)，丙地只要是小雨或中雨就能達(dá)到理想狀態(tài)，求甲、乙、丙三地中至少有兩地降雨量達(dá)到理想狀態(tài)的概率.參考答案：解：（Ⅰ）記“甲、乙兩地恰為中雨且丙地為小雨”為事件，則答：甲、乙兩地恰為中雨且丙地為小雨的概率為.

………（4分）（Ⅱ）甲、乙、丙三地能達(dá)到理想狀態(tài)的概率分別為、、，

…（6分）記“甲、乙、丙三地中至少有兩地降雨量達(dá)到理想狀態(tài)”為事件，則

答：甲、乙、丙三地中至少有兩地降雨量達(dá)到理想狀態(tài)的概率為

…（12分）略20.某市隨機(jī)抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況（單位：萬(wàn)元），將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），年上繳稅收范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（I）求直方圖中x的值；（Ⅱ）如果年上繳稅收不少于60萬(wàn)元的企業(yè)可申請(qǐng)政策優(yōu)惠，若共抽取企業(yè)1200個(gè)，試估計(jì)有多少企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠；（Ⅲ）從企業(yè)中任選4個(gè)，這4個(gè)企業(yè)年上繳稅收少于20萬(wàn)元的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（I）由直方圖可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x即可．（II）企業(yè)繳稅收不少于60萬(wàn)元的頻率=0.003×2×20=0.12，即可得出1200個(gè)企業(yè)中有1200×0.12個(gè)企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠．（III）X的可能取值為0，1，2，3，4．由（I）可得：某個(gè)企業(yè)繳稅少于20萬(wàn)元的概率=0.0125×20=．因此X～B（4，），可得分布列為P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），再利用E（X）=4×即可得出．解答：解：（I）由直方圖可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125．（II）企業(yè)繳稅收不少于60萬(wàn)元的頻率=0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144．∴1200個(gè)企業(yè)中有144個(gè)企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠．（III）X的可能取值為0，1，2，3，4．由（I）可得：某個(gè)企業(yè)繳稅少于20萬(wàn)元的概率=0.0125×20=0.25=．因此X～B（4，），∴分布列為P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4），∴E（X）=4×=1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖的有關(guān)性質(zhì)、隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知向量，，（其中），函數(shù)，若相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為.(I)求的值，并求的最大值及相應(yīng)x的集合；(Ⅱ)在中，