量綱分析與相似原理流體力學(xué)第一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)變率

角速度，角加速度

其他量粘度，運(yùn)動(dòng)粘度壓強(qiáng)，壓力，彈性模量力，力矩密度，重度體積流量，質(zhì)量流量

速度，加速度

常用量

B5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-2)第二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日注：

為溫度量綱比焓，比內(nèi)能比熵導(dǎo)熱系數(shù)比定壓（容）熱容表面張力功率能量，功，熱動(dòng)量，動(dòng)量矩慣性矩，慣性積B5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-3)第三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日同一方程中各項(xiàng)的量綱必須相同。用基本量綱的冪次式表示時(shí)，每個(gè)基本量綱的冪次應(yīng)相等，稱為量綱齊次性。量綱齊次性原理常數(shù)

（沿流線）B5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-4)單位體積流體伯努利方程第四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日忽略重力的伯努利方程物理方程的無(wú)量綱化（沿流線）（沿流線）無(wú)量綱化伯努利方程?

在無(wú)粘性圓柱繞流中上下側(cè)點(diǎn)其他點(diǎn)?

以上結(jié)果對(duì)任何大小的來(lái)流速度，任何大小的圓柱都適用。前后駐點(diǎn)柱面上：柱面外：流場(chǎng)中

還與無(wú)量綱半徑

r/a有關(guān)·C·DABaB5.1量綱與物理方程的量綱齊次性(5-5)第五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.2量綱分析與П定理量綱分析概念一個(gè)方程中各項(xiàng)的量綱必須齊次；

一個(gè)流動(dòng)過(guò)程中各物理量在量綱上存在相互制約關(guān)系，可以按量綱齊次性原理作分析。類比：角色分析

量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過(guò)對(duì)有關(guān)的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無(wú)量綱形式的組合量，用無(wú)量綱參數(shù)之間的關(guān)系代替有量綱的物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，用于指導(dǎo)理論分析和實(shí)驗(yàn)研究。

B5.2量綱分析與П定理第六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日x1=φ(x2，x3,……,xn)

П1=f(П2,П3,……,Пn-r)

提議用量綱分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎(chǔ)的是布金漢（E.Buckingham,1914):B5.2.1П定理Π定理方

法充要條件n個(gè)物理量r個(gè)獨(dú)立基本量n-r個(gè)導(dǎo)出量選r個(gè)獨(dú)立基本量組成n-r個(gè)獨(dú)立Π數(shù)量綱分析方法等B5.2.1П定理第七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.2.2量綱分析法一般步驟：以圓柱繞流為例第1步、列舉所有相關(guān)的物理量。第2步、選擇包含不同基本量綱的物理量為基本量（或稱為 重復(fù)量，取3個(gè)）。

第3步、將其余的物理量作為導(dǎo)出量，分別與基本量的冪次式 組成П表達(dá)式。阻力密度速度直徑粘度系數(shù)選ρ

、V

、d導(dǎo)出量即

、μ

B5.2.2量綱分析法(4-1)第八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.2.2量綱分析法(4-2)第4步、用量綱冪次式求解每個(gè)П表達(dá)式中的指數(shù)，組成П數(shù)。

解得

a1=-1,b1=-2,c1=-2（CD

稱為阻力系數(shù)）第九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.2.2量綱分析法(4-3)解得:a2=-1,b2=-1,c2=-1

（Re為雷諾數(shù)）第5步、用П數(shù)組成新的方程。П1=f(П2)

第十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.2.2量綱分析法(4-4)量綱分析優(yōu)點(diǎn)FDFDFDVdFD第十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日

不可壓縮牛頓粘性流體在內(nèi)壁粗糙的直圓管中作定常流動(dòng)，分析壓強(qiáng)降低與相關(guān)物理量的關(guān)系。

[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動(dòng)的壓降：量綱分析一般步驟(4-1)

解：1．列舉物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7個(gè)2．選擇基本量：ρ、V、d

3．列П表達(dá)式求解П數(shù)①П1=ρa(bǔ)VbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–2)第十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動(dòng)的壓降：量綱分析一般步驟(4-2)

解得：

a=-1,b=-2,c=0（歐拉數(shù)，1/2是人為加上去的）②

П2

=ρa(bǔ)bbccμ

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T–1)

第十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動(dòng)的壓降：量綱分析一般步驟

(4-3)解得：a=b=c=-1

(雷諾數(shù))③

П3=ρa(bǔ)VbdcεM0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLcL

解得：a=b=0，

c=-1

第十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日[例B5.2.1]粗糙管中粘性流動(dòng)的壓降：量綱分析一般步驟(4-4)

（相對(duì)粗糙度）

④

П4=ρa(bǔ)Vbdcl

(同上)

（幾何比數(shù)）

4．列П數(shù)方程即或第十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日不可壓縮流體在重力作用下從三角堰中定常泄流，求泄流量的表達(dá)式。[例B5.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-1)2．選擇基本量：ρ、g、h

3．列П表達(dá)式求解П數(shù)解：1．列舉物理量。Q,ρ，g，h

，

共5個(gè)①

M0L0T0=(ML–3)a(LT–2)bLc(L3T–1)

第十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日[例B5.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-2)解得：a=0,b=-1/2,c=-5/24．列П數(shù)方程П1=f(П2)

②（弧度，無(wú)量綱）第十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日[例B5.2.2]三角堰泄流量：量綱分析解與解析解比較(3-3)或討論：①結(jié)果表明Q與ρ無(wú)關(guān)，與h成5/2次方關(guān)系。與例B4.3.1B中的解析式一致，解析式為②對(duì)一孔口角已確定的三角堰，(c)式已明確地表達(dá)了Q與h的理論關(guān)系，在這里量綱分析結(jié)果與解析解起同樣的作用。

由實(shí)驗(yàn)確定(c)

第十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.3流動(dòng)相似與相似準(zhǔn)則幾何相似同類現(xiàn)象相似現(xiàn)象B5.3.1流動(dòng)相似性流動(dòng)相似形狀相似尺度成比例遵循同一方程物理量成比例尺度成比例時(shí)間成比例速度成比例力成比例幾何相似時(shí)間相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似B5.3流動(dòng)相似與相似準(zhǔn)則第十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.3.2相似準(zhǔn)則矩形相似稱為無(wú)量綱邊長(zhǎng)，h為特征長(zhǎng)度。的數(shù)值代表所有相似矩形的特征（長(zhǎng)寬比），稱為相似準(zhǔn)則數(shù)。數(shù)相等的矩形相似。B5.3.2相似準(zhǔn)則(2-1)第二十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.3.2相似準(zhǔn)則(2-2)流動(dòng)相似當(dāng)F為粘性力，

為粘性流動(dòng)動(dòng)力相似準(zhǔn)則數(shù)以慣性力為特征力①幾何相似準(zhǔn)則數(shù)：以b

為特征長(zhǎng)度②

運(yùn)動(dòng)相似準(zhǔn)則數(shù)：以

為特征速度②

動(dòng)力相似準(zhǔn)則數(shù)：當(dāng)F為重力，

為重力流動(dòng)動(dòng)力相似準(zhǔn)則數(shù)第二十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定量綱分析法對(duì)不可壓縮粘性流體的流動(dòng)：ρ，V，l，μ，g，Δp，ω

雷諾數(shù)

弗勞德數(shù)

歐拉數(shù)

斯特哈爾數(shù)優(yōu)點(diǎn)：適用未知物理方程的流動(dòng)。缺點(diǎn)：選準(zhǔn)物理量較難，物理意義不明確。B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定(7-1)第二十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日方程分析法引入特征物理量，將各類物理量無(wú)量綱化后代入方程，在無(wú)量綱化的方程中，由特征物理量組成的無(wú)量綱數(shù)即相似準(zhǔn)則數(shù)。以N-S方程x

方向的投影式為例引入特征速度V，特征長(zhǎng)度l，特征壓強(qiáng)p0，特征質(zhì)量力g，特征時(shí)間1/ω

(B5.4.2)B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定(7-2)第二十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日代入

(B5.4.2)

無(wú)量綱系數(shù)為Sr，F(xiàn)r－2，Eu和

Re－1

數(shù)，分別代表了各種力與遷移慣性力的量級(jí)比值

B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定(7-3)第二十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日優(yōu)點(diǎn)：導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)物理意義明確；缺點(diǎn)：不能用于未知物理方程的流動(dòng)。無(wú)量綱方程既適用于模型也適用于原型。B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定(7-4)第二十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日物理法則分析法

根據(jù)物理法則或物理定律用特征物理量表示各種力的量級(jí)，用這些力的量級(jí)比值構(gòu)成相似準(zhǔn)則數(shù)。與流體元尺度相應(yīng)的特征物理量

l與流體元速度相應(yīng)的特征速度

V與流體元質(zhì)量相應(yīng)的特征質(zhì)量

與流體元粘性相應(yīng)的粘度

與流體元壓強(qiáng)相應(yīng)的壓強(qiáng)差

與流體元不定常運(yùn)動(dòng)相應(yīng)的特征角速度B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定(7-5)第二十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日遷移慣性力粘性力重力B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定(7-6)第二十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日遷移慣性力壓差力不定常慣性力優(yōu)點(diǎn)：導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)物理意義明確；缺點(diǎn)：當(dāng)無(wú)法判定控制流動(dòng)的物理定律時(shí)不能運(yùn)用。適用于未知物理方程的流動(dòng)。B5.4相似準(zhǔn)則數(shù)的確定(7-7)第二十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日氣體高速運(yùn)動(dòng)時(shí)壓縮性可用體積彈性模量K表示；在毛細(xì)管液面上的表面張力用表面張力σ表示。[例B5.4.1]用物理法則確定Ma數(shù)和We數(shù)(2-1)馬赫數(shù)Ma定義為試用物理法則法確定（1）馬赫數(shù)Ma（2）韋伯?dāng)?shù)We。壓縮力＝解：因

按物理法則法

第二十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日[例B5.4.1]用物理法則確定Ma數(shù)和We數(shù)(2-2)表面張力=。韋伯?dāng)?shù)定義為第三十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)1.Re

數(shù)(雷諾數(shù))

低雷諾數(shù)粘性流動(dòng)平板邊界層外流速度距前緣距離鈍體繞流

來(lái)流速度截面寬度圓管流動(dòng)

平均流速管直徑

V

l區(qū)分管內(nèi)粘性流動(dòng)層流與湍流態(tài)邊界層外無(wú)粘流邊界層內(nèi)以

為界區(qū)分層流與湍流態(tài)B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)(7-1)第三十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日2.Fr

數(shù)(弗勞德數(shù))明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船長(zhǎng)

V

l

Fr

數(shù)是描述具有自由液面的液體流動(dòng)時(shí)最重要的無(wú)量綱參數(shù)。如水面船舶的運(yùn)動(dòng)和明渠流中的水流。B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)(7-2)第三十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日3.Eu

數(shù)(歐拉數(shù))p可以是某一點(diǎn)的特征壓強(qiáng)，也可以是兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差；V為特征速度，ρ為流體密度。在描述壓強(qiáng)差時(shí)，Eu數(shù)常稱為壓強(qiáng)系數(shù)當(dāng)在液體流動(dòng)中局部壓強(qiáng)低于當(dāng)?shù)卣羝麎簭?qiáng)

pv

時(shí)，Eu

數(shù)又稱為空泡數(shù)或空蝕系數(shù)

B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)(7-3)第三十三頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日4．Sr數(shù)（斯特哈爾數(shù)）

l為特征長(zhǎng)度，V為特征速度，ω

為脈動(dòng)圓頻率。

Wo數(shù)（沃默斯利數(shù)）v為流體的運(yùn)動(dòng)粘度，Wo

數(shù)也稱為頻率參數(shù)，表示不定常慣性力與粘性力之量級(jí)比,用于描述粘性流體脈動(dòng)流特征。

B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)(7-4)第三十四頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日5．Ma數(shù)（馬赫數(shù)）

Ma=V/c

V

為特征速度，c為當(dāng)?shù)芈曀佟?/p>

Ma

數(shù)表示了慣性力與壓縮力之量級(jí)比，主要用于高速氣流，當(dāng)0.3<Ma<1時(shí)氣體的速度小于聲速（亞聲速），Ma=1時(shí)氣體速度等于聲速（跨聲速），Ma>1時(shí)氣體速度大于聲速(超聲速）。

6．We

數(shù)（韋伯?dāng)?shù)）

σ為液體的表面張力。

B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)(7-5)第三十五頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日7．Ne

數(shù)（牛頓數(shù)）

F為外力，Ne

數(shù)表示外力與流體慣性力之量級(jí)比，用于描述運(yùn)動(dòng)物體在流體中產(chǎn)生的阻力、升力、力矩和（動(dòng)力機(jī)械的）功率等等影響。當(dāng)F

為阻力FD時(shí)，Ne

數(shù)稱為阻力系數(shù)

We數(shù)表示慣性力與表面張力之量級(jí)比，研究氣液，液液及液固交界面上的表面張力作用。

B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)(7-6)第三十六頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日描述力矩作用M

時(shí)，變?yōu)榱叵禂?shù)

D

為動(dòng)力機(jī)械旋轉(zhuǎn)部件的直徑，n

為轉(zhuǎn)速。

當(dāng)F為升力FL

時(shí)，Ne

數(shù)稱為升力系數(shù)

B5.5常用的相似準(zhǔn)則數(shù)(7-7)描述動(dòng)力機(jī)械的功率

時(shí)，變?yōu)閯?dòng)力系數(shù)

第三十七頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日什么是模型實(shí)驗(yàn)？

B5.6模型實(shí)驗(yàn)與相似原理B5.6.1模型實(shí)驗(yàn)

模型實(shí)驗(yàn)通常指用簡(jiǎn)化的可控制的方法再現(xiàn)實(shí)際發(fā)生的物理現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)。實(shí)際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象。模型實(shí)驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)是再現(xiàn)流動(dòng)現(xiàn)象的物理本質(zhì)。只有保證模型實(shí)驗(yàn)和原型中流動(dòng)現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實(shí)驗(yàn)才是有價(jià)值的。2．為什么要進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)？

直接對(duì)原型做實(shí)驗(yàn)既不經(jīng)濟(jì)又不方便

，在生產(chǎn)設(shè)計(jì)過(guò)程中也需要模型實(shí)驗(yàn)

。B5.6.1模型實(shí)驗(yàn)(2-1)第三十八頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.6.1模型實(shí)驗(yàn)(2-2)

并不是所有的流動(dòng)現(xiàn)象都需要做模型實(shí)驗(yàn)。能做理論分析或數(shù)值模擬的流動(dòng)現(xiàn)象都不必做大量的模擬實(shí)驗(yàn)。

并不是所有的流動(dòng)現(xiàn)象都能做模型實(shí)驗(yàn)。只有對(duì)其流動(dòng)現(xiàn)象有充分的認(rèn)識(shí)，并了解支配其現(xiàn)象的主要物理法則，但還不能對(duì)其作理論分析或數(shù)值模擬的原型最適合做模型實(shí)驗(yàn)。

B5.6.2相似原理

Π定理指出，描述原型流動(dòng)現(xiàn)象的方程可化為若干個(gè)獨(dú)立的Π數(shù)的方程Π1=f(Π2,Π3,……Πn

)也適用于相似的模型現(xiàn)象（腳標(biāo)m）

Π1m=f(Π2m,Π3m,……Πnm

)第三十九頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日B5.6.2相似原理(2-2)這就是模型實(shí)驗(yàn)的相似原理.(B5.6.3)式稱為相似條件，(B5.6.4)式稱為相似結(jié)果。

在相似條件中找出支配流動(dòng)現(xiàn)象的主要條件，該條件中的Π數(shù)是由支配流動(dòng)現(xiàn)象的主要物理法則導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則數(shù)，稱為主相似準(zhǔn)則數(shù)，或簡(jiǎn)稱為主Π數(shù)。在幾何相似的條件下，保證模型和原型現(xiàn)象中的主Π數(shù)相等，就能保證模型和原型現(xiàn)象相似，并使除主Π數(shù)外的其他相關(guān)Π數(shù)也相等。

當(dāng)

Π2m=Π2，Π3m=Π3，……，Πnm=Πn

(B5.6.3)

Π1=Π1m

(B5.6.4)得第四十頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日一塊長(zhǎng)×寬=l×h的光滑矩形板，迎面在粘度為μ的流體中以速度V作勻速運(yùn)動(dòng)，如圖示。用按一定比例縮小的模型作模型實(shí)驗(yàn)，并測(cè)量其運(yùn)動(dòng)阻力FDm。[例B5.6.2]矩形板繞流阻力：相似原理(3-1)試討論模型與原型相似的條件和結(jié)果。解：設(shè)矩形板繞流阻力FD=f(ρ,μ,V,l,h)以ρ，V，h為基本量，Π數(shù)方程為式中

為主Π數(shù)

.(a)

式既適用于原型也適用于模型，在模型中(a)第四十一頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)相似原理，為保證模型和原型的流動(dòng)相似，必須滿足相似條件

[例B5.6.2]矩形板繞流阻力：相似原理(3-2)其中(d)式稱為幾何相似條件，當(dāng)比例尺確定后，矩形的長(zhǎng)和寬按比例縮小。(c)式稱為動(dòng)力相似條件，當(dāng)選擇實(shí)驗(yàn)流體的密度和粘度分別為ρm

和μm

后，由(c)式確定速度條件Vm

：

(c)和(d)(e)第四十二頁(yè)，共四十六頁(yè)，2022年，8月28日在模型實(shí)驗(yàn)中測(cè)得模型的阻力為FDm

，由(f)式計(jì)算原型的阻力為[例B5.