數列極限一、概念的引入1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽播放正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數播放三、數列的極限觀察數列問題:當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數值?如果是,如何確定?通過上面演示實驗的觀察:對極限僅僅停留于直觀的描述和觀察是非常不夠的憑觀察能判定數列的極限是多少嗎顯然不能問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.如果數列沒有極限,就說數列是發(fā)散的.注①定義1習慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標ε和N刻畫了極限的實質，用|xn－a|＜ε定量地刻畫了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標志著“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：10，正數ε，20，正數N，30，不等式|xn－a|＜ε（n＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性體現了xn逼近a時要經歷一個無限的過程（這個無限過程通過ε的任意性來實現），但這個無限過程又要一步步地實現，而且每一步的變化都是有限的（這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現）。③定義中的N是一個特定的項數，與給定的ε有關。重要的是它的存在性，它是在ε相對固定后才能確定的，且由|xn－a|＜ε來選定，一般說來，ε越小，N越大，但須注意，對于一個固定的ε，合乎定義要求的N不是唯一的。用定義驗證xn以a為極限時，關鍵在于設法由給定的ε，求出一個相應的N，使當n＞N時，不等式|xn－a|＜ε成立。在證明極限時ε，n，N之間的邏輯關系如下圖所示|xn－a|＜εn＞N都落在a點的ε鄰域因而在這個鄰域之外至多能有數列中的有限個點這就表明數列xn所對應的點列除了前面有限個點外都能凝聚在點a的任意小鄰域內，同時也表明數列xn中的項到一定程度時變化就很微小，呈現出一種穩(wěn)定的狀態(tài)，這種穩(wěn)定的狀態(tài)就是人們所稱謂的“收斂”。注意：數列極限的定義未給出求極限的方法.例1證明因此則當n＞N時，有利用定義驗證數列極限，有時遇到的不等式|xn－a|＜ε不易考慮，往往采用把|xn－a|放大的方法。若能放大到較簡單的式子，就較容易從一個比較簡單的不等式去尋找項數指標N放大的原則：①放大后的式子較簡單②放大后的式子以0為極限例2證明證明（不妨設ε＜1）注在論證極限問題時，都可以假設ε＜1，因為若對小于1的ε已經得到項數指標N，則對于大于1的ε上述項數指標N仍合乎定義要求。例4證四、數列極限的性質1.有界性例如,有界無界2.唯一性定理2每個收斂的數列只有一個極限.[分析]直接證明較困難，采用反證法由數列極限的幾何意義，在a的任一ε鄰域內聚集著xn中的無窮多個點，而在該鄰域之外至多有xn中的有限個點證用反證法a≠b不妨設a＜b矛盾，這說明結論成立例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內.例6對于數列xn證此時有此時有總之：恒有思考題解答~（等價）證明中所采用的實際上就是不等式即證明中沒有采用“適當放大”的值反而縮小為從而時，