勾股定理知識總結(jié)一．基礎(chǔ)知識點：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊222c的平方。（即：a+b＝c）要點詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2）2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形。要點詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長邊長為：c；222是否具有相等關(guān)系，若222（2）驗證c與a+bc＝a+b，則△ABC是以∠C為直角的直角三角形222222（若c>a+b，則△ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c<a+b，則△ABC為銳角三角形）。（定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊）3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)1．勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3．勾股定理在應(yīng)用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應(yīng)用過程中易犯的主要錯誤。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長222a，b，c有下列關(guān)系：a+b＝c，?那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法．5.?應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數(shù)運算，通過學(xué)習(xí)加深對“數(shù)形結(jié)合”的理解．我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。 如果把其中一個叫做原命題， 那么另一個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，41ab(ba)2c2，化簡可證．2方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為S41ab22c2abc2大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2方法三：S梯形1(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21ab1c2，化簡222得證

DCHGFb aA c BbaaccbbccaabDCHEGFbaAcBAaDcbcEaBbC6：勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；C7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：22nn1,2n,n12,n為正整（nABD數(shù)）；222n2222n,m，n為正整數(shù)）2n1,2n2n,2n1（n為正整數(shù)）mn,2mn,mn（m二、經(jīng)典例題精講題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．⑴已知AC6，BC8．求AB的長⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210⑵BCAB2AC28題型二：利用勾股定理測量長度例題1如果梯子的底端離建筑物 9米，那么 15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的 “知二求一”的題。把實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后， .已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！根據(jù)勾股定理2222222所以AC=12.AC+BC=AB,即AC+9=15,所以AC=144,例題C的長是

2 如圖（8），水池中離岸邊 D點0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端

1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分B恰好落到 D點，并求水池的深度 AC.

B解析：同例題

1一樣，先將實物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖

2. 由題意可知△

ACD中,∠ACD=90°,在

Rt△ACD中，只知道

CD=1.5，這是典型的利用勾股定理

“知二求一”的類型。題型三：勾股定理和逆定理并用——例題3如圖3，正方形ABCD中，E是

BC邊上的中點，

F是

AB上一點，且FB

1AB那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？4題型四：利用勾股定理求線段長度——例題4如圖4，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。，注：本題接下來還可以折痕的長度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直——例題5如圖5，王師傅想要檢測桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗證AD邊與CD邊是否垂直？解析：由于實物一般比較大，長度不容易用直尺來方便測量。我們通常截取部分長度來驗證。如圖4，矩形ABCD表示桌面形狀，在AB上截取AM=12cm,在AD上截取AN=9cm(想想為什么要設(shè)為這兩個長度？)，連結(jié)MN，測量MN的長度。2 2 2①如果MN=15,則AM+AN=MN,所以AD邊與AB邊垂直；②如果MN=a≠15,則92+122=81+144=225, a2≠225,即92+122≠a2，所以∠A不是直角。利用勾股定理解決實際問題——例題6有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高 1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去， 是頭先距離燈 5米還是腳先距離燈 5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點表示控制燈，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)頭（B點）距離A有5米時，求BC的長度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計算BC=4米.即使要走到離門4米的時候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例1、如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，若AP=3，求PP′的長。變式1：如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=2 3,PC=4,求△ABC的邊長.分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將△ BPA繞點B逆時針選擇60°，將三條線段集中到同一個三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個直角三角形 .變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點，且∠EAF=45°，試探究BE2、CF2、EF2間的關(guān)系，并說明理由.題型七：關(guān)于翻折問題例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點，將矩形紙片沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點C落在點C’的位置，BC=4,求BC’的長.題型八：關(guān)于勾股定理在實際中的應(yīng)用 ：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學(xué)，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學(xué)校受到影響的時間為多少？題型九：關(guān)于最短性問題例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的 B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起