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不定積分的換元積分法

二、第二類換元積分法一、第一類換元積分法（湊積分法）

三、基本積分表（Ⅱ）第二節(jié)

第4章

二、第二類換元法1.引例

解作變量代換：令(應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果)不易積分易積分2.定理4.2設(shè)單調(diào)可導(dǎo),且分析

需證：則有換元公式已知證即注第一類：

左

右第二類：第一換元法與第二換元法的比較:如：a>0第一類，放入第二類，取出

左

右有五種：1o三角代換2o雙曲代換3o倒代換4o換根代換5o萬(wàn)能代換3.常見(jiàn)代換適用類型代換1o

三角代換例1求解

令則為去根式例2求解(方法1)

則為去根式例3求解

令則為去根式令于是為利用x>a結(jié)果小結(jié)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令

積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.適用類型代換2o

雙曲代換解(方法2)例2求積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來(lái)定.(1)求（三角代換較繁瑣）令解

注例4(2)解(湊微分)此題不必用三角代換！當(dāng)分母的次數(shù)較高時(shí),可采用倒代換：例5

求令解3o

倒代換倒代換效果：降低分母的冪次，提高分子的冪次.例6

已知求解則適用類型：代換：4o

換根代換求解令例7求解令例8

適用類型：代換：5o

萬(wàn)能代換t

的有理函數(shù)解例9三、基本積分表（Ⅱ

）基本積分公式的使用

例10求下列不定積分：du?例11解(方法1)用三角代換(方法2)用雙曲代換(方法3)用湊微分法

用倒代換(方法4)(方法5)用換根代換內(nèi)容小結(jié)第一換元法(湊微分法)第二換元法第一類：

左

右第二類：

左

右1.

換元積分法2.

常見(jiàn)的選u=(x)

的規(guī)律3.

常見(jiàn)代換x=(t)有五種：1o

三角代換2o

雙曲代換3o

倒代換4o

換根代換5o

萬(wàn)能代換4.基本積分表（Ⅱ）思考題1.如何選擇變換簡(jiǎn)化積分?（令（令2.用哪些變換可以計(jì)算積分方法一方法二方法三備用題

例1-1求解分子分母同除以例2-1解(方法1)(方法2)求解令（分母的次數(shù)較高）例5-1例5-2解例5-3解例5-4求解

令難點(diǎn)：分母因子x2則倒

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