第六章主要內(nèi)容及要求 若X1Xn是來自X的樣本則意X1,Xn是相互獨立的，都服從與總體X同樣的分布n設(shè)總體X的概率密f(xX1Xn的聯(lián)合nf(x1,,xn)f(xiiX的分布率P{Xxpx，則X1,Xn的聯(lián)合分布率nP{X1x1,,Xnxn}p(xini樣本均

iX1Xini 樣本方

S

( Xn1i1

n

[Xiii

nX2A Xknn

i1樣本k階中心

nnin

(XX ki結(jié)論：X1,Xn為來自總體X的一個iEX,DX2則EX,DX ,ESn

2證nX nX i

nEX Ei i1 nDXXi

DXDi

i n2 ES2

(

X)2]

E[

2nX2nn1i1nn

nnn

i2i 2in

in

nEX2 n

(DX (EX

)n(DX(EX)2

(22) n1n

i (n2n22n2)求 (EX2令A(yù) (AEX2 3解上面方程（）??(X,, (??(X,, 極大似然法求估計量的步驟：(一般情況下構(gòu)造似然函數(shù)L()nL(Pxi離散型ni取對數(shù)lnL(

L(fxi連續(xù)型nin

dlnL解似然方程得的極大似然估計量（會用極大似然估計性質(zhì)求極大似然估計量設(shè)的函數(shù)uu(),具有單值反函數(shù)，是的極大似然估計則?u(?)是u(的極大似然估計無偏

E?nkknA1 是 nkknk

的無偏估計量 i有效

若E(?E(?且D(?D(? n一致性：? nnkknA1 是 nkknk

的一致估計量 i掌握2分布設(shè)X1Xn獨立，都服從N(0,1) X2X2~2 10X~2(m),Y~2(n),X，Y獨立，則有XY~2(m20若X~2(n),則EX DXP{ 2(n)}tX~N(0,1),Y~2(n),X,Y獨立，則稱 t n

t(n)

P{tt(n)}t1(n)tF分布X~

2(n),Y~

2n X,Y獨立

則稱隨12FX/12Y/n2

~F(n1,n2

P{F

F(n1,n2)}F1(n1,n2)1/F(n2,n12設(shè)X1,,Xn是總體N(,2定理

的樣本，X2分別是樣本均值與樣本方差，則有2X

N( n

(n1)S

i

( i2i

~2(nX與S2獨立n(Xii1n

)2/

2定理

XnSn

t(n

Xnn

~N定理

(XY) ~t(n n1n2(n1)S21)S 11 1 (XY) 1 定理

( )2

/

i

~F(n1,n2 / i1j i1S2/

( X)2/

1i

S2/

n 1(Y Y / 1j~F(n11,n2一個正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)待估參

的分

雙側(cè)置信區(qū)間的上、下2已知

X X

X 2未知

S

tn

Xt2n

nnn

Xi2

Xi2已知

2Xi

2

i

i i

22i i

12ini

未知

1

2n

XX

XX Xi

i

i i

2

2

兩個正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（一待估參隨待估參隨量隨雙側(cè)置信區(qū)間的上、下12、2均已知XY XY2 1m2n1 但未知XY 1 tmnXYtmn2Sw 1 2w其中S2w

mn待參 的分雙側(cè)置信區(qū)間待參 的分雙側(cè)置信區(qū)間的上、下21、均已知m 2/ i nmYj/2 jFm，m i m， m jmnX m， 1 Yj j1、2S1 S22 S Fm1，n1S22 S1 m1，n1S2 2均未知F(m1，n§4§4例 設(shè)X1,X2,X3是總體N(2,9)的樣求(1,P{X3(2)P{X21};(3)P{S

P{max(X1,X2,X3)4};(5)P{min(X1,X2,X3)解（1）X~N(2,3)33所以P{X3}132)1(1331(0.58) 10.719033

X

1}1

X

331P{33

X2 1§4§4例1（續(xù)31P{3

X2

1}1[(1)(13333322(1)2[1(0.58)]333332[10.7190]

由于(3

~），2929P{S 26.955}P{22929

§4§4例1續(xù)（4）P{max(X1,X2,X3)1P{max(X1,X2,X3)1P{X14,X24,X31P{X14}P{X24}P{X3X1~N1[(X1~N311§4§4例1（續(xù)（5）P{min(X1,X2,X3)1P{min(X1,X2,X3)1P{X10,X20,X31P{X10}P{X20}P{X31[1(031[111

X1~N§4§4例 設(shè)X1,X2,,X10與Y1,Y2,Y15分別是正態(tài)總N(20,3)的兩個獨立樣本，P{X XY~N(0,33),即XY~ P{X 0.1}1P{X 1

X

0.1}1

0.14

XY

22(0.14)22例3X~t(n),X2~F(1由于X~

所以X Zn其中Y~N(0,1),Z~2(n),YZ獨立Zn則Y2~2F分布的定義知YZnX2 Zn

~F(1,§2§2例設(shè)總體X~U[abab未知X1Xn是一個樣求：ab的矩估計量解

EX

ab 22 2

DX(EX)2(ba) (a令a

2(b

(a

即ab2A112(AA212(AA221 例5設(shè)總體X的密度函數(shù)為

1x

0x其它其中0為未知參數(shù)，試求參數(shù)的矩估

EXxfxdxx1x X由此得的矩估計量為2X11例6設(shè)X~B(1,pX1,Xn是來自X的一個樣本試求參數(shù)p的極大似然估計設(shè)x1xn是一個樣本值。X的分布律為P{Xx}px(1p)1xn故似然函n

xnL(p)ni

xi(1p)1

ipi

(1

nni n lnLp(xilnp(nxiln(1i i例6（續(xù) lnL(p)(xi)lnp(nxi)ln(1i

i 令dlnLp)0,

i p

n i n11n1

解得p的極大似然估計值p的極大似然估計量為

?

xi nin? n i1n 它與矩估計量是相同 例7設(shè)X~N(,2);,2為未知參數(shù)，x, 是來自X的一個樣本值求,2的極大似然估計解X的概率密度為f(x;,2) 似然

(x)2 nL( )ni

2

(xi

) (22)2

(xii 2lnLnln(2

nln(

(x)2

in1例7（續(xù)n1lnLnln(2)nln(2)i i

(xi

)2lnL

1(x)0 令ln

i

(xii1

)2n 1 nnn解得：nn

i

xix

(xix)i故,2的極大似然估計量為 ii ?1 ?21(XX)2iini ni例8設(shè)X~U[ab];ab未知，x1,xn是一個樣本值求：ab的極大似然估計量X的概率密度為：fx;ab)baax似然函數(shù)

其它

ii

axb，i1，2，，nlnLa,bnln(bln

b

b例8（續(xù)解：將x1,,xn按從小到大順序排列成 x(2) x(n) ,a b;則L(ab)

(ba)

(

其它對于滿足ax(1)x(n)b的任意a有L(a,b) )(ba)n (x( )

例8（續(xù)即：L(a,b)在ax(1bx(n)取最大值x(n)x(1故ab的極大似然估計值為?x(1)minxi ?x(n)故ab的極大似然估計量為?minXi ?maxXi

maxxi例 設(shè)X~N(,2),,2未知，求使P{XA}的點A的極大似然估計量解：PXA1A查表有

A

所以A1.645由前面知和2的極大似然估計量分別為X

1 (X X1nin1(n1(niX)2i??1.645?X §§3例10設(shè)總體X服從區(qū)間0上的均勻分布，其中0為未知參數(shù)，X1,Xn是從該總體中抽取的一個樣本求的矩估計和極大似然估計，并驗證是否是無偏估計解EX,X得的矩估計量為?2 2

2

2EX2因此?2X是未知參數(shù)的無偏估似計量為m

ixX§§3 maxX的分布函數(shù)為

x x

F(x)

n,0xEL

xn

x n n nL?不是的無偏估計量L§§3例11設(shè)總體X~N，2，其中已知，而 為未知參數(shù)，X1Xn是從該總體中抽取的一個樣本n則由§2例3知，未ni2i

參數(shù)

的極大似然估計為

1X

nin2 n

Xinin

i

EX

1n2 X是總體方差這表明

1

2的無偏估計ni§§3例12設(shè)總體X存在二階矩，并設(shè)EX DXX1,Xn是總體X的一個樣本，又設(shè)nai試

i1,2, ai1i

nnaii

的無偏估n(2)的所有形如上述的aiXi

估計中，X方差最?。?/p>

i證明）iX iX

naiEXin

naini n

i

iaiXi的無偏估計n.n

i

aX i

nni

a2DX

aiiiiiii

2 2 ai 2i

1 ai i g(a1,a2,,an1例12（續(xù)

g(a1,a2,,

)2a

21aiiii

i g(a1,a2,,an1)

k1,,n22a k

2

11i

k1,,nakan k1,,n a