《工程制圖》教案

章節(jié)名稱：第3章立體表面的交線

授課學(xué)時(shí)：6

教學(xué)方法：講、練結(jié)合

教學(xué)目的：了解平面和平面立體、回轉(zhuǎn)立體相交的截交線的性質(zhì)，掌握作圖方法；了解回

轉(zhuǎn)體和回轉(zhuǎn)體相交的相貫線的性質(zhì)，掌握作圖方法。

重點(diǎn)：平面和圓柱截交線的作圖方法；圓柱和圓柱正交相貫線的作圖方法。

難點(diǎn)：平面和圓柱截交線的作圖方法。

授課內(nèi)容：

第3章截切立體與相貫立體

3.1立體表面的截交線

當(dāng)平面截切立體時(shí)，平面與立體表面產(chǎn)生的交線稱為截交線，這個(gè)平面稱為截平面。

截交線的形狀取決于立體本身形狀及截平面與立體的相對(duì)位置。

截交線兩個(gè)基本特性：

（1）截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是它們的共有點(diǎn)，即在截

平面上，又在立體表面上。

（2）截交線一般是由直線、曲線或直線和曲線圍成的封閉的平面圖形。

（3）截交線的形狀取決于被截立體的形狀及截平面與立體的相對(duì)位置。截交線投影

的形狀取決于截平面與投影面的相對(duì)位置。

3.1.1平面與平面立體相交

1．截交線的性質(zhì)

（1）為由直線組成的封閉折線（多邊形），其頂點(diǎn)是截平面與平面立體的棱線或平面

轉(zhuǎn)折處的交點(diǎn)。

（2）多邊形的每一條邊是截平面與棱面的交線。

求截交線==求截平面與各棱線的交點(diǎn)（表面取點(diǎn)法），或截平面與各棱面的交線。

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求截交線的方法——棱線法、棱面法

2．平面立體截切的畫圖，即求截交線的步驟

（1）空間及投影分析，找出已知，預(yù)見未知

A、截平面與體的相對(duì)位置——確定截交線形狀

B、截平面與投影面的相對(duì)位置——確定截交線的投影特性

（2）畫出所求視圖體的完整投影

（3）畫出截交線的投影，判別可見性

（4）分析各棱線的投影，擦去多余部分

（5）檢查，完成

例1例2

例3例4

2

3.1.2平面與回轉(zhuǎn)體相交

1．截交線的性質(zhì)

（1）一般是封閉的平面曲線，或是由曲線與直線所圍成的平面圖形，也可能是多邊

形。

（2）其形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面形狀和截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。

求曲面立體截交線==求出截平面與曲面立體的被截各素線的交點(diǎn)連接

求截交線的基本方法有素線法和輔助平面法。

2．回轉(zhuǎn)體截切畫圖步驟

（1）空間及投影分析

A、回轉(zhuǎn)體形狀，截平面與回轉(zhuǎn)體軸線位置——確定截交線的形狀

B、截平面與投影面的相對(duì)位置——確定截交線的投影特性

（2）畫出體的完整投影

（3）畫出截交線的投影，并判別可見性。截交線的投影為非圓曲線——先找特殊點(diǎn)

（最高、最低、最前、最后、最左、最右點(diǎn)），補(bǔ)充中間點(diǎn)。然后光滑地連接各點(diǎn)

（4）分析輪廓素線投影

（5）檢查，完成

3．各種回轉(zhuǎn)體截切的分析

（1）圓柱的截切

截平面與圓柱面的截交線的形狀取決于截平面與圓柱軸線的相對(duì)位置（三種情況）

矩形、圓和橢圓。

截平面

平行于軸線垂直于軸線傾斜于軸線

位置

立

體

圖

截交線

矩形圓橢圓

形狀

投

影

圖

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例1：求圓柱與正垂面斜切的截交線

當(dāng)截平面與圓柱軸線傾斜角度產(chǎn)生變化時(shí)，其側(cè)面投影上的橢圓的形狀也隨之變化，

當(dāng)角度為45°時(shí)，其側(cè)面投影為圓。

例2：畫出開槽的實(shí)心和空心圓柱的三視圖。

（2）圓錐的截切

根據(jù)截平面與圓錐軸線的相對(duì)位置不同，截交線有五種形狀：圓、橢圓、拋物線

與直線組成的平面圖形、雙曲線與直線組成的平面圖形及過(guò)錐頂?shù)娜切巍?/p>

后三種截交線均為非圓曲線，應(yīng)用輔助線法或輔助平面法求出。

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截平面傾斜于軸線

過(guò)錐頂垂直于軸線平行于軸線

位置θ=αθ＞α

立

體

圖

截交線形狀直線（三角形）圓雙曲線橢圓拋物線

投

影

圖

例1：求作被正平面截切的圓錐截交線

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例2：已知圓錐體切口的正面投影，完成切口的其他兩投影

（3）圓球的截切

平面與球面相交其截交線總是圓。

圓的直徑大小與截平面到球心距離有關(guān)。

圓的投影形狀與截平面對(duì)投影面的相對(duì)位置有關(guān)，其截交線的投影可能為圓、橢

圓或積聚成一條直線。

例：求半圓球被開凹槽后的水平和側(cè)面投影

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4．截切組合體

組合體是由幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本幾何體組成的立體。當(dāng)平面與組合體相交時(shí)，其截交線是

由截平面與各個(gè)基本體的截交線組合而成的平面圖形。為了快速準(zhǔn)確繪出組合體的截交

線，首先必須對(duì)該組合體進(jìn)行分析，弄清各個(gè)基本形體被截切后產(chǎn)生的截交線形狀，然后

逐一畫圖。

[例]求組合體被截切后的水平投影。

3.2立體表面的相貫線

兩個(gè)立體相交稱為相貫，其表面產(chǎn)生的交線叫相貫線。

相貫線性質(zhì)：

（1）相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線。（2）相

貫線是相交兩立體表面的共有線，相貫線上的點(diǎn)是兩立體表面的共有點(diǎn)。

相貫的形式

3.2.1平面立體與回轉(zhuǎn)體相交

1.相貫線的性質(zhì)

由若干段平面曲線（或直線）所組成的空間折線，每一段是平面體的棱面與回轉(zhuǎn)體

表面的交線。

2.作圖方法

求交線的實(shí)質(zhì)是求各棱面與回轉(zhuǎn)面的截交線。

分析各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的相對(duì)位置，從而確定交線的形狀。

求出各棱面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線。

連接各段交線，并判斷可見性。

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3.2.2回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相交

1.相貫線的性質(zhì)

一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。

2.作圖方法

利用投影的積聚性直接找點(diǎn)。

用輔助平面法。

⒊作圖過(guò)程

先找特殊點(diǎn)----確定交線的范圍

補(bǔ)充中間點(diǎn)----確定交線的彎曲趨勢(shì)

1．利用積聚性表面取點(diǎn)法求相貫線

該方法是利用圓柱表面具有積聚性的特點(diǎn)，確定兩圓柱表面上若干共有點(diǎn)的已知投

影，然后利用圓柱表面取點(diǎn)法求出個(gè)點(diǎn)的未知投影，從而畫出相貫線的投影。

①求特殊點(diǎn)。轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)都是特殊點(diǎn)。

②求作一般點(diǎn)。可利用圓柱的積聚性直接求出。

③連接各點(diǎn)，判別可見性。兩圓柱相貫時(shí)存在著虛實(shí)圓柱的情形，有實(shí)實(shí)相貫（兩

圓柱外表面相交），相貫線為粗實(shí)線，有虛實(shí)相貫（一圓柱外表面和一圓柱內(nèi)表面相交），

相貫線為粗實(shí)線，有虛虛相貫（兩圓柱內(nèi)表面相交），相貫線為虛線。圓柱的虛實(shí)變化并

不影響相貫線的形狀，只要相交兩圓柱的直徑和軸線的相對(duì)位置一致，相貫線的形狀、性

質(zhì)和作圖方法都是完全相同的，不同的只是相貫線的可見性。

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當(dāng)兩圓柱垂直相交時(shí)，若相對(duì)位置不變，只改變兩圓柱的相對(duì)直徑大小，則相貫線也

會(huì)隨之改變。

兩圓

柱

水平圓柱較大兩圓柱直徑相等水平圓柱較小

直徑

對(duì)比

立

體

圖

相貫

線上、下兩條空間曲線兩個(gè)互相垂直的橢圓左、右兩條空間曲線

特點(diǎn)

投

影

圖

可以看出相貫線的彎曲規(guī)律為：相貫線以兩圓柱輪廓交點(diǎn)為起止點(diǎn)，向大圓柱軸線

方向彎曲。

2．利用輔助平面法求相貫線

作兩曲面立體的相貫線時(shí)，可以用與兩個(gè)曲面立體都相交的輔助平面切割這兩個(gè)立體，

得到兩組截交線的交點(diǎn)是輔助平面和兩曲面立體表面的三面共有點(diǎn)，即為相貫線上的點(diǎn)，

該方法稱為輔助平面法。為了便于作圖應(yīng)選擇產(chǎn)生簡(jiǎn)單易畫的截交線的輔助平面，如產(chǎn)生

直線或圓的輔助平面，一般選擇一個(gè)投影面的平行面作為輔助平面。

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3．相貫線的特殊情況

兩個(gè)回轉(zhuǎn)立體相貫，一般情況下是封閉的空間曲線，特殊情況下是平面曲線或直線。

（1）兩回轉(zhuǎn)體具有公共的回轉(zhuǎn)軸線時(shí)，相貫線是垂直于軸線的圓。

（2）兩回轉(zhuǎn)體同切于一個(gè)球時(shí)，相貫線是平面曲線。

（3）兩圓柱軸線平行時(shí)，相貫線是兩條平行直線；兩圓錐共錐頂時(shí)，相貫線為交于

錐頂?shù)闹本€。

3.2.3多個(gè)立體相交

在實(shí)際應(yīng)用中，常會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)以上的立體相交，其表面形成的交線稱為組合相貫線。

求組合相貫線時(shí)，應(yīng)首先分析組合體由哪些基本體組成以及彼此之間的相對(duì)位置關(guān)系，然

后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的相貫線，并依次將其連接。

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小結(jié)：

1．立體表面的截交線

（1）平面體的截交線一般情況下是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截

平面與棱面的交線。

（2）平面截切回轉(zhuǎn)體，截交線的形狀取決于截平面與被截立體軸線的相對(duì)位置。

截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線。

（3）解題方法與步驟

空間及投影分析

求截交線

當(dāng)單體被多個(gè)截平面截切時(shí)，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析與作圖。當(dāng)只有

局部被截切時(shí)，先按整體被截切求出截交線，然后再取局部。

求復(fù)合回轉(zhuǎn)體的截交線，應(yīng)首先分析復(fù)合回轉(zhuǎn)體由哪些基本回轉(zhuǎn)體組成以及它

們的連接關(guān)系，然后分別求出這些基本回轉(zhuǎn)體的截交線，并依次將其連接。

2．立體表面的相貫線

相貫線的性質(zhì)：表面性共有性封閉性

求相貫線的基本方法：面上找點(diǎn)法輔助平面法

（1）平面體