2022-2023學(xué)年上海市向東中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是“兩條直線是異面直線”的__________條件．【答案】必要不充分【分析】兩條直線沒有公共點(diǎn)，得到異面或者平行，異面可以得到?jīng)]有交點(diǎn)，得到答案.【詳解】兩條直線沒有公共點(diǎn)，則兩條直線平行或者異面兩條直線是異面直線，則兩條直線沒有公共點(diǎn)“兩條直線沒有公共點(diǎn)”是“兩條直線是異面直線”的必要不充分條件.故答案為必要不充分【點(diǎn)睛】本題考查了充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題型.2．已知向量，則向量的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算法則即可求解.【詳解】由題意可知，.故答案為：3．已知球的體積是，則該球的半徑為______．【答案】##【分析】根據(jù)球的體積公式，代入就可求得半徑.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)球的體積公式,即，解得.故答案為：.4．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是2的倍數(shù)的概率為______．【答案】##0.8【分析】列舉出所有情況，及數(shù)字之積是2的倍數(shù)的情況，從而利用古典概型求概率公式求出答案.【詳解】6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，有以下情況：，，共有15種情況，其中數(shù)字之積是2的倍數(shù)的情況有，共12種情況，故概率為.故答案為：5．用斜二測(cè)畫法畫得的正方形的直觀圖的面積為，那么原正方形的面積為______．【答案】16【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則得到直觀圖的對(duì)應(yīng)邊長關(guān)系，即可求出相應(yīng)的面積．【詳解】設(shè)原正方形的邊長為，根據(jù)斜二測(cè)畫法的原則可知，，高，∴對(duì)應(yīng)直觀圖的面積為，即，故原正方形的面積為16，故答案為:16．6．將邊長分別為和的矩形，繞邊長為的一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，則該圓柱的體積為______．【答案】【分析】確定圓柱的底面半徑和母線長，利用側(cè)面積求解公式可得.【詳解】解：由題知，圓柱的底面半徑為，母線長為，所以該圓柱的體積為故答案為：．7．棱長為2的正四面體（所有棱長都相等）的側(cè)棱與底面所成角的大小是______．【答案】【分析】設(shè)正四面體的頂點(diǎn)在平面中的投影為點(diǎn)，進(jìn)而得是側(cè)棱與底面所成角，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.【詳解】解：如圖，設(shè)正四面體的頂點(diǎn)在平面中的投影為點(diǎn)，所以，由正四面體的性質(zhì)可知，平面，且為等邊三角形的中心，所以，是側(cè)棱與底面所成角，且是等邊三角形的邊的中線，因?yàn)檎拿骟w的棱長為，所以，，，所以，在中，，所以，側(cè)棱與底面所成角的大小是故答案為：8．圓錐底面半徑為3，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則此圓錐的側(cè)面積為______．【答案】【分析】側(cè)面積即為扇形面積，底面周長為扇形弧長，由此可得扇形半徑，后可得答案.【詳解】因底面半徑為3，則底面周長即扇形弧長為，又圓心角為，則扇形半徑為：.則扇形面積即圓錐側(cè)面積為：.故答案為：9．正三棱錐底面邊長為，側(cè)棱長為4，則二面角的大小為______．【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得二面角的平面角為，利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵，則，故二面角的平面角為，由題意可得：，∵，且，故二面角的大小為.故答案為：.10．把一個(gè)圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為，母線（原圓雉母線在圓臺(tái)中的部分）長為9，則原圓錐的母線長______．【答案】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：取軸截面可知，圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為，且，設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)相似比可得，解得，即原圓錐的母線長為.故答案為：.11．在棱長為的正方體中，，分別是正方形、正方形的中心，則過點(diǎn)，，的平面截正方體的截面面積為______．【答案】【分析】連接AC，,,找到過點(diǎn)A、、的平面截正方體的截面,確定其形狀，求得截面邊長，即可求得答案.【詳解】如圖連接AC，則AC過點(diǎn)M,連接,則經(jīng)過點(diǎn)N,連接,則過點(diǎn)A、、的平面截正方體的截面為等邊，因?yàn)檎襟w棱長為，故邊長為，面積為，故答案為：12．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為6，則數(shù)據(jù)的方差是______．【答案】54【分析】設(shè)的平均數(shù)為，結(jié)合的方差為6，根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式得到的平均數(shù)和方差.【詳解】設(shè)的平均數(shù)為，則，且，故的平均數(shù)為，方差為.故答案為：54二、單選題13．若直線的方向向量為，平面的法向量為，能使的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意知，要使，則直線的方向向量與平面的法向量垂直，即.【詳解】若，則；對(duì)于A：，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，故B正確；對(duì)于C：，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，，故D錯(cuò)誤；故選：B.14．下列命題中真命題是（

）A．四邊形一定是平面圖形B．相交于一點(diǎn)的三條直線只能確定一個(gè)平面C．四邊形四邊上的中點(diǎn)可以確定一個(gè)平面D．如果點(diǎn)，，平面，且，，平面，則平面與平面為同一平面【答案】C【分析】利用平面的基本性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于A，四邊形有平面四邊形和空間四邊形，由不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為空間四邊形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，三棱錐三條側(cè)棱所在的直線相交于一點(diǎn)，但這三條直線不共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由四邊形四邊上的中點(diǎn)連線為平行四邊形，平行四邊形對(duì)邊平行，所以四邊形四邊上的中點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，故C正確；下面證明四邊形四邊上的中點(diǎn)連線為平行四邊形．證明：如圖為四邊形，其中，，，分別為，，，的中點(diǎn)，連接，，，由，為，，則，且，同理，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形．對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)，，在一條直線上時(shí)，平面和與平面也可能相交，故D錯(cuò)誤．故選：C．15．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)榧t燈持續(xù)時(shí)間為40秒,所以這名行人至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選B.【解析】幾何概型【名師點(diǎn)睛】對(duì)于幾何概型的概率公式中的“測(cè)度”要有正確的認(rèn)識(shí)，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時(shí)，要掌握“測(cè)度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法．16．為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（

）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【分析】根據(jù)直方圖的意義直接計(jì)算相應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應(yīng)的頻率，然后求和即得到樣本的平均數(shù)的估計(jì)值，也就是總體平均值的估計(jì)值，計(jì)算后即可判定C.【詳解】因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為,故A正確；該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為,故B正確；該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計(jì)值為,故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計(jì)值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯(cuò)誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計(jì)值.注意各組的頻率等于.三、解答題17．某高中高一、高二、高三年級(jí)共有學(xué)生800名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表：高一高二高三男生（人數(shù)）149女生（人數(shù)）143130已知在三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高二年級(jí)男生的概率是0.16(1)求的值；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在三個(gè)年級(jí)中共抽取32名學(xué)生，應(yīng)從高三年級(jí)抽取多少名?【答案】(1)128.(2)10名.【分析】（1）根據(jù)抽到高二年級(jí)男生的概率是0.16，列式計(jì)算，可得答案.（2）求出高三年級(jí)的總?cè)藬?shù)，根據(jù)分層抽樣的比例，列式計(jì)算，求得答案.【詳解】（1）由題意可知.（2）高三年級(jí)人數(shù)為，故用分層抽樣的方法在三個(gè)年級(jí)中共抽取32名學(xué)生，應(yīng)從高三年級(jí)抽取人數(shù)為（名）.18．甲乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員在某次選拔賽中的成績的莖葉圖為：甲乙1103333677992236688889如果以這個(gè)成績?yōu)橐罁?jù)選擇一個(gè)人參加正賽，從平均水平和穩(wěn)定性的角度出發(fā)應(yīng)該選擇誰？用統(tǒng)計(jì)學(xué)相關(guān)數(shù)據(jù)說明你選擇的理由．【答案】選擇甲，理由見解析【分析】分別求出，和，，然后比較大小即可求解.【詳解】依題意，，，，所以，.所以從平均水平和穩(wěn)定性的角度出發(fā)應(yīng)該選擇甲.19．三棱錐中，，分別為，中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的大小．【答案】(1)證明見解析.(2).【分析】（1）連接，證明，,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)M，連接，找到異面直線與所成角，求出相關(guān)線段長，解三角形，即可求得答案.【詳解】（1）連接，∵O為的中點(diǎn)，∴，,且,又，O為的中點(diǎn)，∴，且，在中，，∴，即，又平面，∴平面.（2）取的中點(diǎn)M，連接，由E為的中點(diǎn)，知，∴直線與所成的角就是異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中，，，由平面，平面,所以,∵是直角三角形斜邊上的中線，∴,在中，由余弦定理可得：,由于異面直線所成角的范圍為，所以異面直線與所成角的大小為.20．如圖所示的正四棱柱的底面邊長為，側(cè)棱,點(diǎn)在棱上，且().（1）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積；（2）當(dāng)異面直線與所成角的大小為時(shí)，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】試題分析：（1）正四棱柱中，平面，可得；（2）以為原點(diǎn)，射線、、作軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，利用空間向量夾角余弦公式列方程求解即可.試題解析：（1）由，得，又正四棱柱，則平面，則.（2）以為原點(diǎn)，射線、、作軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，，即，又異面直線與所成角的大小為，則,化簡(jiǎn)整理得，又，即.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用空間向量求異面直線所成的角角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.21．如圖，等腰，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，繞所在的邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周．設(shè)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為，．(1)求旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離；(3)若，求旋轉(zhuǎn)角．【答案】(1)，.(2)(3)或.【分析】(1)旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐與圓錐的體積之差;表面積為圓錐