第三章矩陣分析及其應(yīng)用演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有78頁\編輯于星期四（優(yōu)選）第三章矩陣分析及其應(yīng)用.現(xiàn)在是2頁\一共有78頁\編輯于星期四定義設(shè)已知矩陣序列，其中，當(dāng)k→∞，時(shí)，稱{A(k)}收斂，并稱矩陣為{A(k)}的極限，或稱{A(k)}收斂于A，記為或不收斂的矩陣序列稱為發(fā)散。矩陣序列與極限現(xiàn)在是3頁\一共有78頁\編輯于星期四定理矩陣序列收斂于A的充分必要條件是其中為任意一種矩陣范數(shù)。證明取矩陣范數(shù)必要性：設(shè)那么由定義可知對(duì)每一對(duì)i,j

都有

現(xiàn)在是4頁\一共有78頁\編輯于星期四從而有上式即為充分性：設(shè)那么對(duì)每一對(duì)i,j

都有即現(xiàn)在是5頁\一共有78頁\編輯于星期四故有現(xiàn)在已經(jīng)證明了定理對(duì)于所設(shè)的范數(shù)成立。如果是另外一種范數(shù)，那么由范數(shù)的等價(jià)性可知這樣，當(dāng)時(shí)同樣可得因此定理對(duì)于任意一種范數(shù)都成立?，F(xiàn)在是6頁\一共有78頁\編輯于星期四矩陣序列極限運(yùn)算的性質(zhì)。（1）收斂矩陣序列的極限是唯一的。（2）設(shè)則（3）設(shè)，其中那么（4）設(shè)，那么其中（5）設(shè)，且,A均可逆，則也收斂，且現(xiàn)在是7頁\一共有78頁\編輯于星期四證明：（2）（3）（4）（5）現(xiàn)在是8頁\一共有78頁\編輯于星期四例1若對(duì)矩陣A的某一范數(shù)，則例2

的充要條件是。證明設(shè)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形現(xiàn)在是9頁\一共有78頁\編輯于星期四于是顯然，的充要條件是又因其中現(xiàn)在是10頁\一共有78頁\編輯于星期四于是的充要條件是。因此的充要條件是例3設(shè)是的相容矩陣范數(shù)，則對(duì)任意，都有現(xiàn)在是11頁\一共有78頁\編輯于星期四例4

構(gòu)造一個(gè)收斂的二階可逆矩陣序列，但是其極限矩陣不可逆。解顯然每一個(gè)均可逆，但是其極限矩陣卻不可逆?，F(xiàn)在是12頁\一共有78頁\編輯于星期四定義：設(shè)，如果mn個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，則稱矩陣級(jí)數(shù)收斂。如果mn個(gè)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，則稱以上矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。矩陣級(jí)數(shù)現(xiàn)在是13頁\一共有78頁\編輯于星期四例如果設(shè)，其中那么矩陣級(jí)數(shù)是收斂的，而且是絕對(duì)收斂的?，F(xiàn)在是14頁\一共有78頁\編輯于星期四定理設(shè)，則矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充分必要條件是正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，其中為任意一種矩陣范數(shù)。證明取矩陣范數(shù)，那么對(duì)每一對(duì)i,j

都有因此如果現(xiàn)在是15頁\一共有78頁\編輯于星期四收斂，則對(duì)每一對(duì)

i,j

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都是收斂的，于是矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。反之，若矩陣級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則對(duì)每一對(duì)

i,j

都有現(xiàn)在是16頁\一共有78頁\編輯于星期四于是根據(jù)范數(shù)等價(jià)性定理知結(jié)論對(duì)任何一種范數(shù)都正確?，F(xiàn)在是17頁\一共有78頁\編輯于星期四定義設(shè)，稱形如的矩陣級(jí)數(shù)為矩陣冪級(jí)數(shù)。定理設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，A為n階方陣。若，則矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若，則發(fā)散。矩陣冪級(jí)數(shù)現(xiàn)在是18頁\一共有78頁\編輯于星期四證明設(shè)A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為其中于是現(xiàn)在是19頁\一共有78頁\編輯于星期四所以其中現(xiàn)在是20頁\一共有78頁\編輯于星期四當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)都是絕對(duì)收斂的，故矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散。推論矩陣冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充分必要條件是。且其和。現(xiàn)在是21頁\一共有78頁\編輯于星期四例1

（1）求下面級(jí)數(shù)的收斂半徑（2）設(shè)判斷矩陣冪級(jí)數(shù)的斂散性。解設(shè)此級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，利用公式容易求得此級(jí)數(shù)的收斂半徑為2。而。所以由上面的定理可知矩陣冪級(jí)數(shù)收斂?，F(xiàn)在是22頁\一共有78頁\編輯于星期四定義：設(shè)，一元函數(shù)f(z)能夠展開成關(guān)于z

的冪級(jí)數(shù)并且該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R。當(dāng)矩陣A的譜半徑時(shí)，我們將收斂的矩陣冪級(jí)數(shù)矩陣函數(shù)的和定義為矩陣函數(shù)，一般記為f(A)，即現(xiàn)在是23頁\一共有78頁\編輯于星期四例：因?yàn)楫?dāng)|z|<+∞時(shí)，有都是絕對(duì)收斂的，因此現(xiàn)在是24頁\一共有78頁\編輯于星期四都是絕對(duì)收斂的，因此可以定義由此可以得到一些簡單的結(jié)論：現(xiàn)在是25頁\一共有78頁\編輯于星期四現(xiàn)在是26頁\一共有78頁\編輯于星期四定理：設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，我們有證明：首先證明第一個(gè)等式現(xiàn)在是27頁\一共有78頁\編輯于星期四現(xiàn)在證明第二個(gè)等式現(xiàn)在是28頁\一共有78頁\編輯于星期四同樣可以證明其余的結(jié)論。注意：這里矩陣A

與B

的交換性條件是必不可少的?，F(xiàn)在是29頁\一共有78頁\編輯于星期四例：設(shè)那么容易計(jì)算并且于是有現(xiàn)在是30頁\一共有78頁\編輯于星期四故有顯然三者互不相等?，F(xiàn)在是31頁\一共有78頁\編輯于星期四當(dāng)|z|<1時(shí)，有設(shè)，當(dāng)時(shí)，有現(xiàn)在是32頁\一共有78頁\編輯于星期四函數(shù)在矩陣譜上的值與矩陣函數(shù)定義：設(shè)，為A

的r個(gè)互不相同的特征值，為其最小多項(xiàng)式且有其中如果函數(shù)f(x)具有足夠高階的導(dǎo)數(shù)并且下列m個(gè)值存在，則稱函數(shù)f(x)在矩陣A的譜上有定義。矩陣函數(shù)的計(jì)算-待定系數(shù)法現(xiàn)在是33頁\一共有78頁\編輯于星期四例：設(shè)又已知容易求得矩陣A的最小多項(xiàng)式為并且所以f(x)

在A的譜上有定義.現(xiàn)在是34頁\一共有78頁\編輯于星期四但是如果取容易求得矩陣B的最小多項(xiàng)式為顯然f(3)不存在，所以在B的譜上無定義。現(xiàn)在是35頁\一共有78頁\編輯于星期四定理：設(shè)函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)在矩陣A的譜上都有定義，那么f(A)=g(A)的充分必要條件是f(x)與g(x)在A的譜上的值完全相同。設(shè)矩陣的最小多項(xiàng)式為其中為矩陣A的r個(gè)互異特征值且矩陣函數(shù)的計(jì)算-待定系數(shù)法現(xiàn)在是36頁\一共有78頁\編輯于星期四

如何尋找多項(xiàng)式p(x)使得p(A)與所求的矩陣函數(shù)f(A)完全相同？根據(jù)計(jì)算方法中的Hermite插值多項(xiàng)式定理可知，在眾多的多項(xiàng)式中有一個(gè)次數(shù)為m-1次的多項(xiàng)式且滿足條件這樣，多項(xiàng)式中的系數(shù)完全可以通過關(guān)系式現(xiàn)在是37頁\一共有78頁\編輯于星期四確定出來。則我們稱為矩陣函數(shù)f(A)的多項(xiàng)式表示。現(xiàn)在是38頁\一共有78頁\編輯于星期四例2

：設(shè)求f(A)的多項(xiàng)式表示并且計(jì)算解：容易觀察出該矩陣的最小多項(xiàng)式為這是一個(gè)3次多項(xiàng)式，從而存在一個(gè)次數(shù)為2的多項(xiàng)式且滿足現(xiàn)在是39頁\一共有78頁\編輯于星期四于是有解得所以其多項(xiàng)式表示為現(xiàn)在是40頁\一共有78頁\編輯于星期四當(dāng)時(shí)，可得于是有當(dāng)時(shí)，可得故有現(xiàn)在是41頁\一共有78頁\編輯于星期四類似地有現(xiàn)在是42頁\一共有78頁\編輯于星期四例3

：設(shè)求的多項(xiàng)式表示并且計(jì)算解：容易觀察出該矩陣的最小多項(xiàng)式為這是一個(gè)2次多項(xiàng)式，從而存在一個(gè)次數(shù)為1的多項(xiàng)式且滿足現(xiàn)在是43頁\一共有78頁\編輯于星期四于是有解得所以其多項(xiàng)式表示為當(dāng)時(shí)，可得現(xiàn)在是44頁\一共有78頁\編輯于星期四當(dāng)時(shí)，可得同樣可得現(xiàn)在是45頁\一共有78頁\編輯于星期四練習(xí)：設(shè)求的多項(xiàng)式表示并且計(jì)算現(xiàn)在是46頁\一共有78頁\編輯于星期四矩陣函數(shù)的計(jì)算-相似對(duì)角矩陣

設(shè)矩陣A相似于對(duì)角矩陣，即存在可逆矩陣P，滿足則有現(xiàn)在是47頁\一共有78頁\編輯于星期四現(xiàn)在是48頁\一共有78頁\編輯于星期四例：設(shè)求解：該矩陣的特征多項(xiàng)式為求得特征值λ1=-2，λ2=λ3=1，對(duì)應(yīng)的特征向量現(xiàn)在是49頁\一共有78頁\編輯于星期四構(gòu)造矩陣求得則有現(xiàn)在是50頁\一共有78頁\編輯于星期四因此有現(xiàn)在是51頁\一共有78頁\編輯于星期四定理：設(shè)，J為矩陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，P為其相似變換矩陣且使得，其中矩陣函數(shù)的計(jì)算-Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法如果函數(shù)f(x)在矩陣A的譜上有定義，那么其中現(xiàn)在是52頁\一共有78頁\編輯于星期四現(xiàn)在是53頁\一共有78頁\編輯于星期四例1：設(shè)求A的Jordan表示并計(jì)算.解：首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣J與相似變換矩陣P.從而的Jordan表示為現(xiàn)在是54頁\一共有78頁\編輯于星期四當(dāng)時(shí)，可得，從而有現(xiàn)在是55頁\一共有78頁\編輯于星期四當(dāng)時(shí)，可得，于是有當(dāng)時(shí)，可得，同樣可得現(xiàn)在是56頁\一共有78頁\編輯于星期四矩陣的微分和積分導(dǎo)數(shù)定義基本性質(zhì)其中為標(biāo)量函數(shù)現(xiàn)在是57頁\一共有78頁\編輯于星期四現(xiàn)在是58頁\一共有78頁\編輯于星期四如果方陣A(t)的逆矩陣存在，則有于是有現(xiàn)在是59頁\一共有78頁\編輯于星期四積分基本性質(zhì)現(xiàn)在是60頁\一共有78頁\編輯于星期四函數(shù)對(duì)矩陣的導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)，即：X→f(X)，f(X)∈F，記定義現(xiàn)在是61頁\一共有78頁\編輯于星期四例1：設(shè)，n元函數(shù)計(jì)算。解：現(xiàn)在是62頁\一共有78頁\編輯于星期四例2：現(xiàn)在是63頁\一共有78頁\編輯于星期四例3現(xiàn)在是64頁\一共有78頁\編輯于星期四例4現(xiàn)在是65頁\一共有78頁\編輯于星期四

當(dāng)A是對(duì)稱矩陣時(shí)，即：AT=A，則有現(xiàn)在是66頁\一共有78頁\編輯于星期四例5：設(shè)，一元函數(shù)計(jì)算。解：現(xiàn)在是67頁\一共有78頁\編輯于星期四矩陣函數(shù)對(duì)矩陣的導(dǎo)數(shù)矩陣函數(shù)的定義現(xiàn)在是68頁\一共有78頁\編輯于星期四例1：設(shè)