第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023年山西省重點(diǎn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知集合A={x|x2?3x<4}，B=(?2,2)，則A∪B=A.(?2,4) B.(?4,2) C.(?2,2) D.(?4,4)2.已知復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1|=3，zA.33 B.26 C.353.已知一個(gè)足球場(chǎng)地呈南北走向.在一次進(jìn)攻時(shí)，某運(yùn)動(dòng)員從A點(diǎn)處開(kāi)始帶球沿正北方向行進(jìn)16米到達(dá)B處，再轉(zhuǎn)向北偏東60°方向行進(jìn)了24米到達(dá)C處，然后起腳射門，則A，C兩點(diǎn)的距離為(

)A.87米 B.810米 C.32米 D.4.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P(x0,1)在C上，過(guò)P作l的垂線，垂足為Q，若|PO|=|PQ|(O為原點(diǎn))，則F到A.1 B.2 C.4 D.65.有一個(gè)棱柱形狀的石料，底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，該石料側(cè)棱垂直于底面，若可以將該石料打磨成四個(gè)半徑為3的石球，則至少需要打磨掉的石料廢料的體積為(

)A.216?43π B.216?163π C.6.已知向量a=(1,2)，b=(cosθ,sinθ)，其中θ∈(0,2π).若a?A.3 B.2 C.33 D.7.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為(

)A.3.5 B.4 C.4.5 D.58.已知橢圓M：x23+y2=1的上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A且不與y軸重合的直線l與M的另一個(gè)交點(diǎn)為B(x1,y1)(其中x1>0)，過(guò)B作A.?23 B.?3 C.?3二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，前n項(xiàng)積為Tn，若TA.0<q<1 B.q>1 C.T13>1>T10.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(?154≤ω≤?3,|φ|<π2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?π3A.f(x)的最小正周期T∈[8π15,2π3]

B.f(x)在[?π3,?π6]上單調(diào)遞增

C.11.已知橢圓C：x28+y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=t(t∈(0,2))與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)A.|F1A|+|F1B|=42

B.AF1⊥BF1時(shí)，t=312.已知函數(shù)f(x)=x+1ex?1?ax?1A.若f(x)在R上單調(diào)遞增，則a≤?1

B.若0<a<2，設(shè)f(x)>a?1的解集為(m,n)(n>m)，則n?m>2

C.若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x2>2x1，則a∈(?eln22,0)三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.A，B兩籃球運(yùn)動(dòng)員在球衣號(hào)分別為6，8，9，18的四件球衣中各隨機(jī)選一件，則A選的是偶數(shù)號(hào)球衣的不同選法共有

種.14.已知直線ax+2by?1=0(a>0,b>0)過(guò)定點(diǎn)(2,1)，則1a+2b的最小值為

15.若在圓C：x2+y2=r2(r>0)上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P作圓M：(x?2)2+16.若曲線y=ax(x>0)與曲線y=2lnx存在公切線，則a的取值范圍為

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=π3，且△ABC的周長(zhǎng)為6．

(1)證明：bc+12=4(b+c)；

(2)求△ABC面積的最大值．18.(本小題12.0分)

已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1，an+1>an，且an+2+an=a2?an+1(n∈N?19.(本小題12.0分)

一對(duì)夫妻計(jì)劃進(jìn)行為期60天的自駕游.已知兩人均能駕駛車輛，且約定：①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人駕車，另一人休息；②若前一天由丈夫駕車，則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為14，由妻子駕車的概率為34；③妻子不能連續(xù)兩天駕車.已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為12．

(1)求在剛開(kāi)始的三天中，妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)設(shè)在第n天時(shí)，由丈夫駕車的概率為pn，求數(shù)列20.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，∠PBA=∠CBA=45°，BP=BC=22，AB=1．

(1)證明：AB⊥PC；

(2)求二面角A?PC?B的余弦值．21.(本小題12.0分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的焦距為8.過(guò)左焦點(diǎn)F的直線與C的左半支交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B作直線l：x=?1的垂線，垂足分別為M，N，且當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，|MN|=12．

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(222.(本小題12.0分)

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+2x2?xa?bx，其中a>0，b∈R．

(1)若a=14，且f(x)在區(qū)間(0,t)單調(diào)遞減，在區(qū)間(t,+∞)單調(diào)遞增，求t的最小值；

(2)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：A={x|x2?3x<4}={x|(x?4)(x+1)<0}={x|?1<x<4}，

則A∪B=(?2,4)．

故選：A．

分別將兩個(gè)集合中的元素表示出來(lái)，再求并集．2.【答案】C

【解析】解：|z1|=3，z2=2+i，

則|z2|=22+12=3.【答案】D

【解析】解：如圖，根據(jù)題意可知，AB=16，BC=24，∠ABC=120°，

由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2?2AB?BC?cos120°=162+242?2×16×24×(?124.【答案】C

【解析】解：根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)及題意可得：

|PF|=|PQ|=|PO|，

又|PF|=p2+1，|PO|=x02+1，且x02=2p，

∴p2+1=2p+1，(p>0)，

解得p=4，

∴F到準(zhǔn)線l的距離為p=45.【答案】B

【解析】解：底面是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，則等邊三角形有內(nèi)切圓，且內(nèi)切圓的半徑為3，

可知四個(gè)石球均與正三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，

需要石料的高為4×23=83，

則石料的體積為12×6×6×32×83=216，

四個(gè)石球的體積為4×43π×(3)6.【答案】B

【解析】解：∵向量a=(1,2)，b=(cosθ,sinθ)，其中θ∈(0,2π)，a?b=|a|，

∴cosθ+2sinθ=12+(2)2=3，

則cos2θ+2sin2θ+22sinθcosθ=3cos7.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，

則兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)x?=6×3+6×512=4，

則新數(shù)據(jù)的方差S2=612[5+(3?48.【答案】C

【解析】解：由題意可得直線l的方程為y=kx+k(k<0)，

將直線方程代入橢圓方程可得：(1+3k2)x2+6kx=0，所以x1=?6k1+3k2，

則y1=?6k21+3k2+1=1?3k21+3k2，因?yàn)檫^(guò)B作l的垂線，交y軸于點(diǎn)C，

所以BC所在直線方程為：y=?1k(x+6k1+3k2)+1?3k21+3k9.【答案】AC

【解析】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為q>0，T7>T6>T8，

則a7>1，0<a8<1，0<a7?a8<1，

所以0<q<1，A10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，∵?154≤ω≤?3，∴T=2π|ω|∈[8π15,2π3]，故A正確；

對(duì)于B，若存在t>0，使f(x)在[?π3?t,?π3+t]上單調(diào)遞增，

則由正弦型曲線的性質(zhì)得：t≤T4，即t≤π6，

∴f(x)在[?π3,?π6]上不一定單調(diào)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，∵(?π3,0)是f(x)的對(duì)稱中心，∴(?π3+kT2,0)，k∈Z也是f(x)的對(duì)稱中心，

?π3+T2∈[?π15,0]，?π3+T∈[π5,π3]，?π3+3T2∈[7π15,2π3]，?π3+2T∈[11π15,π]，

2π3<7π10<11π15，

∴(7π10,0)11.【答案】ACD

【解析】解：由橢圓C：x28+y24=1，可得a=22，b=2，c=2，

由對(duì)稱性可知|AF1|=|BF2|，∴|F1A|+|F1B|=|BF2|+|F1B|=2a=|42，故A正確；

F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(?2,0)，(2,0)，設(shè)A(?x,t)，B(x,t)，

AF1=(?2+x,?t)，BF1=(?2?x,?t)，

若AF1⊥BF1時(shí)，可得AF1?BF1=4?x2+t2=4?(8?2t2)+t2=0，解得t=233，故B錯(cuò)誤；

∵直線y=t(t∈(0,2))與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(?8?2t2,t)，(8?2t2,t)，

∴S=12|AB|×d=12×2×8?2t2×t=8?2t2×t=2×4?t2×t≤2×(12.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，f′(x)=?xex?1?a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，

所以f(x)≥0恒成立，即?a≥xex?1恒成立，

記g(x)=xex?1，則?a≥g(x)max，

因?yàn)間′(x)=1?xex?1，當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，

所以函數(shù)g(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

因此，函數(shù)g(x)在x=1處取得最大值g(1)=1，所以?a≥1，即a≤?1，故A正確；

對(duì)于B，由f(x)>a?l得x+1ex?1>a(x+1)，等價(jià)于(x+1)(1ex?1?a)>0，即(x+1)(e?aex)>0，

當(dāng)x>?1時(shí)，aex<e，x<1?lna，又0<a<2，故lna<ln2≈0.69，

所以?1<x<1?lna，當(dāng)x<?1時(shí)，aex>e，x>1?lna無(wú)解，

故f(x)>a?1的解集為(?1,1?lna)，此時(shí)n?m=(1?lna)?(?1)=2?lna，

當(dāng)1<a<2時(shí)，0<lna<ln2≈0.69，n?m=2?lna<2，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x2>2x1，所以f′(x)=?xex?1?a有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，

即方程?a=xex?1有兩個(gè)解為x1，x2，設(shè)g(x)=xex?1，則g′(x)=1?xex?1，

當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，即函數(shù)g(x)在(?∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,+∞)上單調(diào)遞減，

因此，函數(shù)g(x)在x=1處取得最大值g(1)=1，

令x2=2x1，則x1ex1?1=x2ex2?1=2x1e2x1?1，解得x1=ln2，

此時(shí)?a=x1ex1?1=ln2eln2?1=eln22，即a=?eln22，

方程?a=xex?1有兩個(gè)解為x1，x2等價(jià)于y=?a與y=xex?1有兩個(gè)交點(diǎn)，

作出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖象可得0<?a<eln22，

解得?eln213.【答案】9

【解析】解：A選的是偶數(shù)號(hào)球衣的選法有3種，

B從A選完后剩余的3件球衣中選1件的選法有3種，

則A選的是偶數(shù)號(hào)球衣的不同選法共有3×3=9種，

故答案為：9．

根據(jù)分步乘法法則直接得出答案．

本題考查了排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

14.【答案】6+42【解析】解：由題意得2a+2b=1，a>0，b>0，

則1a+2b=2a+2ba+4a+4bb=6+2ba+4ab≥6+22ba?4ab=6+42，

當(dāng)且僅當(dāng)2b15.【答案】[2?3【解析】解：由圓M：(x?2)2+y2=1，可得圓心M(2,0)，半徑R=1，

設(shè)過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線的切點(diǎn)為N，則|PN|=2，

∴|PM|=(2)2+12=3，

由圓C：x2+y2=r2(r>0)，可得圓心C(0,0)，半徑為r，

∵在圓C：x2+y2=r2(r>0)上存在一點(diǎn)P，使|PN|=2，16.【答案】[?2【解析】解：設(shè)公切線與曲線f(x)=ax(x>0)的切點(diǎn)為(x1,ax1)，與曲線g(x)=2lnx的切點(diǎn)為(x2,2lnx2)，

∵f′(x)=?ax2，g′(x)=2x，

∴y=f(x)在x=x1處的切線方程為y=(?ax12)(x?x1)+ax1=(?ax12)x+2ax1，

同理可得，y=g(x)在x=x1處的切線方程為y=2x2x+2lnx2?2，

由題意可知，?ax12=2x22ax1=2lnx2?2，即ax12=?2x2ax1=lnx2?1①，

∵ax12=?2x2<0，∴a<0，

∴ax1=lnx2?1<0，17.【答案】證明：(1)在△ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2?2bccosA，

即a2=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc，又因?yàn)閍+b+c=6，

所以[6?(b+c)]2=(b+c)2?3bc，整理可得：12?4(b+c)=?bc，

所以bc+12=4(b+c)得證；

解：(2)由(1)可知：bc+12=4(b+c)，

所以bc+12≥4×2bc【解析】(1)利用余弦定理和三角形周長(zhǎng)即可求解；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論和基本不等式得出bc≤4，然后利用三角形面積公式即可求解．

本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題．

18.【答案】解：(1)∵a2=2，an+2+an=a2?an+1，

∴an+2+an=2an+1，

∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，

∵a1=1，∴等差數(shù)列{an}的公差為1，

∴an=1+(n?1)=n，

∴Sn=n(n+1)2；

(2)∵{an+1?2【解析】(1)由題意得an+2+an=2an+1，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，即可得出答案；

(2)由題意得a2?2a119.【答案】解：(1)假設(shè)妻子在開(kāi)始的三天駕車的天數(shù)為X，

由題意，X的取值為0，1，2，

P(X=0)=12×14×14×1X

0

1

2

P

1

313E(X)=0×1128+1×31128+2×34=223128；

(2)第n天時(shí)，丈夫駕車的概率為Pn，則第n+1天為丈夫駕車的概率為Pn+1=14Pn+(1?Pn)=1?34Pn【解析】(1)假設(shè)妻子在開(kāi)始的三天駕車的天數(shù)為X，X的取值為0，1，2，計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，寫出分布列，計(jì)算期望即可；

(2)第n天由丈夫駕車Pn，則第n+1天為丈夫駕車的概率為Pn+1=14Pn+(1?Pn20.【答案】解：(1)證明：如圖，作PO⊥AB，垂足為O，連接CO，

∵PO⊥BO，且∠PBA=45°，

∴△PBO是等腰直角三角形，又PB=22，

∴OB=OP=2，

又BC=22，∠CBO=45°，

由余弦定理得CO=2，

∴BO2+CO2=BC2，∴OB⊥OC，

∵OP∩OC=O，∴OB⊥平面POC，又PC?平面POC，

∴OB⊥PC，∴AB⊥PC．

(2)∵平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，

PO⊥AB，PO?平面PAB，

∴PO⊥平面ABC，又OC?平面ABC，

∴PO⊥OC，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，

則CA=(1,?2,0)，CB=(2,?2,0)，CP=(0,?2,2)，

設(shè)平面APC的法向量為m=(xy,z)，

則m?CA=x?2y=0m?CB=2x?2y+2z=0，取x=2，得m=(2,1,1)，

設(shè)平面BPC的法向量n【解析】(1)作PO⊥AB，垂足為O，可得OB⊥OC，又PO⊥BO，可得OB⊥平面POC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明；

(2)以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz，求出兩個(gè)平面的法向量即可求二面角的余弦值．

本題考查線面垂直、線線垂直的判定與性質(zhì)、二面角的余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

21.【答案】解：(1)由題意可得2c=8，可得c=4，

所以a2+b2=16，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則M(?1,y1)，N(?1,y2)，

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，

因?yàn)閨AB|=|MN|=12，則|y1|=|y2|=6，

所以16a2?36b2=1，解得a=2，b=23，

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24?y212=1．

(2)由(1)可知，M(?1,y1)，N(?1,y2)，設(shè)直線AB的方程為x=my?4，

聯(lián)立x=my?4x24?y212=1，得(3m2?1)y2?24my+36=0，

所以Δ=(?24m)2?4(3m2?1)×36=144m2+144>0