第十三篇幾何證明選講1．理解相似三角形的定義與性質(zhì)，掌握直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系2．會(huì)證明和應(yīng)用以下定理(1)直角三角形的射影定理；(2)圓周角定理；(3)圓的切線(xiàn)的判定定理與性質(zhì)定理；(4)相交弦定理；(5)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理與判定定理；(6)切割線(xiàn)定理.知識(shí)能力解讀知能解讀(一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1．平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理推論2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一腰．2．平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理定理：三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．3．相似三角形的判定及性質(zhì)(1)相似三角形的判定值叫做相似比(或相似系數(shù))．②預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))相交，所構(gòu)成的三角③相似三角形的判定定理判定定理1：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．判定定理2：對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角行于三角形的第三邊．判定定理3：對(duì)應(yīng)任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．④直角三角形相似的判定形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似．定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．(2)相似三角形的性質(zhì)定理：①相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比．②相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．③相似三角形面積的比等于相似比的平方．質(zhì)的作用：①可用來(lái)證明線(xiàn)段成比例、角相等．②可間接證明線(xiàn)段相等．③可計(jì)算周長(zhǎng)、特殊線(xiàn)段長(zhǎng)．4．直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影與斜邊的比例中項(xiàng)．角三角形相似時(shí)，要特別注意直角這一隱含條件．知能解讀(二)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系(1)圓周角的概念頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是頂點(diǎn)在圓上，二是兩邊都和圓相交，二者缺一不可．(2)圓周角定理定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑． (3)圓心角定理定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)．2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)圓內(nèi)接多邊形的概念任一個(gè)三角形都有外接圓，但任一個(gè)四邊形并不一定有外接圓．(2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)(3)圓內(nèi)接四邊形的判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．3．圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理(1)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系相切(一個(gè)公共點(diǎn))和相離(沒(méi)有公共點(diǎn))．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的判定可通過(guò)比較圓心到直線(xiàn)的距離和圓的半徑的大小來(lái)實(shí)現(xiàn)．(2)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．(3)圓的切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．(4)切線(xiàn)長(zhǎng)定理(1)弦切角的概念頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角必須具備三個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②一邊是圓的切線(xiàn)；③一邊是過(guò)切點(diǎn)的弦．三者(2)弦切角定理定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．圓冪定理(1)相交弦定理定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．(2)割線(xiàn)定理定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．(3)切割線(xiàn)定理解題方法薈萃思想方法(一)構(gòu)造法通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，證明或判斷等式．思想方法(二)中間量法思想方法(三)轉(zhuǎn)化思想思想方法(四)判定兩三角形相似的方法ABBCCAABBCCAAA'BCB'C'角形ACBBOD兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椋簝山菍?duì)應(yīng)相等，兩三角形相似．例如：如圖所述，若這兩個(gè)三角形相似．簡(jiǎn)單地?cái)⑹鰹椋喝厡?duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似．例如：如圖所示，若6．直角三角形相似的條件(1)以上定理都適用．(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．例如：如圖所示，在RtABC和RtABC中，ACBA'C'B'(3)直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形分別和原直角三角形相似．7．相似三角形的判定定理的選擇(1)已知有一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，可選擇判定定理1或判定定理2．(2)已知有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可選擇判定定理2或判定定理3．(3)判定直角三角形相似時(shí)，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法來(lái)判定，如不能，再考慮用判定一般三角形相似的方法來(lái)判定．8．相似三角形的基本圖形(1)平行線(xiàn)型(如圖)．AAAAAD繞A旋轉(zhuǎn)DEECD交換繞A旋轉(zhuǎn)DEECDEBBCBCBBCBEEDEDAAADE繞A旋轉(zhuǎn)交換ADAADE繞A旋轉(zhuǎn)CCBBCCB(2)射影型(如圖)．ABDC思想方法(五)判定四點(diǎn)共圓的常用方法判定四點(diǎn)共圓的常用方法(1)如果四個(gè)點(diǎn)與一定點(diǎn)的距離相等，那么這四個(gè)點(diǎn)共圓．(2)如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．(3)如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．II．解題規(guī)律技巧規(guī)律技巧(一)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的應(yīng)用在利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及推論解決問(wèn)題時(shí)，常在復(fù)雜的圖形中找出基本圖形(有時(shí)需添加輔助線(xiàn)，構(gòu)成基本圖形)，借圖解題．規(guī)律技巧(二)三角形相似的應(yīng)用由兩個(gè)三角形相似可以解決的問(wèn)題主要有以下幾種：1．求線(xiàn)段的長(zhǎng)或長(zhǎng)度的比先判定兩個(gè)三角形相似，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求邊長(zhǎng)或比值．2．判定或證明等積式或成比例線(xiàn)段(1)把等積式化為比例式，從而確定相關(guān)的兩個(gè)三角形相似． (2)確定兩個(gè)相關(guān)的三角形的方法是：把比例式橫看或者豎看，將兩條線(xiàn)段中的相同字母消去一個(gè)，由余下的字母組成三角形．(3)設(shè)法找到證明這兩個(gè)三角形相似的條件．3．證明線(xiàn)段相等相等來(lái)解決．但有時(shí)用這些方法不容易得出，而是借助相似三角形來(lái)解答．規(guī)律技巧(三)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用在解決有關(guān)圓的切線(xiàn)問(wèn)題(無(wú)論是計(jì)算還是證明)時(shí)，通常需要添加輔助線(xiàn)．一般地，添加 (1)已知一條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)，通常連接圓心和切點(diǎn)，這條半徑垂直于切線(xiàn)． (2)要證明某條直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)，若已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓上的某一點(diǎn)，則需作出經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)的半徑，證明直線(xiàn)垂直于這條半徑，簡(jiǎn)記為“連半徑，證垂直”；若直線(xiàn)與圓的公共點(diǎn)沒(méi)有垂直，證半徑”．規(guī)律技巧(四)弦切角定理及其推論的應(yīng)用計(jì)算、論證．弦切角的運(yùn)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：①證明角相等；②證明直線(xiàn)平行；③證明線(xiàn)段相等；④證明三角形相似．規(guī)律技巧(五)與圓有關(guān)的成比例線(xiàn)段問(wèn)題解決與圓有關(guān)的成比例線(xiàn)段問(wèn)題的一般思路：(1)直接應(yīng)用相交弦定理、切割線(xiàn)定理及其推論；(2)當(dāng)比例式(等積式)中的線(xiàn)段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)化為證明兩個(gè)三角形相似，III．易混易錯(cuò)辨析易混易錯(cuò)(一)因?qū)υ夭淮_定而引起錯(cuò)誤易混易錯(cuò)(二)因忽視分類(lèi)討論而引起錯(cuò)誤易混易錯(cuò)(三)因誤用條件而引起錯(cuò)誤易混易錯(cuò)(四)因忽視弦切角定理的條件而引起錯(cuò)誤易混易錯(cuò)(五)因定理結(jié)論記憶不清而引起錯(cuò)誤高考命題研究測(cè)今后幾年仍將作為課改地區(qū)的選考試題出現(xiàn)．高考命題中，圓的切線(xiàn)、弦切角常與圓內(nèi)接四邊形、圓周角、相似三角形一起考查．而圓內(nèi)度的計(jì)算等問(wèn)題時(shí)，有重要作用，成為命題的熱點(diǎn)、重點(diǎn)．預(yù)測(cè)今后高考中仍以這類(lèi)問(wèn)題的求解、證明為主，題目以選擇題、填空題的形式考查線(xiàn)段長(zhǎng)的計(jì)算，而以解答題、證明題來(lái)高考熱點(diǎn)(一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)相等或?qū)?yīng)線(xiàn)段成比例，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．高考熱點(diǎn)(二)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系附錄：常用公式定理常用定理及性質(zhì)(1)平行截割定理①平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上解得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上解得的線(xiàn)段也相等．②平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理三條平行線(xiàn)截兩條直線(xiàn)，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．(2)相似三角形的判定與性質(zhì)①相似三角形的判定定理②相似三角形的性質(zhì)定理a．相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們?cè)谛边吷?4)圓中有關(guān)的定理①圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．②圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)．③切線(xiàn)的判定與性質(zhì)定理a切線(xiàn)的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．b．切線(xiàn)的性質(zhì)定理半徑．④切線(xiàn)長(zhǎng)定理⑤弦切角定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角．⑥相交弦定理圓內(nèi)的兩條相