本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講座10

2023高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講座第1到第10講

2023高三一輪復(fù)習(xí)講座十排列、組合、二項式定理和概率

復(fù)習(xí)要求

1、排列數(shù)、組合數(shù)的計算、化簡、證明等；會解排列、組合應(yīng)用題，把握常見應(yīng)用題的處理思路。2、把握二項式定理，會用展開式通項求有關(guān)展開式的問題。

3、理解隨機(jī)事件的概率，會求等可能事件的概率，能用加法公式和乘法公式求互斥事件和相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率。

復(fù)習(xí)指導(dǎo)

1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是排列組合的基礎(chǔ)和核心，既可用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，也可用來直接解題。它們的共同點(diǎn)都是把一個事件分成若干個分事件來進(jìn)行計算。只不過利用分類計算原理時，每一種方法都可能獨(dú)立完成事件；如需連續(xù)若干步才能完成的則是分步。利用分類計數(shù)原理，重在分“類〞，類與類之間具有獨(dú)立性和并列性；利用分步計數(shù)原理，重在分步；步與步之間具有相依性和連續(xù)性。比較繁雜的問題，常先分類再分步。

2、排列數(shù)與組合數(shù)都是計算完成事件方法個數(shù)的公式，排列數(shù)是研究排列（既取又排）個數(shù)的公式，組合數(shù)是研究組合（只取不排）個數(shù)的公式，是否有序是它們之間的本質(zhì)區(qū)別。

排列數(shù)公式：Amnn(n1)(n2)[n(m1)]中m，n∈N+，m≤n，規(guī)定0!=1

組合數(shù)公式：C

m

n

n!(nm)!

，當(dāng)m=n時，Amnn(n1)21n!，其

An

mm

Am

n(n1)(n2)[n(m1)]

m!

n!m!(nm)!

mnmmm10

組合數(shù)性質(zhì)：Cm,CnCnCn1，規(guī)定Cn1，其中m，n∈N+，m≤nnCn

3、處理排列組合應(yīng)用題的規(guī)律（1）兩種思路：直接法，間接法

（2）兩種途徑：元素分析法，位置分析法

（3）對排列組合的混合題，一般先選再排，即先組合再排列。弄清要完成什么樣的事件是前提（4）基此題型及方法：捆綁法，插空法，錯位法，分組分派法，均勻分組法，逆向思考法等

4、二項式定理

(ab)

n

Cna

0n

Cna

1n1

bCna

rnr

bCnb

rnn

通項公式Tr1Crnan1br，r=0，1，2，，n二項式系數(shù)的性質(zhì)：

n

（1）對稱性，在展開式中，與首末兩端“等距離〞的兩個二項式系數(shù)相等，即C0nCn，

CnCn

1n1

,CnCn

2n2

,,CnCn

rnr

；

（2）增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值，當(dāng)n是偶數(shù)

n

n1n1

時，中間一項Cn2最大；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項Cn2，Cn2相等，且為最大值；

12nn024135（3）C0nCnCnCn2,CnCnCnCnCnCn

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5、概率

（1）概率是頻率的近似值，兩者是不同概念（2）等可能事件中概率P(A)

mn

，P(A)∈[0，1]

（3）互斥事件A，B中有一個發(fā)生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：BA時，P(A)P(A)1，即對立事件的概率和為1（4）相互獨(dú)立事件A，B同時發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B)

（5）事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k，其中P為事件A在一次試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式[(1-P)+P]n展開的第k+1項

典型例題

例1、用n種不同顏色為以下兩塊廣告牌著色（如圖），要求在①，②，③，④個區(qū)域中相鄰（有公共邊界）的區(qū)域不用同一種顏色。

（1）若n=6，為甲著色時共有多少種不同方法？（2）若為乙著色時共有120種不同方法，求n。

解：完成著色這件事，共分四個步驟，可依次考慮為①、②、③、④著色時各自的方法數(shù)，再由乘法原理確定決的著色方法數(shù)。因此

（1）為①著色有6種方法，為②著色有5種方法，為③著色有4種方法，為④著色也只有4種方法。

∴共有著色方法6544=480種

（2）與①的區(qū)別在于與④相鄰的區(qū)域由兩塊變成了三塊，同理，不同的著色方法數(shù)是n(n-1)(n-2)(n-3)

由n(n-1)(n-2)(n-3)=120∴（n2-3n）(n2-3n+2)-120=0即(n2-3n)2+2(n2-3n)-1210=0∴n2-3n-10=0∴n=5

例2、計算以下各題：（1）

2A7A6

6!5!

5

6

98973

C100)A100（2）(C100

222

（3）C22C3C4C10

解：（1）原式=

7!6!6!5!

(766)5!(61)5!

367

1A

3

3

98333

A101C101A101（2）原式=C101

16

2223222

（3）原式=(C33C3)C4C10(C4C4)C5C102223=(C35C5)C6C10C11165

例3、按以下要求分派6本不同的書，各有幾種分法？（1）平均分給甲、乙、丙三人，每人2本；

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（2）平均分成三份，每份2本；

（3）甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本；（4）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；

（5）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；（6）分成三份，一份4本，另兩份每份1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本（均只要求列式）

222

解：（1）C6C4C2；

（2）CC

2

624

C2A

33

2

233

（3）C16C5C3A323（4）C16C5C3

（5）

C6C2C1

A2

2

411

A3

3

（6）

1

C6

1C5

C4A2

2

4

14

（7）C16C5C4

評注：有關(guān)排列組合混合題往往是先組合再排列。

例4、周邊體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個點(diǎn)，在其中取4個不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種

4

解：從10個點(diǎn)中任取4個點(diǎn)有C10種取法，其中4點(diǎn)共面的狀況有三類。第一類，取出的4個點(diǎn)位于4

周邊體的同一個面內(nèi)，有4C6種；其次類，取任一條棱上的3個點(diǎn)及該棱對棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6

種；第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于周邊體相對的兩條棱），它的4個點(diǎn)共

44面，有3種。以上三種狀況不合要求應(yīng)減掉，所以不同的取法共有C104C663141（種）

例5、求(4+2x+x2)(2-x)7的展開式中x5的系數(shù)。解：(4+2x+x2)(2-x)7=(8-x3)(x-2)6

=(8-x)[(x-2C6x+(-2)C6x+(-2)C6x+(-2)C6x+]

3615224333442

∴含x5的項為-28C61x5-(-2)4C64x5=-336x5∴x5的系數(shù)為-336例6、已知(x

12x

)

n

的展開式前三項中的x的系數(shù)成等差數(shù)列。

（1）求展開式里所有的x的有理項；（2）求展開式里系數(shù)最大的項。

1

解：（1）∵C0n1,Cn

12

n2

,

1212

Cn()n(n1)

28

2

由題設(shè)可知2

n2

1

18

n(n1),n9n80

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解得n=8或n=1（舍去）當(dāng)n=8時，通項Tr1據(jù)題意，4

3r4

rC8

(x)

8r

(2x)

4

r

rC8

2

r

x

4

34

r

必為整數(shù)，從而可知r必為4的倍數(shù)，而0≤r≤8

358x

∴r=0，4，8，故x的有理項為T1x4，T5，T9

tr1tr

1256x

2

≤1

（3）設(shè)第r+1項的系數(shù)tr+1最大，顯然tr+10，故有

tt1tr

C82

r1C8

r

rr1

≥1且

tr2tr1

∵

2

9r2r

由

9r2r

≥1得r≤3

C8

r1rC8

又∵

tr2tr1

2

(r1)r

2

8r2(r1)

由

8r2(r1)

≤1得：r≥2

5

7

∴r=2或r=3所求項為T37x2和T47x4例7、設(shè)a1，n∈N，且n≥2，求證：a1證明：設(shè)a1x，則(x+1)n=a

欲證原不等式，即證nx(x+1)n-1，其中x0

n1n1n1n1

∵(x1)nC0CnxCnx1Cnx1nx

n

n

a1n

即(x+1)nnx+1，原不等式成立。

評注：由于(a+b)的展開式共有n+1項，故可通過對某些項的取舍來達(dá)到近似計算或證明不等式的目的。

例8、盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求以下事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；

（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品。

解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有62=36種不同取法（1）取到的2只都是次品狀況為22=4種，因而所求概率為

436

19

n

（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，其次次取到次品；及第一次取到次品，其次次取到正品。因而所求概率為P

4236

2436

49

（3）由于“取到的兩只中至少有一只正品〞是事件“取到的兩只都是次品〞的對立事件，因而所求概

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率為P1

19

89

1

14

例9、甲、乙兩人獨(dú)立地破譯1個密碼，他們能譯出的密碼的概率分別為和

3

，求：

（1）恰有1人譯出的密碼的概率；（2）至多1人譯出的密碼的概率；（3）若達(dá)到譯出的密碼的概率為

99100

，至少需要多少個乙這樣的人。

解：記“甲譯出密碼〞為事件A，“甲譯不出密碼〞這事件A；記“乙譯出密碼〞為事件B，“乙譯不出密碼〞為事件B；“兩人都譯出密碼〞為事件C，“兩人都譯不出密碼〞為事件D；“恰有1人譯出密碼〞為事件E；“至多1人譯出密碼〞為事件F。

（1）“恰有1人譯出密碼〞是包括2種狀況：一種是AB，另一種是AB。這兩種狀況不能同時發(fā)生，是互斥的。

∴P(E)P(AB)P(BB)P(A)P(B)P(A)P(B)

13(1

14)(1

13)

14512

（2）“至多1人譯出密碼〞包括兩種狀況：“2人都譯不出密碼〞或“恰有1人譯出密碼〞，即事件D+E，且事件D、E是互斥的

∴P(F)P(D)P(E)P(AB)P(AB)P(AB)

1

12512

1112

14)

n

（3）n個乙這樣的人都譯不出密碼的概率為(1)n，根據(jù)題意得：1(1

4

99100

解得：n=16

例10、某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根，求他發(fā)現(xiàn)用完一盒時另一盒還有r根（1≤r≤n）的概率。

解析：由題意知：數(shù)學(xué)家共用了2n-r根火柴，其中n根取自一盒火柴，n-r根取自另一盒火柴。由于數(shù)學(xué)家取火柴時，每次他在兩盒中任取一盒并從中抽取一根，故他用完的那一盒取出火柴的概率是

12

，他不此后盒中取出一根火柴的概率也是

12

。

由于所取的2n-r根火柴，有n根取自用完的那一盒的概率為：

1n1nr12nrnn

C2nr()(1)C2nr()

222

同步練習(xí)

（一）選擇題

1、某一排共12個座位，現(xiàn)甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右兩旁都有空座位，且三人的順序是甲必需在另兩人之間，則不同的座法共有

A、60種B、112種C、242種D、672種

2、某同學(xué)從6門課中選學(xué)2門，其中有2門課上課時間有沖突，另有2門不允許同時選學(xué)，則該同

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學(xué)可選學(xué)的方法總數(shù)有

A、8種B、13種C、12種D、9種

3、如圖，在某城市中，M、N兩地間有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中的矩形的邊前進(jìn)，則從M到N不同的走法共有

A、13種B、15種C、25種D、10種

4、將n個不同的小球放入n個不同的盒子里，恰好有一個空盒的放法種數(shù)是

n1111n12n1

A、C1B、C1C、AnD、C2nCnAn1nAn1nAn1nCnAn1

5、若(1-2x)9=a0+a1x+a2x2++a8x8+a9x9，則a1+a2++a8的值為A、-1B、-2C、-512D、5106、(x1)4(x1)5展開式中，x的系數(shù)為

A、-40B、10C、40D、457、(23)100的展開式中無理項的個數(shù)是

A、84B、85C、86D、878、(x

12x

4

3

)

8

的展開式中系數(shù)最大的項是

A、第3項B、第4項C、第2或第3項D、第3或第4項

9、擲三顆骰子（各面上分別標(biāo)以數(shù)字1到6的均勻正方體玩具），恰有一顆骰子出1點(diǎn)或6點(diǎn)的概率是

A、

827

B、

1927

C、

49

D、

59

10、一工人看管三臺機(jī)床，在一小時內(nèi)甲、乙、丙三臺機(jī)床需要工人照看的概率分別是0.9，0.8和0.85，那么在一小時中至少有一臺機(jī)床不需要照看的概率是

A、0.003B、0.612C、0.388D、0.027

11、在4次獨(dú)立重復(fù)試驗中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗中發(fā)生的概率P的取值范圍是

A、[0.4，1]B、（0，0.4]C、（0，0.6]D、[0.6，1）

12、一批零件10個，其中有8個合格品，2個次品，每次任取一個零件裝配機(jī)器，若第一次取得合格品的概率是P1，其次次取得合格品的概率是P2，則

A、P1P2B、P1=P2C、P1P2D、P1=2P2

13、一個學(xué)生通過某種英語聽力測試的概率是1/2，他連續(xù)測試n次，要保證他至少有一次通過的概率大于0.9，那么n的最小值為

A、3B、4C、5D、6

14、甲、乙兩人投籃命中的概率分別為p、q，他們各投兩次，若p=1/2，且甲比乙投中次數(shù)多的概率恰好等于7/36，則q的值為

A、

45

B、

34

C、

25

D、

12

（二）填空題

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15、空間12個點(diǎn)，其中5個點(diǎn)共面，此外無任何4個點(diǎn)共面，這12個點(diǎn)最多可決定_________個不同的平面。

16、(4+2x+x2)(2-x)7展開式中x5的系數(shù)為________。17、1

12Cn

1

13

Cn(1)

2n

1n1

Cn

n

=__________。

1

1

18、有1個數(shù)字難題，在半小時內(nèi)，甲能解決它的概率是，乙能解決它的概率是，兩人試圖獨(dú)立

2

3

地在半小時內(nèi)解決它，則：

（1）兩人都未解決的概率為__________；（2）問題得到解決的概率為__________。

19、一次考試出了10個選擇題，每道題有4個可供選擇的答案，其中1個是正確的，3個是錯誤的，某學(xué)生只知道5個題的正確答案，對其他5個題全靠猜回復(fù)，那么這個學(xué)生卷面上正確答案不少于7個題的概率是________________。

（三）解答題

20、某天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共6節(jié)課，假使第1節(jié)不排體育，最終1節(jié)不排數(shù)學(xué)，那么共有多少種不同的排課表的方法。

21、有甲、乙、丙三位老師，分到6個班上課：（1）每人上2個班課，有多少種分法？

（2）甲、乙都上1個班課，丙上4個班課，有多少種分法？（3）2人各上1個班課，1個人上4個班課，有多少種分法？

22、在x(1-x)k+x2(1+2x)