2023/4/111離散系統(tǒng)的z域分析第6章2023/4/112本章內(nèi)容引言z變換z變換的性質(zhì)逆z變換z域分析2023/4/113引言在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析中，曾以較多的篇幅討論了采用變換域的分析方法。在這些分析方法中，不僅大大簡化了運(yùn)算，而且還具有其物理涵義，如傅氏變換就是把連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換成頻域的函數(shù)，從而比較清晰地表征了連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻率特性；拉氏變換就是把連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換成復(fù)頻域（s

域）的函數(shù)，因而擴(kuò)大了信號(hào)的變換范圍。2023/4/114在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，這兩種變換都可以把微分方程的運(yùn)算變換成代數(shù)方程的運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡化。同樣，在離散時(shí)間系統(tǒng)中的時(shí)域分析是用差分方程來描述，可歸結(jié)為差分方程的建立和求解；對應(yīng)于連續(xù)信號(hào)的傅里葉變換（頻域），離散信號(hào)的頻域變換也稱傅里葉變換；而對應(yīng)于連續(xù)信號(hào)的

s

域變換，離散信號(hào)也采用一種變換域來處理，這就是

z

域，也就是

z

變換。本章著重分析最常用的

z

變換及其分析方法。返回2023/4/115z變換從拉普拉斯變換到z變換z變換的收斂域常用序列的z變換返回2023/4/116當(dāng)，上式為——傅里葉變換從拉普拉斯變換到z變換一個(gè)取樣信號(hào)可以表示為:

雖然僅在取樣瞬間才有函數(shù)值，但仍可以把它作為一個(gè)連續(xù)信號(hào)來處理，故取其拉氏變換為令

（∵

s

為復(fù)函數(shù)，∴

z也為復(fù)函數(shù)）

,其中：

???2023/4/117于是前式可以寫為：（一一對應(yīng)）

z變換定義：一個(gè)離散時(shí)間序列f(k)的z變換為z-1的一個(gè)冪級數(shù)，這個(gè)級數(shù)中的每一項(xiàng)的系數(shù)即為離散時(shí)間序列f(k)相應(yīng)的函數(shù)值。z一般為復(fù)函數(shù)。

單邊時(shí)：返回令

2023/4/118收斂域——

z變換的存在條件一個(gè)序列f(k)的z變換F(z)，由定義知是一個(gè)無窮級數(shù)，要使其有意義并以閉合形式出現(xiàn)，則該級數(shù)必須絕對收斂，即F(z)在z復(fù)平面的某一區(qū)域內(nèi)都有；如果不能絕對收斂，就認(rèn)為該序列f(k)的z變換不存在。2023/4/119收斂域設(shè)f(k)是一個(gè)因果信號(hào)［k<0時(shí)f(k)≡0］，則F(z)是一個(gè)只有z的負(fù)冪的級數(shù)，因此，在z平面上F(z)的絕對收斂區(qū)域是一個(gè)圓以外的區(qū)域；反之，設(shè)在k>0時(shí)f(k)≡0，即級數(shù)F(z)的冪都是正的，則F(z)的絕對收斂區(qū)域是在中心為原點(diǎn)的圓內(nèi)；若f(k)是雙邊信號(hào)，則級數(shù)F(z)中既有正冪，也有負(fù)冪，那么F(z)的絕對收斂區(qū)域?qū)⑹且粋€(gè)圓環(huán)（見下各圖）。2023/4/1110收斂域要注意的是：如果一個(gè)z變換式不是以無限級數(shù)的形式而是以封閉形式出現(xiàn)（若未給絕對收斂域），那么它還不能唯一地規(guī)定一個(gè)離散信號(hào)；只有同時(shí)給出絕對收斂域，才能唯一確定了一個(gè)信號(hào)（見后面例子）。

返回2023/4/1111常用序列的z變換單位序列指數(shù)序列單位階躍序列斜變序列正弦信號(hào)

返回2023/4/1112單位序列指數(shù)序列若，則若，則（單位階躍序列）返回2023/4/1113單位階躍序列或在前式中令，有：按定義：即：返回2023/4/1114斜升序列對前面的

式二邊對

z求導(dǎo)，有兩邊乘以（-z）即得所求為：返回2023/4/1115令

，則

正弦信號(hào)而∴返回2023/4/1116與拉氏變換相似，也可由z變換的定義推導(dǎo)出一些基本性質(zhì)。這些性質(zhì)表明了序列與z變換之間的關(guān)系；利用這些性質(zhì)，不僅可以簡化由f(k)求z變換的過程，而且可以簡化由F(z)求原序列的反變換的運(yùn)算。（單邊）z變換的性質(zhì)序列乘k（z域微分）特性序列除(k+m)（z域積分）特性k域反轉(zhuǎn)特性差分與求和特性初值定理和終值定理線性疊加特性移位（移序）特性z

域尺度變換特性（序列）卷積定理返回2023/4/1117線性疊加特性若

則

返回2023/4/1118（單邊則為）移位（移序）特性⑴

左移（與拉氏變換的微分特性相似）

（單邊，則為）

⑵

右移

例：求的z變換

∵∴

返回，k>

02023/4/1119序列乘ak（z域尺度變換）特性若則返回，（a≠

0）2023/4/1120（序列）卷積定理若則可見，上式

z

變換卷積特性與拉氏變換卷積特性具有相似的形式。例：∴

求：返回2023/4/1121序列乘k（z域微分）特性例：求單邊序列

k、k2、k3的

z變換。

∵∴若則返回2023/4/1122若，則序列除（k+m）（z域積分）特性例：求的z變換。∵∴返回2023/4/1123若，則k域反轉(zhuǎn)特性例：求的z變換?！摺喾祷?023/4/1124差分與求和特性若，則初值定理和終值定理若則返回2023/4/1125例題例：求∵∴∴由求和及終值定理可求出無限序列的閉合形式，即返回2023/4/1126逆z變換冪級數(shù)展開法（長除法）部分分式法圍線積分法（留數(shù)法）雙邊z變換返回2023/4/1127冪級數(shù)展開法（長除法）由定義:可見其系數(shù)即為f(k)，所以將F(z)的閉合形式用長除法連除就可得到f(k)。2023/4/1128若|z|>1

，則只有z的負(fù)冪級數(shù)（）才收斂，屬降冪排列，即例題例：

，求反變換。

∴若|z|<1

，則只有z

的正冪級數(shù)（）才收斂，屬升冪排列，即∴返回2023/4/1129部分分式法單邊

z

變換（對因果序列必有n≥m）若F(z)的極點(diǎn)為（一階），則展開式為該法與拉氏變換所用方法一樣，目的是使每個(gè)展開式很容易找到原序列，然后逐項(xiàng)相加，即得到原序列的全部表達(dá)式。一般是將F(z)展開成，為得到該式，可對進(jìn)行展開，計(jì)算系數(shù)，再對其兩邊乘一個(gè)

z

。系數(shù)計(jì)算方法與拉氏變換完全一樣，即：2023/4/1130部分分式展開法當(dāng)然，也可展開成的形式，但此時(shí)的反變換式為對應(yīng)反變換式中所有的k均換為而成。若F(z)中有一個(gè)

r階極點(diǎn)

a，則展開式中包含有如下部分：其中：2023/4/1131例題例：∴2023/4/1132例題例：|z|>

3，故展開式為負(fù)冪才收斂∴其中：∴∵返回2023/4/1133又稱反演積分法，它與拉氏反變換的留數(shù)法有相似的公式：若

zi為的一個(gè)

r階極點(diǎn)，則有以下公式：例：（二階），（一階），∴返回2023/4/1134雙邊z變換雙邊z變換定義收斂域逆變換

返回2023/4/1135雙邊z變換定義收斂域與單邊相比，下限不同，單邊為雙邊的特例。同樣，如果有收斂域，則其存在且有意義，否則不存在，由前面介紹過的收斂域情況可知有下面三種：①②③返回，|z|>a，a>0]，|z|<b，b>0]（b>|z|>

a，b>a>0

）2023/4/1136例題

由前面介紹的例子可知，要滿足其級數(shù)收斂，必須保證每一項(xiàng)均小于

1，那么：2023/4/1137；⑵

；逆變換與單邊的一樣，只要注意不同的收斂域會(huì)有不同的結(jié)果（升冪或降冪），且應(yīng)加上或這樣的尾巴。例：求

分別在

⑴|z|>

2

⑶

|z|<條件下的反變換。

⑴

∴<|z|<2|z|>2，<

1，<

1，2023/4/1138逆變換⑵

∴⑶∴

返回<|z|<2，>

1，<

1，>

1，|z|<>

1，2023/4/1139離散時(shí)間系統(tǒng)的z變換分析法與拉氏變換相對照：

①

②

③

s域可以一次求出全響應(yīng)，用

z

變換分析差分方程也不必分別求出零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，所有的初始條件都可以根據(jù)右移定理和激勵(lì)一起全部代入方程，直