§3.3常用連續(xù)型隨機變量

下面介紹幾種常用的連續(xù)型隨機變量。一、均勻分布

設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為

通常稱這個隨機變量X服從區(qū)間(a,b)上的(連續(xù)型)均勻分布，記作。

一維情形下的幾何概率可以用均勻分布來描述。均勻分布的分布函數(shù)為：

在隨機模擬技術(shù)中，服從均勻分布R(0,1)的隨機變量是最基本的一類隨機變量。二、指數(shù)分布

一般地，如果隨機變量X的密度函數(shù)為那么稱這個隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作，其中。指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布在可靠性理論及排隊論中有廣泛的應(yīng)用，因為許多優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品的壽命常常服從指數(shù)分布；某一復(fù)雜系統(tǒng)中接連兩次故障的時間間隔服從指數(shù)分布。

指數(shù)分布有一個性質(zhì)，稱此性質(zhì)為無后效性：設(shè)隨機變量，則對于任意的，有因此，假如把X解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽命長于年，則再活年的概率與年齡無關(guān)，所以有人風(fēng)趣地稱指數(shù)分布是“永遠年青”的分布。

例1根據(jù)歷史資料分析，某地連續(xù)兩次強地震之間相隔的年數(shù)X是一個隨機變量，它服從參數(shù)為的指數(shù)分布，現(xiàn)該地剛發(fā)生了一次強地震。試求

(1)今后3年內(nèi)再次發(fā)生強地震的概率；

(2)今后3年至5年再次發(fā)生強地震的概率。

解(1)所求概率為

(2)所求概率為

例2假設(shè)顧客在銀行的窗口等待服務(wù)的時間

（單位：分鐘）；如果某顧客在窗口等待服務(wù)的時間超過10分鐘他就離開，（1）求這位顧客某天去銀行未等到服務(wù)而離開的概率；（2）假如他一個月要去銀行五次，求他五次中至多有一次未等到服務(wù)而離開的概率。

解（1）所求概率為

(2)用Y表示他離開的次數(shù)，則，所求概率為三、正態(tài)分布(高斯（Gauss）分布)

如果隨機變量X的密度函數(shù)為那么稱這個隨機變量X服從參數(shù)為的正態(tài)分布（或高斯分布），記作，其中服從正態(tài)分布的隨機變量統(tǒng)稱為正態(tài)隨機變量。

由高等數(shù)學(xué)的知識不難得到具有下列性質(zhì)：

(1)關(guān)于對稱；

(2)在處有最大值；

(3)當(dāng)時，。正態(tài)分布在理論上與實際應(yīng)用中都是一個極其重要的分布，高斯在研究誤差理論時曾用它來刻劃誤差的分布。經(jīng)驗表明，當(dāng)一個變量受到大量微小的、獨立的隨機因素影響時，這個變量一般服從或近似服從正態(tài)分布。

正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖像見下圖：

上圖還給出了參數(shù)的一個幾何解釋：當(dāng)較大時，函數(shù)曲線平坦；當(dāng)較小時，曲線陡峭。四、標準正態(tài)分布

參數(shù)且的正態(tài)分布N(0,1)稱為標準正態(tài)分布,它的密度函數(shù)為它的分布函數(shù)記作，即

由于N(0,1)的密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，因此，由推得：

當(dāng)時，的值可以查附表四得到。由概率計算過程可得如下公式：當(dāng)時,

其中。

當(dāng)時，由于X的分布函數(shù)

（令）

因此通常稱這個公式為正態(tài)概率計算公式。例2設(shè)。查附表四可以得到例3設(shè)，查附表四可以得到

例4從南郊某地到北區(qū)火車站有兩條路可選，一條路線穿過市區(qū)，路程短，但交通擁堵，所需時間（單位：分鐘），另一條路線沿環(huán)線走，路程長，但意外堵塞較少，所需時間

（單位：分鐘）。（1）假定有70分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？（2）假定有65分鐘可用，應(yīng)選哪一條路線？

解（1）由于所以，應(yīng)選第二條路線。（2）由于所以，應(yīng)選第一條路線。

例4某人上班所需的時間(單位：分)，已知上班時間為早晨8時，他每天7時出門。試求，

(1)某天遲到的概率；

(2)某周(以五天計)最多遲到一次的概率。

解(1)所求概率為

(2)設(shè)一周內(nèi)遲到次數(shù)為Y，則Y為離散型隨機變量，且，所求概率為

當(dāng)時，附表四對每一個，給出了的值。反過來，給定也可以從附表四查得，使得由，稱為標準正態(tài)隨機變量X的p分位數(shù)(見下圖)，即.當(dāng)時，可以直接查表得到。當(dāng)

時，由的性質(zhì)知道。

例如，當(dāng)時，

有時候，需要對給定的求出常數(shù)c，使得，由于

即因此，例如，當(dāng)時，相應(yīng)的

§3.4二維隨機變量及其分布如果一個二維隨機變量的值域是平面上的一個區(qū)域，那么稱它為二維連續(xù)型隨機變（向）量，類似地有n維連續(xù)型隨機變（向）量。

本節(jié)主要研究二維連續(xù)型隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性（即分布）。一、聯(lián)合密度函數(shù)

定義3.4給定二維連續(xù)型隨機變量，如果存在一個定義域為整個平面的二元非負實值函數(shù)，使得的分布函數(shù)可以表達成那么稱為連續(xù)性隨機變量的(概率)密度函數(shù)(或分布)，或者稱它為隨機變量X與Y的聯(lián)合(概率)密度函數(shù)(或聯(lián)合分布)。

按照分布函數(shù)的定義與性質(zhì)，聯(lián)合密度函數(shù)必須滿足下列兩個條件：

(1)；

(2)。這兩個條件刻劃了聯(lián)合密度函數(shù)的特征。定理3.5

設(shè)是任意一個二維連續(xù)型隨機變量，與分別是它的分布函數(shù)與密度函數(shù)，那么

(1)為連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點處，有

(2)對任意一條平面曲線L，；(3)對任意一個平面上的集合D：

例1設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為求（1）常數(shù)A的值；

（2）概率

解(1)由可得

(2)概率一、均勻分布：

設(shè)的密度函數(shù)為

其中，G是平面上某個區(qū)域，通常稱這個隨機變量

服從區(qū)域G上的(二維連續(xù)型)均勻分布。

二、二維正態(tài)分布：

如果隨機變量的密度函數(shù)為

那么稱隨機變量服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記作,其中.

例1設(shè)服從區(qū)域G上的均勻分布，其中G為區(qū)域試求關(guān)于t的一元二次方程無實數(shù)根的概率。

解由于G的面積為1，因此的密度函數(shù)

于是，所求概率為

思考：

概率

二、邊緣密度函數(shù)

設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，對于任意一個，稱為的邊緣分布函數(shù)。類似地，稱為的邊緣分布函數(shù)。即

例1設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為求與邊緣分布函數(shù)。解由邊緣分布函數(shù)的計算公式可知當(dāng)時，當(dāng)時，，所以，的邊緣分布函數(shù)為

同理可得，的邊緣分布函數(shù)為思考：三個分布函數(shù)之間有什么關(guān)系？

設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為稱為的邊緣密度函數(shù)。類似地，稱為的邊緣密度函數(shù)。

事實上，由的邊緣分布函數(shù)的定義,可得例2設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為求X與Y的邊緣密度函數(shù)。

解由公式可知，當(dāng)時，當(dāng)時，

，所以的邊緣密度函數(shù)為同理，當(dāng)時，所以所以，的邊緣密度函數(shù)為

例3設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為其中，試求X與Y的邊緣密度函數(shù)。

解當(dāng)時，其余的取值對應(yīng)