第1章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用一、知識(shí)回顧：1、求函數(shù)最值的常用方法：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用函數(shù)的圖象;(3)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的最值的步驟:(1)求f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)極值(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．二、新課引入:

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法,可以求出實(shí)際生活中的某些最值問題.1.幾何方面的應(yīng)用2.物理方面的應(yīng)用3.經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用(面積和體積等的最值)(利潤方面最值)(功和功率等最值)例1

：在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？三、新課講授1.幾何方面的應(yīng)用：

因此，16000是最大值。答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16000cm3.解：設(shè)箱底邊長為xcm，則箱高cm，得箱子容積令，解得x=0（舍去），x=40，并求得：V(40)=16000解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積例2：圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，則令

解得，，從而答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省即: h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值及時(shí)訓(xùn)練1、把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長、寬各為多少時(shí)矩形的面積最大？

[方法一]S=x(30-x)=-x2+30x,是x的二次函數(shù)當(dāng)x=15時(shí)，S最大

答：長、寬都為15cm時(shí)，矩形的面積最大解：設(shè)長為xcm,則寬為30-xcm，0<X＜30[方法二]S=x(30-x)≤

=225，等號(hào)成立x=30-x=15

答：長、寬都為15cm時(shí)，矩形的面積最大[方法三]S=x(30-x)=-x2+30x,S’=-2x+30,0<X<15時(shí)，S’>0,S(x)↑；x>15時(shí)S’<0,S(x)↓；∴當(dāng)x=15時(shí)，S極大，在定義域內(nèi)無其他極值，故S最大

答：長、寬都為15cm時(shí)，矩形的面積最大說明1：解應(yīng)用題一般有四個(gè)要點(diǎn)步驟：設(shè)--列--解--答

說明2：用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，與求函數(shù)極值方法類似，加一步與幾個(gè)極值及端點(diǎn)值比較即可。

三、新課講授2.物理方面的應(yīng)用：例3

在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為r，電動(dòng)勢為ε，外電阻Ｒ為多大時(shí)，才能使電功率最大？最大電功率是多少?rεR解：電功率P＝I2R，其中I＝E/(R+r)為電流強(qiáng)度，則P＝[E/(R＋r)]2R=E2R/(R＋r)2由P’＝0，解得：R=r列表分析，當(dāng)R=r時(shí)，P取得極大值，且是最大值。最大值為P＝E2/(4r)答：當(dāng)外電阻R等于內(nèi)電阻r時(shí)，電功率最大，最大電功率是E2/(4r)例4:強(qiáng)度分別為a,b的兩個(gè)光源A,B的距離為d,試問:在連接兩光源的線段AB上,何處照度最小?試就a=8,b=1,d=3時(shí)回答上述問題.(照度與光的強(qiáng)度成正比,與光源距離的平方成反比)APBx3-x解:如圖,設(shè)點(diǎn)p在線段AB上,且P距光源A為x,則P距光源B為3-x(0<x<3).P點(diǎn)受A光源的照度為（其中，k為比例常數(shù)）解得x=2,故當(dāng)0<x<2時(shí)，因此，x=2時(shí)，I取得極小值，且是最小值。答：在連結(jié)兩光源的線段AB上，距光源A為2處的照度最小。2.

如圖：質(zhì)點(diǎn)P在半徑為10cm的圓上逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度為2rad/s,設(shè)A（10，0）為起始點(diǎn)，時(shí)刻t時(shí)，點(diǎn)P在y軸上的射影點(diǎn)M的速度.PyXAMoN角的弧度數(shù)為___2t分析：求M點(diǎn)位移的變化率。及時(shí)訓(xùn)練例5在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為C(x);出售x單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x);R(x)-C(x)稱為利潤函數(shù)，記為P(x).（1）設(shè)C(x)=10-6x3-0.003x2+5x，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本C’(x)最低?（2）設(shè)C(x)=50x，產(chǎn)品的單價(jià)p=100-0.01x，怎樣定價(jià)可使利潤最大？三、新課講授3.經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：3.

某產(chǎn)品制造過程中，次品數(shù)y依賴于日產(chǎn)量x，其函數(shù)關(guān)系為y=3x/(100-x)(x≤96)；又該產(chǎn)品售出一件可以盈利a元，但出一件次品就損失a/3元．為獲取該產(chǎn)品的最大利潤，日產(chǎn)量應(yīng)為多少？解：設(shè)利潤為P（x）,則P（x）=y(-a/3)+a(x-y)即：由：得：或（舍去）列表分析得：當(dāng)日產(chǎn)量為80時(shí)，能獲得該產(chǎn)品的最大利潤。四、課堂小結(jié)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的最值的步驟:(2)將y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．(1)求f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)極值;(極大值或極小值)；注意：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)只有一個(gè)極大值(或極小值)，則該極大