第五章數(shù)值積分第1頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一1、積分的概念設任取做如果存在，則稱可積，極限值稱為函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記為:Riemann積分§5.1引言第2頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一黎曼是世界數(shù)學史上最具獨創(chuàng)精神的數(shù)學家之一,著作不多，卻異常深刻，富于對概念的創(chuàng)造與想象，思想極其深邃難以理解。許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，直接影響了19世紀以后的數(shù)學發(fā)展，在黎曼思想的影響下數(shù)學許多分支取得了輝煌成就。■黎曼幾何、流形、微分流形、橢圓幾何的創(chuàng)始人愛因斯坦用黎曼幾何將廣義相對論幾何化；黎曼幾何是現(xiàn)代理論物理必備的數(shù)學基礎。第3頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一■完善微積分理論的出杰人物之一

微積分理論嚴謹性論證的杰出貢獻者有：黎曼、波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克萊、維爾斯特拉斯等等。柯西證明連續(xù)函數(shù)必定可積，黎曼指出可積函數(shù)不一定連續(xù)。黎曼推廣了博里葉展開式成立的狄利克萊條件，即三角級數(shù)收斂的黎曼條件等等?！鼋馕鰯?shù)論、與復變函數(shù)的里程碑■組合拓撲的開拓者■代數(shù)幾何的奠基人

■在數(shù)學物理、微分方程等領(lǐng)域貢獻卓著第4頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一2、積分的計算Riemann積分從定義上基本不可算求解的方法：Newton-Leibniz公式其中第一類換元（湊微分）、第二類換元、分部積分有理函數(shù)。第5頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一如果為初等函數(shù)，能得到的遠遠少于得不到的理論求解定積分基本看運氣求定積分的值,Newton-Leibnitz公式無論在理論上還是在解決實際問題上都起了很大作用，但它并不能完全解決定積分的計算問題，因為積分學涉及的實際問題極為廣泛，而且極其復雜，在實際計算中經(jīng)常遇到以下三種情況：第6頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一

(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的有限形式表示的原函數(shù)F(x)，例如：

Newton-Leibnitz公式就無能為力了(2)還有被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)能用初等函數(shù)表示，被積函數(shù)表達式不太復雜，但積分后其表達式卻很復雜。積分后其原函數(shù)F(x)為：例如函數(shù)

第7頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一(3)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達式,其函數(shù)關(guān)系由表格或圖形表示。對于這些情況,要計算積分的準確值都是十分困難的。由此可見,通過原函數(shù)來計算定積分有它的局限性,因而研究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式所不能或很難解決的積分問題,這時需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計算方法。將積分區(qū)間細分,在每一個小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復雜函數(shù)進行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項式去代替被積函數(shù)發(fā)f(x)進行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。

第8頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一一、數(shù)值積分的基本思想

積分值在幾何上可以解釋為由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)這四條邊所圍成的曲邊梯形面積。如下圖所示，而這個面積之所以難于計算是因為它有一條曲邊y=f(x)第9頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一左矩形公式右矩形公式中矩形公式梯形公式Simpson公式第10頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一回顧我們高等數(shù)學所學定積分的求取求積公式求積系數(shù)求積節(jié)點值為截斷誤差,又稱求積余項.第11頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一二、代數(shù)精度的概念

依次取?(x)=1,x,x2…驗證求積公式是否成立,若第一個不成立的等式是?(x)=xm+1,則其代數(shù)精度是m.第12頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一即滿足第13頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一如梯形公式所以梯形公式具有1次代數(shù)精度第14頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一第15頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一構(gòu)造數(shù)值求積公式實際上是求與的代數(shù)問題。將代入公式具有三階的代數(shù)精度代數(shù)精度定義第16頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一三、插值型求積公式第17頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一第18頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一四、求積公式的收斂性和穩(wěn)定性令第19頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一第20頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一一、Cotes系數(shù)將區(qū)間[a,b]n等分記§5.2牛頓—柯特斯公式應用插值型求積公式有第21頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一第22頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一第23頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一Cotes系數(shù)Newton-Cotes公式第24頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一當時第25頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一由得求積公式就是將區(qū)間[a,b]一等分梯形公式通常記為第26頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一當時第27頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一此時，求積公式為Simpson求積公式第28頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一當時可得同理,此時，求積公式為Cotes求積公式第29頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一Cotes系數(shù)表第30頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一系數(shù)特點和穩(wěn)定性科特斯系數(shù)具有以下特點：(1)(2)(3)當n8時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性得不到保證。而且當n較大時，由于Runge現(xiàn)象，收斂性也無法保證。故一般不采用高階的牛頓-科特斯求積公式。當n7時，牛頓-科特斯公式是穩(wěn)定的。第31頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一1、考慮Simpson公式二、Newton-Cotes公式的代數(shù)精度及誤差第32頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一Simpson公式具有三次代數(shù)精度而第33頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一定理n為偶數(shù)時求積公式至少具有n+1次代數(shù)精度。2、誤差分析以梯形公式誤差為例第34頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一積分中值定理如果在保號且可積，使則存在特別地，如果則有因為保號且可積，由積分中值定理得第35頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一所以第36頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一同理誤差取決于區(qū)間[a,b]的長度。第37頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一例：分別用梯形公式和simpson公式計算積分解：a＝0,b＝1,f(x)=e-x

，由simpson公式可得由梯形公式可得與精確值0.6321相比得誤差分別為0.0518和0.0002。第38頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一由梯形、辛卜生和柯特斯求積公式余項可知，隨著求積節(jié)點數(shù)的增多，對應公式的精度也會相應提高。但由于n≥8時的牛頓—柯特斯求積公式開始出現(xiàn)負值的柯特斯系數(shù)。根據(jù)誤差理論的分析研究，當積分公式出現(xiàn)負系數(shù)時，可能導致舍入誤差增大，并且往往難以估計。因此不能用增加求積節(jié)點數(shù)的方法來提高計算精度。在實際應用中，通常將積分區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上采用低階求積公式，然后把所有小區(qū)間上的計算結(jié)果加起來得到整個區(qū)間上的求積公式，這就是復化求積公式的基本思想。常用的復化求積公式有復化梯形公式和復化辛卜生公式。§5.3復化求積公式第39頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一復化求積公式可以克服高次Newton-Cotes公式計算不穩(wěn)定的問題,運算簡單且易于在計算機上實現(xiàn)。把積分區(qū)間[a,b]平均分成若干小區(qū)間[xk,xk+1]復化求積法的基本思想第一步，在每個小區(qū)間上采用次數(shù)不高的Newton-Cotes求積公式，如梯形公式或Simpson公式；第二步，對每個區(qū)間的近似積分值求和，用所得的值近似代替原積分值。

如此得到的求積公式稱為復化求積公式。

第40頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一一、復化梯形公式第41頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一第42頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一二、復化辛普森公式第43頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一余項：，(a,b)第44頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.841第45頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一誤差分析第46頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一例：計算解：其中=3.138988494其中=3.141592502運算量基本相同!!!第47頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一一、梯形法的遞推化——逐次分半法上一節(jié)介紹的復化求積方法對提高精度是行之有效的，但在使用求積公式之前必須給出合適的步長，步長取得太大精度難以保證，步長太小則會導致計算量的增加，而事先給出一個恰當?shù)牟介L又往往是困難的．實際計算中常常采用變步長的計算方案，即在步長逐次分半（即步長二分）的過程中，反復利用復化求積公式進行計算，直至所求得的積分值滿足精度要求為止．設將求積區(qū)間[a，b]分成n等分，則一共有n+1個分點，按梯形公式計算積分值Tn，需要提供n+1個函數(shù)值．如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至2n+1個，我們來考察二分前后兩個積分值之間的聯(lián)系．§5.4龍貝格求積公式逐次分半計算方案的實現(xiàn):第48頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一注意到每個子區(qū)間[xk，xk+1]經(jīng)過二分只增加了一個分點xk+1/2＝(xk+xk+1)/2，用復化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為這里代表二分前的步長.將每個子區(qū)間上的積分值相加得

第49頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一當把積分區(qū)間分成n等份，用復化梯形公式計算積分I的近似值時，截斷誤差為

若把區(qū)間再分半為2n等份，計算出定積分的近似值，則截斷誤差為

當在區(qū)間[a,b]上變化不大時,有所以第50頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一可見,當步長二分后誤差將減至,將上式移項整理，可得驗后誤差估計式

上式說明，只要二等份前后兩個積分值和相當接近，就可以保證計算結(jié)果的誤差很小，使接近于積分值I。第51頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一這樣不斷二分下去，計算結(jié)果如下表所示。積分的準確值為0.9460831，從表中可看出用變步長二分10次可得此結(jié)果。

第52頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一

0.93979330.94608310.0062898

0.94451350.94608310.0015696

0.94569090.94608310.0003922

0.94598500.94608310.0000981

0.94605960.94608310.0000235

0.94607690.94608310.0000062

0.94608150.94608310.0000016

0.94608270.94608310.0000004

0.94608300.94608310.0000001

0.94608310.94608310.0000000二分次數(shù)區(qū)間個數(shù)數(shù)第53頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一二、龍貝格算法

變步長梯形求積法算法簡單，但精度較差，收斂速度較慢，但可以利用梯形法算法簡單的優(yōu)點，形成一個新算法，這就是龍貝格求積公式。龍貝格公式又稱逐次分半加速法。根據(jù)積分區(qū)間分成n等份和2n等份時的誤差估計式可得

所以積分值的誤差大致等于,如果用對進行修正時，與之和比更接近積分真值,所以可以將看成是對誤差的一種補償,因此可得到具有更好效果的式子.第54頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一

(6.9)

考察與n等份辛卜生公式之間的關(guān)系。將復化梯形公式

梯形變步長公式故這就是說，用梯形法二分前后兩個積分值和作線性組合，結(jié)果卻得到復化辛卜生公式計算得到的積分值。

代入表達式得

第55頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一再考察辛卜生法。其截斷誤差與成正比，因此，如果將步長折半，則誤差減至，即有

由此可得

可以驗證,上式右端的值其實等于Cn，就是說，用辛卜生公式二等份前后的兩個積分值Sn和S2n

作線性組合后，可得到柯特斯公式求得的積分值Cn，即有第56頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一用同樣的方法，根據(jù)柯特斯公式的誤差公式，可進一步導出龍貝格公式

在變步長的過程中運用上述誤差公式，就能將粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度較高的辛卜生值Sn、柯特斯值Cn和龍貝格值Rn，或者說將收斂緩慢的梯形值序列Tn加工成收斂迅速的龍貝格值序列Rn，這種加速方法稱為龍貝格算法（龍貝格公式）。第57頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一三、龍貝格求積法算法實現(xiàn)（1）龍貝格求積法計算步驟用梯形公式計算積分近似值按變步長梯形公式計算積分近似值將區(qū)間逐次分半,令區(qū)間長度

計算③按加速公式求加速值梯形加速公式：辛卜生加速公式：

龍貝格求積公式：第58頁，共62頁，2023年，2月20日，星期一④精度控制；直到相鄰兩次積分值

（其中ε為允許的誤差限）則終止計算并取Rn作為積分的近似值，否則將區(qū)間再對分，重復②，③，④的計算，直到滿足精度要求為止。(2)龍貝格求積法流程圖留給讀者(3)程序?qū)崿F(xiàn)第59頁，共62頁，2023年