《MATLAB語言》課程論文MATLAB模擬演示小孔衍射姓名：學號：專業(yè)：通信工程班級：10級通信工程指導老師：學院：物理電氣信息學院完成日期：2011-12-10MATLAB模擬演示小孔衍射(王照義120102452592010級通信班)［摘要］以單色標量波衍射理論為基礎，研究了均勻平面波從不同角度入射小孔陣列的衍射特性。運用單孔衍射理論，同時考慮相鄰小孔間衍射光強的相互影響，建立了小孔陣列衍射的理論模型和光強分布的數(shù)值積分式，小孔為硬邊小孔。利用Matlab對500nm波長的平面波入射微小方孔陣列衍射圖樣進行了計算機仿真，得到了不同幾何參量下平面波從不同角度入射時的衍射圖樣的一維和二維光強分布圖。［關鍵字］小孔衍射MATLAB一、光的衍射種類包括：單縫衍射、圓孔衍射、圓板衍射及泊松亮斑光在傳播過程中，遇到障礙物或小孔(窄縫)時，它有離開直線路徑繞道障礙物陰影里去的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象叫光的衍射。衍射時產(chǎn)生的明暗條紋或光環(huán)，叫衍射圖樣。產(chǎn)生衍射的條件是：由于光的波長很短，只有十分之幾微米，通常物體都比它大得多，但是當光射向一個針孔、一條狹縫、一根細絲時，可以清楚地看到光的衍射。用單色光照射時效果好一些，如果用復色光，則看到的衍射圖案是彩色的。衍射現(xiàn)象光繞過障礙物偏離直線傳播路徑而進入陰影區(qū)里的現(xiàn)象，叫光的衍射。光的衍射和光的干涉一樣證明了光具有波動性。光產(chǎn)生明顯衍射的條件小孔或障礙物的尺寸比光波的波長小，或者跟波長差不多時，光才能發(fā)生明顯的衍射現(xiàn)象。由于可見光波長范圍為4X10-7m至7.7X10-7m之間，所以日常生活中很少見到明顯的光的衍射現(xiàn)象。任何障礙物都可以使光發(fā)生衍射現(xiàn)象，但發(fā)生明顯衍射現(xiàn)象的條件是“苛刻”的。當障礙物的尺寸遠大于光波的波長時，光可看成沿直線傳播。注意，光的直線傳播只是一種近似的規(guī)律，當光的波長比孔或障礙物小得多時，光可看成沿直線傳播；在孔或障礙物可以跟波長相比，甚至比波長還要小時，衍射就十分明顯。衍射的種類：狹縫衍射讓激光發(fā)出的單色光照射到狹縫上，當狹縫由很寬逐漸減小，在光屏上出現(xiàn)的現(xiàn)象怎樣？當狹縫很寬時，縫的寬度遠遠大于光的波長，衍射現(xiàn)象極不明顯，光沿直線傳播，在屏上產(chǎn)生一條跟縫寬度相當?shù)牧辆€；但當縫的寬度調到很窄，可以跟光波相比擬時，光通過縫后就明顯偏離了直線傳播方向，照射到屏上相當寬的地方，并且出現(xiàn)了明暗相間的衍射條紋，紋縫越小，衍射范圍越大，衍射條紋越寬，。但亮度越來越暗。小孔衍射當孔半徑較大時，光沿直線傳播，在屏上得到一個按直線傳播計算出來一樣大小的亮光圓斑；減小孔的半徑，屏上將出現(xiàn)按直線傳播計算出來的倒立的光源的像，即小孔成像;繼續(xù)減小孔的半徑，屏上將出現(xiàn)明暗相間的圓形衍射光環(huán)。二、常見的幾種衍射現(xiàn)象（一）圓孔衍射將一束光投射在一個小圓孔上，并在距孔l?2m處放置一塊毛玻璃屏，可觀察到小圓孔的衍射花樣?，F(xiàn)用上節(jié)所得的結論，研究從點光源所發(fā)出的光通過圓孔時的衍射現(xiàn)象。現(xiàn)在先計算光到達垂直于圓孔面的對稱軸上一點P時的振幅。圖1P點與波面上極點B之間的距離為r。首先考慮通過圓孔部分波面的面積所含有的完整的菲涅耳帶的數(shù)目。這個整數(shù)k與圓孔的半徑、光的波長入以及圓孔的位置（即R和r）有關。優(yōu)頊F十時二尸：-奇-沖-必m”（1）時"&（2）如果用平行光照射圓孔，衣Tw，則(3)如果不用光闌，即相當于圓孔的半徑為無限大，也就是整個波面完全不被遮蔽，則由最末一個帶所發(fā)次波在到達P點時的振幅ak為無限小，此時P點的合振幅為(4)此式表明，沒有遮蔽的整個波面對P點的作用等于第一個波帶在該點的作用的一半。因為波帶的面積非常小，例如的綠光時，若R、r。均為1m，第一個波帶的面積約為即半徑約為1/2mm。所以，沒有遮藏的整個波面的光能的傳播，幾乎可以看作沿OP直線進行，這也是一般把光視作直線傳播的原因。P點離開光源愈遠，a愈小光強愈弱。在這種情況下屏沿著對稱軸線前進時，不發(fā)生上述某些點較強某些點較弱的現(xiàn)象。如果圓孔具有一定大小的半徑，觀察點P的位置僅使波面上露出第一個帶，則A-(5)與不用光闌時比較，振幅為完全不遮藏時的二倍，光強則增加到四倍。所以光在通過圓孔以后到達任一點時的光強，不能夠單獨由光源到該點的距離來決定，還取決于圓孔的位置及大小。僅當圓孔足夠大、使小到可以略去不計時，才和光的直線傳播概念所推得的結果一致。這些討論都假定O是理想的點光源。但是實際光源都有一定的大小。光源的每一點各自產(chǎn)生它自己的衍射花樣，它們是不相干的。光源的線度應小到使光源上某些點所產(chǎn)生的亮條紋不致落到另外一些點所產(chǎn)生的暗條紋上去。否則由于不圖2相干疊加，衍射花樣就會完全模糊了。通常情況下不容易觀察到衍射花樣正是由于這個緣故。(二)圓屏衍射我們討論一下點光源發(fā)出的光通過圓屏邊緣時的衍射現(xiàn)象。O為點光源，光路上有一不透明的圓屏。現(xiàn)在先討論P點的振幅。設圓屏遮蔽了開始的k個帶。于是從第k+1個帶開始，所有其余的帶所發(fā)的次波都能到達P點。把所有這些帶的次波疊加起來，可得P點的合振幅為(6)即不論圓屏的大小和位置怎樣，圓屏幾何影子的中心永遠有光。不過圓屏的面積愈小時被遮蔽的帶的數(shù)目k就愈小，因而愈大，到達P點的光愈強。變更圓屏和光源之間或圓屏和光屏之間的距離時，k也將因之改變，因而也將影響P點的光強。如果圓屏足夠小，只遮住中心帶的一小部分，則光看起來可完全繞過它，除了圓屏影子中心有亮點外沒有其它影子。這個初看起來似乎是荒謬的結論，是泊松于1818年在巴黎科學院研究菲涅耳的論文時把它當作菲涅耳論點謬誤的證據(jù)提出來的。但阿喇果做了相應的實驗，證實了菲涅耳的理論的正確性。三、小孔衍射的原理機械波的衍射實驗往往用現(xiàn)成的儀器，通過機械振動產(chǎn)生水波紋來實現(xiàn)，我們能很清楚的觀察到衍射圖像，對于光的衍射實驗可以通過用激光射到一個小球，從而產(chǎn)生衍射圖像，但是小孔衍射確沒法在普通的高中物理實驗室中做出。但是隨著高中多媒體化的普及，教室里面多媒體的應用日益增加，我們完全可以通過數(shù)學軟件來模擬小孔衍射圖像來給學生演示，直觀而又簡單。衍射的實質就是當光波在傳播過程中遇到障礙物或者透過屏幕上的小孔時，會導致偏離原來入射方向的出射光波。根據(jù)惠更斯-菲涅爾原理，波陣面上的每一點可以認為是產(chǎn)生球面子波的一個次級擾動中心，而以后任何時刻的波陣面則可以看作是這些子波的包絡，假定這些次級子波互相干涉，從而產(chǎn)生衍射效應。通俗的說，光的傳播是以波的形式傳播的，下一時刻的波陣面就是前一時刻波陣面上無數(shù)點發(fā)出的球面波的疊加。當光波受到擾動（比如尺寸與波長可比的小孔或頭發(fā)絲等），球面子波發(fā)生干涉，從而產(chǎn)生衍射。衍射的實質是干涉。而小孔成像中的小孔的尺寸應該遠大于波長。實際上即使如此，在小孔邊緣附近也存在衍射效應。之所以小孔后面會成像，是因為小孔將物體向空間各方向發(fā)出的光截取了其中一部分，按照光沿直線傳播這一簡單的模型，在小孔后白屏上產(chǎn)生物體的像。產(chǎn)生衍射時，光線不是沿直線傳播的。幾何光學里，我們認為光是沿直線傳播的。波動理論中認為光是以波動的形式傳播的。四、用MATLAB語言演示小孔衍射在光學中衍射理論的基礎是惠更斯原理。這原理假設開始的光波面上每一點可以看作次級光源，它們發(fā)射出子波，這些子波疊加后得到向前傳播的光波。

圖3小孔衍射示意圖可以設屏幕上有一小孔，光波從左邊入射，我們要計算通過小孔后在屏幕右邊空間各點上光波的強度。這種普遍的解法是很復雜的，實際所用的衍射理論都是一些近似解法。根據(jù)這個計算方法，采用波長為500nm藍綠光做為衍射光源，編寫MATLAB程序，即可得到圖像。MATLAB程序如下：clearlamba=500e-9;a=1e-3;D=1;ym=3*lamba*D/a;n=51;ys=linspace(-ym,ym,n);n=51;yp=linspace(0,a,n);fori=1:nsinphi=ys(i)/D;alpha=pi*yp*sinphi/lamba;sumcos=sum(cos(alpha));sumsin=sum(sin(alpha));B(i,:)=(sumcosA2+sumsinA2)/nA2;endN=256;Br=(B/max(B))*N;subplot(1,2,1)image(ym,ys,Br);colormap(hot(N));%波長%屏幕上y的范圍%屏幕上的點數(shù)%%波長%屏幕上y的范圍%屏幕上的點數(shù)%屏幕上的點數(shù)%確定灰度的等級%色調處理圖4衍射條紋五、［結論］通過圖像很直觀觀察到波的小孔衍射的特征，中間的呈現(xiàn)白光，是各種顏色的光的疊加，兩邊顏色分別呈現(xiàn)黃色、紅色，是因為黃色光和紅色光波長較大，不能和別的窄波長的光疊加，只能單一呈現(xiàn)。圖像是實際計算出來的數(shù)值圖像，更加有數(shù)學依據(jù)。六、［課程體會］經(jīng)過一學期的MATLAB語言課程的學習，我已經(jīng)初步熟練的應用MATLAB語言，在學習的過程中，我逐步的發(fā)現(xiàn)用MATLAB處理實驗數(shù)據(jù)，過程直觀方便，簡單的命令就可以完成繁瑣的計算，同時也激發(fā)了我的學習興趣，讓我擺脫了枯燥無味的重復計算。由于MATLAB具有優(yōu)秀的數(shù)字計算能力、準確科學的數(shù)字圖形可視化