線性方程組的消元解法演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有55頁\編輯于星期三線性方程組的消元解法現(xiàn)在是2頁\一共有55頁\編輯于星期三

線性代數(shù)作為獨(dú)立的學(xué)科分支直到20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。

最古老的線性代數(shù)問題是線性方程組的求解，在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》章中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法?，F(xiàn)在是3頁\一共有55頁\編輯于星期三

線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，比如“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時(shí)一個(gè)很自然的想法。此外，很多實(shí)際問題的處理，最后往往歸結(jié)為線性問題，它比較容易處理；同時(shí)它也是研究理論物理和理論化學(xué)等不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，矩陣在18～19世紀(jì)期間應(yīng)運(yùn)而生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展?，F(xiàn)在是4頁\一共有55頁\編輯于星期三本節(jié)的主要內(nèi)容1、線性方程組解的討論及其求解方法（m,n未必相等）?，F(xiàn)在是5頁\一共有55頁\編輯于星期三2、數(shù)表的線性運(yùn)算（重要的工具）?，F(xiàn)在是6頁\一共有55頁\編輯于星期三對(duì)二元一次方程組我們?cè)谥袑W(xué)已經(jīng)學(xué)過它的解法，但是實(shí)際問題中會(huì)遇到未知量個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)都很多的一次方程組，且未知量個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)未必相同。§1線性方程組的消元解法由于二元一次方程表示平面上的一條直線，所以將一次方程稱為線性方程，將一次方程組稱為線性方程組。現(xiàn)在是7頁\一共有55頁\編輯于星期三線性方程組的一般形式否則稱為非齊次線性方程組。則稱方程組為(1)其中有n個(gè)未知量，m個(gè)方程，是未知量的系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)。若右端常數(shù)項(xiàng)均為零，齊次線性方程組；現(xiàn)在是8頁\一共有55頁\編輯于星期三1、線性方程組是否有解？將要研究的問題3、有解時(shí)，如何求出全部的解？2、若有解，解是否唯一？研究的思路和途徑1、在中學(xué)代數(shù)中的加減消元法的基礎(chǔ)上，結(jié)合具體的線性方程組，導(dǎo)出求解一般方程組的通用方法：高斯消元法；2、從實(shí)際例子出發(fā)，利用高斯消元法觀察解存在與否的判斷方法。現(xiàn)在是9頁\一共有55頁\編輯于星期三求解線性方程組解：首先，用(2)消去(1)(3)中的未知量x1，(-2)×(2)+(1)，(-4)×(2)+(3)得

例1由該方程組比原方程組少一個(gè)未知量。現(xiàn)在是10頁\一共有55頁\編輯于星期三由(5)-(4)得由(-1/2)×(6)得

最后，將(7)代回(4)中，即消去(4)中的x3，由2×(7)+(4)得

其次，用(4)消去(5)中的未知量x2，這比原方程組又少了一個(gè)未知量?，F(xiàn)在是11頁\一共有55頁\編輯于星期三由(-1/3)×(8)得將(7)(9)代回(2)中，即消去(2)中的x2,x3，由(-2)×(7)+(2)，(2)-(9)得故原方程組的解為現(xiàn)在是12頁\一共有55頁\編輯于星期三從上述求解過程可以看出

加減消元法的基本思想就是：利用方程之間的算術(shù)運(yùn)算，每次消去一個(gè)未知量，得到一個(gè)比原方程組少一個(gè)未知量的方程組，一次一次進(jìn)行下去，直至得到便于求解的一個(gè)形式簡(jiǎn)單的方程。為了便于將此方法應(yīng)用到任意形式的方程組的求解，仍以例1為例，完整規(guī)范的寫出它的解題步驟?，F(xiàn)在是13頁\一共有55頁\編輯于星期三

解：第一步，為了便于運(yùn)算，互換(1)與(2)的位置第二步，消去第一個(gè)方程下面的各個(gè)方程中的x1，(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得求解線性方程組

例11現(xiàn)在是14頁\一共有55頁\編輯于星期三(1)-2×(2)，(3)-4×(2)得第三步，消去第二個(gè)方程下面的各個(gè)方程中的x2，(5)-(4)得現(xiàn)在是15頁\一共有55頁\編輯于星期三此時(shí)方程組中下一個(gè)方程比上一個(gè)方程少一個(gè)未知量，形狀如階梯，稱此方程組為階梯形方程組。第三步，消去第二個(gè)方程下面的各個(gè)方程中的x2，(5)-(4)得現(xiàn)在是16頁\一共有55頁\編輯于星期三第四步，使(6)中的x3的系數(shù)變?yōu)?，(-1/2)×(6)得

第五步，消去(2)(4)中的x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)現(xiàn)在是17頁\一共有55頁\編輯于星期三

第五步，消去(2)(4)中的x3，(2)-2×(7)，(4)+2×(7)(-1/3)×(9)得

第六步，使(9)中的x2的系數(shù)變?yōu)?，現(xiàn)在是18頁\一共有55頁\編輯于星期三(-1/3)×(9)得

第六步，使(9)中的x2的系數(shù)變?yōu)?，第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10)得現(xiàn)在是19頁\一共有55頁\編輯于星期三第七步，消去(8)中的x2，(8)-(10)得由此得到了方程組的解。

思考：上述求解過程用到了哪些方法，從而逐步對(duì)原方程組進(jìn)行消元變簡(jiǎn)？現(xiàn)在是20頁\一共有55頁\編輯于星期三用到了如下三種變換1、交換兩個(gè)方程的順序；3、用一個(gè)數(shù)乘某個(gè)方程后加到另一個(gè)方程上；2、用一個(gè)非零常數(shù)乘某個(gè)方程；稱上述三種變換為線性方程組的初等變換。初等變換的作用在于將方程組的形式變的簡(jiǎn)單易求，且新方程組與原方程組是同解方程組。用消元法求解線性方程組的實(shí)質(zhì)對(duì)方程組施行一系列同解的初等變換，將它逐步化簡(jiǎn)以求其解?，F(xiàn)在是21頁\一共有55頁\編輯于星期三思考：方程組的解和未知量符號(hào)有沒有關(guān)系？那和什么有關(guān)呢？沒有和未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項(xiàng)有關(guān)！

問題：在用初等變換求解方程組時(shí)，本質(zhì)上是對(duì)什么在運(yùn)算？什么在變化？未知量的系數(shù)以及右端的常數(shù)項(xiàng)！基于此，在解題時(shí)可將未知量舍去不寫；此時(shí)就出現(xiàn)了由未知量系數(shù)以及右端常數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)表：經(jīng)初等變換求解線性方程組的這一思路，反映了一般線性方程組的求解規(guī)律。現(xiàn)在是22頁\一共有55頁\編輯于星期三此數(shù)表是按各數(shù)在方程組中的相對(duì)位置排成的。加上常數(shù)項(xiàng)得數(shù)表(1)(2)稱上述矩形表為矩陣，橫的排稱為行，豎的排稱為列，其中的數(shù)稱為矩陣的元素。矩陣(1)稱為方程組的系數(shù)矩陣，記為A，矩陣(2)稱為方程組的增廣矩陣，記為

定義1現(xiàn)在是23頁\一共有55頁\編輯于星期三對(duì)于一般的線性方程組現(xiàn)在是24頁\一共有55頁\編輯于星期三增廣矩陣可以看成線性方程組的簡(jiǎn)便寫法，因此對(duì)于方程組的加減消元法用到的三種初等變換也只對(duì)增廣矩陣進(jìn)行，反映在矩陣上即為3、用一個(gè)數(shù)乘矩陣的某一行后加到另一行上，1、交換矩陣的某兩行，記為2、用一個(gè)非零常數(shù)乘矩陣的某一行，記為記為稱此三種變換為矩陣的行初等變換。現(xiàn)在是25頁\一共有55頁\編輯于星期三由此對(duì)方程組的消元過程就可寫成對(duì)方程組的增廣矩陣的行初等變換。求解線性方程組

例1

解：方程組的增廣矩陣現(xiàn)在是26頁\一共有55頁\編輯于星期三互換(1)與(2)的位置得(2)-2×(1)，(3)-4×(1)得現(xiàn)在是27頁\一共有55頁\編輯于星期三(2)-2×(1)，(3)-4×(1)得(3)-(2)得現(xiàn)在是28頁\一共有55頁\編輯于星期三(3)-(2)得（行階梯形矩陣）（階梯形方程組）(-1/2)×(3)得現(xiàn)在是29頁\一共有55頁\編輯于星期三(-1/2)×(3)得(1)-2×(3)，(2)+2×(3)得現(xiàn)在是30頁\一共有55頁\編輯于星期三(1)-2×(3)，(2)+2×(3)

得(-1/3)×(2)得現(xiàn)在是31頁\一共有55頁\編輯于星期三(-1/3)×(2)得(1)-(2)得現(xiàn)在是32頁\一共有55頁\編輯于星期三(1)-(2)得（行最簡(jiǎn)階梯形矩陣）階梯上第一個(gè)元素為1，同列的其它元素都為零。從而原方程組的解為現(xiàn)在是33頁\一共有55頁\編輯于星期三上述解法的基本思路和步驟

反復(fù)利用矩陣的行初等變換，逐步將線性方程組的增廣矩陣化成行最簡(jiǎn)階梯形矩陣，從而求出方程組的解。此種方法稱為高斯消元法，它是解線性方程組的最一般、最有效的方法。將一個(gè)矩陣化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣共分兩步

化行階梯形：從上到下，從左到右；

化行最簡(jiǎn)階梯形：從下到上，從右到左?，F(xiàn)在是34頁\一共有55頁\編輯于星期三在我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》(約公元3世紀(jì))第八章“方程”(線性方程組)中有如下一問：

今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)(產(chǎn)量)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗，問上、中、下禾一秉幾何？該書中列出了如下的方程組(中國古代的書寫形式是自上而下，從右到左)：

例習(xí)上禾秉數(shù)中禾秉數(shù)下禾秉數(shù)斗數(shù)試列出此問題的方程組，并用高斯消元法求出其解?，F(xiàn)在是35頁\一共有55頁\編輯于星期三上禾秉數(shù)中禾秉數(shù)下禾秉數(shù)斗數(shù)現(xiàn)在是36頁\一共有55頁\編輯于星期三現(xiàn)在是37頁\一共有55頁\編輯于星期三上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三。現(xiàn)在是38頁\一共有55頁\編輯于星期三討論下列線性方程組解的情況，并從幾何上給以說明。

思考(1)無解，平行但不重合；(2)無窮多解，平行且重合；(3)唯一解，相交但不重合；(4)同(2)。現(xiàn)在是39頁\一共有55頁\編輯于星期三解線性方程組

例2

解：方程組的增廣矩陣現(xiàn)在是40頁\一共有55頁\編輯于星期三有何特點(diǎn)？現(xiàn)在是41頁\一共有55頁\編輯于星期三則同解方程組為，即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？令x3=k，顯然方程組有無窮多解，稱上述含任意常數(shù)的解為方程組的通解。現(xiàn)在是42頁\一共有55頁\編輯于星期三解線性方程組

例3

解：方程組的增廣矩陣現(xiàn)在是43頁\一共有55頁\編輯于星期三現(xiàn)在是44頁\一共有55頁\編輯于星期三現(xiàn)在是45頁\一共有55頁\編輯于星期三同解方程組最后一個(gè)方程0=－2是矛盾方程！所以方程組無解，此時(shí)稱該方程組是不相容的或矛盾的。有何特點(diǎn)？現(xiàn)在是46頁\一共有55頁\編輯于星期三

由以上3例思考1.線性方程組都有解嗎？若有解，解一定唯一嗎？2.如何判斷解的各種情況？不一定！唯一解無窮多解無解現(xiàn)在是47頁\一共有55頁\編輯于星期三線性方程組解的判定方法將線性方程組的增廣矩陣化為行階梯形矩陣后：1.若出現(xiàn)(0,…,0,d)≠0的非零行，則無解；2.若不出現(xiàn)(0,…,0,d)≠0的非零行，則有解，且①.非零行行數(shù)等于未知量個(gè)數(shù)，則有唯一解；②.非零行行數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)，則有無窮多解。無解唯一解無窮多解現(xiàn)在是48頁\一共有55頁\編輯于星期三求解齊次線性方程組解：對(duì)系數(shù)矩陣施行行初等變換化為行最簡(jiǎn)階梯形齊次線性方程組解的情況

例4現(xiàn)在是49頁\一共有55頁\編輯于星期三齊次線性方程組解的情況有何特點(diǎn)？現(xiàn)在是50頁\一共有55頁\編輯于星期三齊次線性方程組解的情況有何特點(diǎn)？寫出等價(jià)方程組并移項(xiàng)現(xiàn)在是51頁\一共有55頁\編輯于星期三齊次線性方程組解的情況寫出等價(jià)方程組并移項(xiàng)則方程組的通解為事實(shí)上，齊次線性方程組總有零解，稱其為平凡解。令現(xiàn)在是52頁\一共有55頁\編輯于星期三齊次線性方程組解