第7章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

※

描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的變矢量法※

描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的直角坐標(biāo)法※

描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的弧坐標(biāo)法※

結(jié)論與討論運(yùn)動(dòng)方程

——

變矢量法中，運(yùn)動(dòng)方程用點(diǎn)在任意瞬時(shí)t的位置矢量r(t)表示。r=r(t)xzyOrPr′P′rP§7-1矢量法1.運(yùn)動(dòng)方程r(t)

簡(jiǎn)稱(chēng)為位矢。r(t)r(t+t)vxzyOPP′r

2.速度

t瞬時(shí):矢徑r(t)t+t瞬時(shí):矢徑r(t+t)

或r(t)+

r(t)速度——描述點(diǎn)在t瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)快慢和運(yùn)動(dòng)方向的力學(xué)量。速度的方向沿著運(yùn)動(dòng)軌跡的切線(xiàn)；指向與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向一致；速度大小等于矢量的模。v'

v3.加速度

xzyOPr(t)vP′r'v't瞬時(shí):速度v(t)t+t瞬時(shí):速度v(t+t)

或v(t)+v(t)§7-2直角坐標(biāo)法

1.運(yùn)動(dòng)方程

xzyOyxzjikravP

不受約束的點(diǎn)在空間有3個(gè)自由度，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在空間的位置由3個(gè)方程確定：x

=f1(t)y

=f2(t)z

=f3(t)2.速度

xzyOyxzjikravP將矢徑表示成:(Oxyz)為定參考系:

3.加速度

xzyOyxzjikravP例題1橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)求：P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度。1、建立固定參考系Oxy；2、將所考察的點(diǎn)置于坐標(biāo)系中的一般位置；3、根據(jù)已知的約束條件列寫(xiě)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：P點(diǎn)的軌跡方程P點(diǎn)的速度：P點(diǎn)的加速度：xOyCMu解：建立圖示直角坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程:速度:Ev

例題2速度:加速度:xOyCMua§7-3自然法弧坐標(biāo)要素與運(yùn)動(dòng)方程

如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，可用點(diǎn)在已知軌跡上所走過(guò)的弧長(zhǎng)隨時(shí)間變化的規(guī)律描述。弧坐標(biāo)具有以下要素：1、有坐標(biāo)原點(diǎn)(一般在軌跡上任選一參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn))；2、有正、負(fù)方向(一般以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向作為正向)；3、有相應(yīng)的坐標(biāo)系(自然軸系)。s

=f

(t)s-s+PT(切線(xiàn))N(主法線(xiàn))自然軸系B(副法線(xiàn))自然軸系P－TNBP－空間曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)；T－過(guò)動(dòng)點(diǎn)P的密切面內(nèi)的切線(xiàn)，其正向指向弧坐標(biāo)正向；N－密切面內(nèi)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)，其正向指向曲率中心；B－過(guò)動(dòng)點(diǎn)P垂直于切線(xiàn)和主法線(xiàn)的直線(xiàn)，其正向由B＝T×N

確定。s-s+PT(切線(xiàn))N(主法線(xiàn))B(副法線(xiàn))自然軸系的基矢量nb

跟隨動(dòng)點(diǎn)在軌跡上作空間曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。自然軸系的特點(diǎn)b=×n其中:所以的方向與P點(diǎn)的切線(xiàn)方向一致而速度點(diǎn)的速度在切線(xiàn)軸上的投影等于弧坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。

若,則，即點(diǎn)沿著s+的方向運(yùn)動(dòng)；反之點(diǎn)沿著s－的方向運(yùn)動(dòng)；中v和分別表示速度的大小與方向。根據(jù)加速度的定義以及弧坐標(biāo)中速度的表達(dá)式

加速度?n′P′當(dāng)

0時(shí)，

和′

以及

同處于P點(diǎn)的密切面內(nèi)，這時(shí)，

的極限方向垂直于，亦即n

方向。加速度表示為自然軸系投影形式弧坐標(biāo)中的加速度表示加速度表示為自然軸系投影形式－切向加速度－法向加速度幾點(diǎn)討論

切向加速度表示速度矢量大小的變化率；

法向加速度表示速度矢量方向的變化率；即abb=0,

表明加速度a

在副法線(xiàn)方向沒(méi)有分量；還表明速度矢量v和加速度矢量a

都位于密切面內(nèi)。as解：建立圖示弧坐標(biāo)OMAB2C加速度:速度:運(yùn)動(dòng)方程:va已知：R，=t(為常數(shù)）求：(1)小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程、速度、加速度(2)小環(huán)M相對(duì)于AB桿的速度、加速度

例題3OMAB2C(2)建立圖示直角坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程:速度:加速度:x'y'解：由已知的運(yùn)動(dòng)方程可知已知點(diǎn)作平面曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)程：x=x(t)

，y=y(t)求：任意瞬時(shí)該點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及曲率半徑。

例題4解：由例2的計(jì)算結(jié)果得:求例2任意瞬時(shí)該點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及曲率半徑。

例題5xOyCMu

描述點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的三種方法比較●

變矢量法－結(jié)果簡(jiǎn)明，具有概括性，且與坐標(biāo)選擇無(wú)關(guān)。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題需將變矢量及其導(dǎo)數(shù)表示成標(biāo)量及其導(dǎo)數(shù)的形式?！?/p>

直角坐標(biāo)法－實(shí)際問(wèn)題中，一種廣泛應(yīng)用的方法。●

弧坐標(biāo)法－應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)軌跡已知的情形，其最大特點(diǎn)是將速度矢量大小的變化率和方向變化率區(qū)分開(kāi)來(lái)，使得數(shù)學(xué)表達(dá)式的含義更加清晰。結(jié)論與討論

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)應(yīng)用的兩類(lèi)問(wèn)題

第一類(lèi)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)軌跡，確定速度與加速度；給定約束條件，確定運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度。

第二類(lèi)問(wèn)題：

已知加速度以及運(yùn)動(dòng)的初始條件，確定速度和運(yùn)動(dòng)軌跡－第一類(lèi)問(wèn)題的反運(yùn)算。

速度、加速度的標(biāo)量表示與矢量表示的重要區(qū)別速度大小速度方向速度大小的變化率速度方向的變化率點(diǎn)沿著一螺旋線(xiàn)自外向內(nèi)運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)所走過(guò)的弧長(zhǎng)與時(shí)間的一次方成正比。請(qǐng)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：(A)越跑越快；(C)加速度越來(lái)越大；(D)加速度越來(lái)越小。(B)越跑越慢；運(yùn)動(dòng)方程的極坐標(biāo)形式(t)0在極坐標(biāo)(