2020年考數(shù)學立體幾何建系困難問大題精做1.已三錐P如一的面開（圖），邊ABCD為長于2正方形和△BCF均為正三形在棱PABC：（1證：面面ABC（2若點M在PA上動，當線BM平成的最時求面P的余弦值圖一

圖二2．ABCD中，，，點AD中沿△ABE起，所，點P在的影O落BE上

ππ（1求：PCEPBE；（2求面與面成銳面的弦．3．圖1矩形中，ABBC25點E在段，5，eq\o\ac(△,將)AED沿AE折AED

的位，結(jié)

，

，如．（1若P在段

BC上

，明：D（2記面BCD

的交為l．二AE

，l與D角

正弦．4．，在棱ABCD，已底ABCD是邊為1的方形，面面ABCD，PA，與平PBC所角正值

．（1求棱的長（2設(shè)為中，若PAAB求面PC的值．

222311.【案1見析22231

．【析）AC的中點O，接BO，PO由題，PA2，，AOBOCO．∵在△PAC，PA，O為的中點∴PO，∵在△，，，PB2，∴PO．∵ACOB，AC，OB平，∴PO面ABC，∵面PAC，∴面面ABC．（2由（），POAC面∴直線BM與平所成的角且tanBMO∴當OM最短，M是PA的點時，大由面ABC，，∴POOB，PO，

BOOMOM于是OB，OD所線別

軸，y軸軸立如圖空直坐系則O

1

，BC1,0,，

MC2

．設(shè)平MBC法量

m,z，11

得：222得：22222222則由

mm

得：11．令x

，即m11設(shè)平的向量

x,z2

，由

x

，令x得z即．cosm

5533．由圖知二角PM的弦為33

．2答1）詳見析

．【析）四棱錐PBCDE中2，BC，從有CEBE又∵PO，面BCDE，CEPO而、，POIBE，由線垂定可PBE面直斷定即PBE（2由件OP，點E做OP的平線EZ又由1）知EC以EB、、分別為xy、軸空間角標，如圖示0,2,0，D,,0,,0

，面的個向為

，設(shè)面法向為

nxz，有

22yz222y22

，

3從而得PCD的個法量3

n1,，cosn2

11

1111

，設(shè)平PCD與面所銳二面與PCD與面所二角余值故平．3答1）詳見析

nn12．

互補則

，【析證明先圖1連結(jié)，Rt△ADE，BC5DE，得得

1212

，在eq\o\ac(△,Rt)PCD，DC5，，∴PDC，PDCDAE，∴90OD，AEOP，在圖2中AEOD'

，AE，∴面'

，則AED解延長，BC交，接D'Q，公理3到直D'Q即l

，再根二角義到

2D．在平面POD3

內(nèi)過底面線以為點分OP，所垂為x軸軸軸立間角標，則

DD'Q'設(shè)平的法量nxy,

yy3z

．∴l(xiāng)與面DCE所角的正值nDnQ

155

．4答1）

．

，，，11，解2211322【析）AD中O，BC中M，連結(jié)OPOM，∵PAPD，∴AD，又∵面ABCD，，，11，解2211322∴面ABCD，OPOA，OP又∵是方形，OM，以為OA，為

，，z建立間角標Oxyz（則

,0,0BC,1,0

，設(shè)Pc

,1,

，設(shè)平的個向為

nx則有11

11

，取

則，n1設(shè)平PBC成角，

，∴

PA

PAPA

cc

31cc4∴或

．（2由（），，∴PA，

c

，由（），面的個法量

0,c,1

,1

，設(shè)平的個法量

，，，CE