22第利用導(dǎo)數(shù)證明不等式直接將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(師生共研)已知函數(shù)f()＝＋＋a(1)討論f)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時證f)≤－－2.a（x＋）（2ax＋）【解】fx)的定義域為0，＋∞)，f(x)＋＋2＋1＝x當(dāng)a≥0則當(dāng)∈，∞時，′(x，f(x在(，＋∞)上單調(diào)遞增．1當(dāng)a<0，當(dāng)x∈(0，－時，′(x)>0；當(dāng)∈－，＋∞)時，f(x2a故fx)(0－)單調(diào)遞增，(－，∞上單調(diào)遞減．a(chǎn)2(2)證明：1)知，當(dāng)時，(x)x＝－取得最大值，最大值為f－＝ln()a2aa－1a1所以fx)≤－2等價于－)－－≤－，即ln(－)＋＋≤0.設(shè)g(x)aaa2a2＝x－x＋，則′()＝－1.當(dāng)∈1)時，′(x；∈(1，∞)時g(所以g)x在0，上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)單調(diào)遞減．故當(dāng)x＝時()取得最大值，最大值為13＝0.所以當(dāng)>0時，g()≤從而當(dāng)a<0時－)＋≤，即f(x≤－22將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值來證明不等式，其主要思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性，直接求得函數(shù)的最值，然后由f(x)f)或(x)f)直證得不等式．min轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值進行比(師生共研已知fx)＝ln.(1)求函數(shù)fx)在t，t上的最小值；

eeeeeeeeee(2)證明：對一切x∈(0，＋∞，都有>－成立．eex【解】(1)f(x＝xx，x>0，得f(x)ln＋1，令f(x＝，得＝.當(dāng)∈，時f(x，f()單調(diào)遞減；當(dāng)∈，∞時，′(x，f()單調(diào)遞增．1①當(dāng)0<tt2，即0<<時，e1f)＝f＝；mine1②當(dāng)≤<t2，即t≥時，(x)[t，t＋2]單調(diào)遞增f)＝(t＝tlnt.emin所以fx)

＝min

1－，0<tee，t≥e

x(2)證明：題等價于證明lnx－(x∈，＋∞))．e由(1)可知f(x)lnx∈(0，＋∞))的最小值是－，e當(dāng)且僅當(dāng)x＝時到．ex2設(shè)m()＝－(x∈(0，＋∞，e－則m)，由m得x>1時(x為減函數(shù)，由m得<1時，m)為增函數(shù)，易知m()＝m＝－，且僅當(dāng)x＝1時到．e2從而對一切x∈∞xlnx≥－≥－兩個等號不同時取到證一切x∈(0，e2＋)都有l(wèi)nx>－成．eex

ln2eln2e在證明的不等式中若對不等式變形無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題以助兩個函數(shù)的最值進行證明．構(gòu)造函數(shù)證明不等式(師生共研已知函數(shù)f()＝－3＋3a(e自然對數(shù)的底數(shù)aR．(1)求fx)單調(diào)區(qū)間與極值；e(2)求證：當(dāng)a＞，＞，＞＋－aex【解】(1)f(x＝e－3x＋3，x∈，知f(x＝－3R令f(x＝，得＝ln3，于是當(dāng)x變時f(x)f(x)變化情況如下表：xf()f)

(－∞，ln－

ln3極小值

(ln，＋∞)＋故fx)單調(diào)遞減區(qū)間(－∞，3]，單調(diào)遞增區(qū)間是[ln3∞，f)在＝ln處取得極小值，極小值f(ln＝－3ln＋3＝－ln＋a．無極大值．(2)證明：證不等式等價于e＞－3＋1設(shè)g(x)e－＋3ax，x＞0，于是g(x＝e

－3x3，x＞由(1)及＞＝ln－1：g(x的最小值為g(ln＝3(1－ln3＋a)于是對任意x＞，都有(x＞0所以g(x)(，＋∞內(nèi)單調(diào)遞增．于是當(dāng)aln＝ln3－時對任意x∈(0，＋∞)都有g(shù))＞g．e而g＝，從而對任意∈(0＋)，g)＞0.

2**＋k*2**＋k*即

e1＞－3＋1，故＞＋－2若證明f)<(x)，b)，可以構(gòu)造函數(shù)()＝－()，如果能證明(x在(a，上的最大值小于，即可證明f)<()，x∈(，b)．利用賦值法證明正整數(shù)不等式師生共研若函數(shù)fx)＝－－1(a>0)在x＝處取極值．(1)求值，并判斷該極值是函數(shù)的最大值還是最小值；(2)證明：1＋＋…>ln(＋∈N)【解】因為＝0是函數(shù)極值點，所以f＝，所以＝f)＝

－x－1易知f()＝

－當(dāng)∈(0，∞)時，′(，當(dāng)∈(－，時，f(x)<0，故極值f是函數(shù)最小值．(2)證明：1)e

≥x＋1.即ln(x＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時等號成立，令＝(k∈)k則>ln1，>ln，kk所以>ln(1)－(1，，，)k累加得1＋＋＋n＋1)(∈)．3函中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問題時常根據(jù)已知的函數(shù)不等式關(guān)于正整數(shù)的等式替代函數(shù)不等式中的自變過多次求和達到證明的目的．已函數(shù)式為指數(shù)不等(或數(shù)不等，而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等(或

xxxx222222xxxx222222與指數(shù)有關(guān)的不等式)，還要注意指、對數(shù)式互化，如e>＋可化為ln(等(2019·南豫南九校聯(lián))設(shè)定義在＋)上的函數(shù)f(的導(dǎo)函數(shù)(x)滿足xf(x，則)Af(2)－C．f－f(1)>1

B．(2)－D．－解析A.根題意數(shù)f(x)定義域(0∞)(′(x)>＝(lnx)f(x－(lnx)′>0.令F(x)＝(x－，則(x在(，＋∞上單調(diào)遞增，故f(2)ln2>(1)－ln1，f(2)f(1)>ln．若<<1，()1Ae－x－ln221Be

－<ln－21C．212D．22e解析：C.令fx)＝，xx－（x－1）則f(x＝＝.當(dāng)0<x<1時，f(，即fx)(0上單調(diào)遞減，因為0<x<，1exex所以fxf，即<，221所以xe，故選C.212．已知函數(shù)fx)－－(1)設(shè)x＝2是fx)的極值點，求，并求fx)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a≥時，(x)≥0.e解：(1)(x)定義域為(，＋∞)，′()＝－x由題設(shè)知，′(2)＝0所以a＝.2e1從而fx)e－x－，f(x)－.2e

eexx－ax22－aeexx－ax22－a2當(dāng)0<x<2時，f(；x>2時f(x所以fx)(，單調(diào)遞減，(，＋∞單調(diào)遞增．e(2)證明：a時，()≥－x－1.ee1設(shè)g(x)－x－，(x＝－.當(dāng)<1時′(x；當(dāng)>1時′(x)>0.所以x＝g()的最小值點．故當(dāng)>0時(x≥(1)＝0.因此，當(dāng)≥時，fx≥e．武漢調(diào))已知函數(shù)f(x＝ln＋，∈x(1)討論函數(shù)f)的單調(diào)性；2－1(2)當(dāng)時證f)≥.解：(1)()＝－＝(．當(dāng)a≤0時，f(x，(x(，＋∞)上單調(diào)遞增．當(dāng)a>0時若xa，則f(x)>0，函數(shù)f()在(a，∞)上單調(diào)遞增；若0<xa則f(，數(shù)f(x)在(，a上單調(diào)遞減．(2)證明：1)知，當(dāng)a>0時f)＝()＝ln＋minaa要證fx)，需證lna＋≥，a即證lna＋－≥令函數(shù)g()＝＋－1，則g(a＝－＝(a，當(dāng)0<a<1時g′(，當(dāng)a時g(，所以g(a在0上單調(diào)遞減，(，＋∞上單調(diào)遞增，所以g(a＝g＝min所以lna＋－≥成立，

xx22xxxx22xxa所以fx)．(一題多)(2019·福模擬已知函數(shù)fx)eln－(a∈)．(1)討論f)的單調(diào)性；(2)當(dāng)＝時，證明：(x)－

＋x≤0.e解：(1)()＝－(x．①若≤0則f(x，()在0＋∞)上單調(diào)遞增；e②若，則當(dāng)x<時，′，當(dāng)>時，f(x)<0，ee故fx)0，上調(diào)遞增，在，＋上調(diào)遞減．e(2)證明：法一：因為x，所以只需證f(x)－2ex當(dāng)a＝e時由1)，f(x在，上單調(diào)遞增，在1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以fx)＝f＝－e記g(x)－2e(，x（x－）e則g(x＝，所以當(dāng)x<1時g(x，gx)調(diào)遞減，當(dāng)x>1，′(，g()單調(diào)遞增，所以g(x)＝(1)＝－mine綜上，當(dāng)x>0時fx≤(x)即)－2e即()－ex

＋2e法二：題意知，即證elnx－ex－x≤，e從而等價于ln－＋2.ex設(shè)函數(shù)g()＝ln－＋2則g()＝－所以當(dāng)x∈，時′(x，當(dāng)∈，＋∞)時，′，故g(x)(，上單調(diào)遞增，在1＋)上單調(diào)遞減，從而g(x在(0∞)上的最大值為g(1)

eexex22222eexex22222e（x－）設(shè)函數(shù)h()＝，h(x).所以當(dāng)x∈，時′(x，當(dāng)∈，＋∞)時，′，故h(x)(，上單調(diào)遞減，在1＋)上單調(diào)遞增，從而h(x在(0∞)上的最小值為h(1)綜上，當(dāng)x>0時g≤h()，即x－e

＋2e≤0.．已知函數(shù)fx)ln(x＋－x－在x＝0處得極值．(1)求實數(shù)值；n＋(2)證明：對于任意的正整數(shù)，不等式＋＋＋＋n1)都成立．9解：(1)為f()＝－2－，x＋又因為x＝0為f(x的值點．所以f(0)－＝，所以＝1.檢驗＝1在x＝處得極值，所以＝(2)證明：1)f＝ln(＋－x