將軍飲馬與最短路線問題河南三門峽靈寶市實驗中學王婭婭我們每個人都有一對隱形的翅膀，只要你愿意，只要肯努力，只要不放棄，你一定能張開翅膀在知識的天空中自由翱翔！將軍飲馬問題：在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：

將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中

馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？情境導入將軍飲馬與最短路線問題學習目標靈活利用將軍飲馬數(shù)學模型解決有關最短路線問題。P兩點之間線段最短.根據(jù)：BA兩點在一條直線兩側例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？最短路線：A---P---B.自主探究1自悟自得：

當兩個點在直線異側時，連接兩點的線段與已知直線的交點即為所求。

例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？AB河兩點在一條直線同側自主探究2

MNBA已知：直線MN和直線MN外同側兩點A、B求作：MN上一點C，使CA+CB最小。兩點在一條直線同側BAB’C作法：（1）作點B關于直線MN

的對稱點B’（2）連結B’A，交MN于點C；∴點C就是所求的點．MN兩點在一條直線同側方法總結：1、題型：一線兩定一動。2、方法：一次軸對稱。3、依據(jù)：兩點之間，線段最短。4、思想：轉化，將兩折化直。已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點，你能在BC上確定一點R，使△PQR的周長最短嗎？我學我用（2010甘肅）如圖菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=60度，點P是對角線AC上的一個動點，點E是BC的中點，則⊿PBE周長的最小值

。PDEABC變式：利用菱形的對稱性求線段和的最小值例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地

OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水，最后回到駐地A，問：這位將軍怎樣走路程最短？草地河邊.駐地AOMN一點在兩相交直線內部合作探究3....例3已知如圖和內一點,.一點在兩相交直線內部求作:OM上一點B,ON上一點C,使AB+BC+AC最小作法：（1）作點A關于OM、ON的對稱點A’、A”（2）連接A’和A”，交OM于Ｂ、交

ON于Ｃ則點Ｂ、Ｃ即為所求。合作交流方法總結：1、題型：兩線一定兩動。2、方法：兩次軸對稱。3、依據(jù)：兩點之間，線段最短。4、思想：轉化，將三折化直。已知P是△ABC的邊BC上的點，你能在AB、AC上分別確定一點Q和R，使△PQR的周長最短嗎？我學我用(2011.山西)如圖，∠AOB=30°,角內有一點P，PO=10cm,兩邊上各有一點Q、R（均不同于點O），則△PQR的周長的最小值是＿＿。例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬,

再到河邊飲馬，然后回到帳篷，你能幫助確定這一天的最短路線嗎？兩點在兩相交直線內部引導探究4......已知：MON和MON內兩點A、B。求作：點C和點D,使得點C在OM上，點D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。.點C、D即為所求。方法總結：1、題型：兩線兩定兩動。2、方法：兩次軸對稱。3、依據(jù)：兩點之間，線段最短。4、思想：轉化，將三折化直。

（09湖北）如圖，兩條高速公路互相垂直，AB=50Km,A、B到X軸的距離分別為10Km和40Km，B到Y軸的距離為30Km，請你在兩條公路旁各修建一服務區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。BA0中招在線，勇攀高峰類型2:

確定下列函數(shù)的自變量取值范圍:

請談談今天的收獲!這節(jié)課上，我感受最深是………………這節(jié)課上，我感到最困難的是………………這節(jié)課上，我學會了………………

求最短路線問題------

通過做對稱點把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，化折線為直線，利用“兩點之間線段最短”加以解決。

兩折化直，一次軸對稱

三折化直，兩次軸對稱顆粒歸倉

達標測評1.如圖，正方形OABC邊長為6，點A、C分別在X軸、Y軸的正半軸上，點D（2,0）在OA上,點P是OB上一動點，則PA+PD的最小值為＿＿。

CBA0PDXY