（優(yōu)選）微觀至介觀尺度的模擬方法概述課件現(xiàn)在是1頁\一共有65頁\編輯于星期六微觀至介觀尺度的模擬主要研究內容：微結構演化（動力學控制）微結構與其性質之間關系結構演化的方向——熱力學控制微結構變化路徑——動力學控制

結構演化的這種非平衡特性導致了各種各樣的晶格缺陷結構及其相互作用機制?，F(xiàn)在是2頁\一共有65頁\編輯于星期六尺度/m特性、現(xiàn)象或缺陷10-10～10-7點缺陷，原子團簇，短程有序，在玻璃態(tài)和界面中的結構單元，位錯芯，裂紋尖端，原子核10-9～10-5失穩(wěn)分解，涂層，薄膜，表面腐蝕10-9～10-4二嵌段共聚物，三嵌段共聚物，星形共聚物，大質量的非熱變化，界面網(wǎng)格，位錯源，堆積效應10-9～10-3粒子、沉積物，枝晶，共晶，共析10-8～10-5微裂紋，裂紋，粉末，磁疇，內應力10-8～10-4堆垛層錯，微帶，微孿晶，位錯通道10-8～10-3聚合物中的球晶，存在于金屬、陶瓷、玻璃及聚合物中的結構疇或晶粒團簇（對于多晶或非晶的情況）10-8～10-2聚合物中的構象缺陷團簇10-8～10-1位錯，位錯壁，旋錯，磁壁，亞晶粒，大角晶界，界面10-7～10-1晶粒，剪切帶，復合材料的第二相10-7～100擴散，對流，熱傳遞，電流傳輸10-7～100微結構逾滲路徑(斷裂，再結晶，界面潤濕，擴散，腐蝕，電流，布洛赫壁)10-6～101表面，樣品斷面收縮，斷面微結構的實物空間和時間尺度現(xiàn)在是3頁\一共有65頁\編輯于星期六微觀至介觀尺度的模擬非平衡因素→材料性質的多樣性應用性質材料微結構機制現(xiàn)在是4頁\一共有65頁\編輯于星期六微觀至介觀尺度的模擬介觀尺度模擬的特點：處理的原子數(shù)目巨大(≈1023個/cm3)。排除了（1）嚴格求解薛定諤方程（2）由唯象原子論方法(如與經(jīng)驗勢相聯(lián)系的分子動力學)來完成。

必須建立能覆蓋較寬尺度范圍的恰當?shù)慕橛^尺度模擬方法，以便給出遠遠超過原子尺度的預測?，F(xiàn)在是5頁\一共有65頁\編輯于星期六微觀至介觀尺度的模擬連續(xù)體模型原子運動方程的嚴格解或近似解

（薛定諤方程或分子動力學）

——替換為——平均本征結構關系式介觀尺度機理和本構定律的復雜性和多樣性，導致建立介觀尺度模型的方法的不唯一性?，F(xiàn)在是6頁\一共有65頁\編輯于星期六空間及時間離散化介觀尺度模擬方法空間及時間離散化位錯動力學(晶體塑性，復原，織構，斷裂)相場動力學或廣義Ginzburg-Landau模型(超導電性，擴散，相變，晶粒生長)確定性或概率性元胞自動機(擴散，熱傳遞，相變，再結晶，晶粒生長)多態(tài)動力學波茨(Potts)模型(相變，再結晶，晶粒生長)幾何拓撲和組分模型(相變，再結晶，晶粒生長)拓撲網(wǎng)格和頂點模型(晶界動力學，網(wǎng)格動力學，成核，復原，晶粒生長)典型應用領域中的主要介觀尺度模擬方法現(xiàn)在是7頁\一共有65頁\編輯于星期六微觀至介觀尺度的模擬介觀模擬方法的共同特點：不明顯地包含原子尺度動力學，而是理想化地把材料作為連續(xù)體。由均勻性基體將晶格缺陷之間的相互作用耦合在一起?？刂品匠讨型ǔ２伙@含內秉空間或時間標度。含有單個晶格缺陷的連續(xù)體介觀尺度模型通常由一系列唯象的偏微分速率和本征結構方程組表述。采用有限差分法、有限元法或蒙特卡羅方法可以對這些微分方程近行求解。現(xiàn)在是8頁\一共有65頁\編輯于星期六微觀至介觀尺度的模擬時空標度參數(shù)和離散度的確定由微分方程及其系數(shù)、變量所擁有的特點和性質決定。作為態(tài)變量(例如原子濃度，位鍺密度，結構參數(shù)，位移或品格取向)，通常被并進空間格柵坐標；控制微分方程被用于局域或整體情況，這取決于相互作用的性質(短程或長程)。能夠利用連續(xù)體近似方法對介觀尺度的結構演化進行預測、意義重大，因為唯象態(tài)方程和結構演化定律已在介觀尺度進行很好地研究，其實驗數(shù)據(jù)的獲得比在微觀尺度更容易，而且數(shù)據(jù)信息比在宏觀尺度更詳細?，F(xiàn)在是9頁\一共有65頁\編輯于星期六第6章元胞自動機6.1基本原理元胞自動機是描述和處理復雜系統(tǒng)在離散空間-時間上演化規(guī)律的算法，通常采用對晶格格座的局域或整體的確定性和概率性變換規(guī)則進行具體操作?？臻g變量可以代表實空間、動量空間或波矢空間。其晶格定義為具有固定數(shù)目的點，一般是規(guī)則晶格，但其維數(shù)及大小可以是任意的。它表述了系統(tǒng)由基礎實體形成的構象。這些“基礎實體”可以是任意大小的連續(xù)體型體積單元、原子顆粒、晶格缺陷或生物界中的動物等等?，F(xiàn)在是10頁\一共有65頁\編輯于星期六元胞自動機的原理應用于城市規(guī)劃現(xiàn)在是11頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理基本實體，由廣義態(tài)變量(諸如無量綱數(shù)、粒子密度、晶格缺陷密度、粒子速度、顏色、血壓或動物種類等)進行量化表述。在每一個獨立的格座，這些態(tài)變量的實際取值都是確定的。并且認為，每一個結點代表有限個可能的離散狀態(tài)中的一個態(tài)。通過將某些變換規(guī)則應用于每個結點狀態(tài)，就會發(fā)生自動機的演化。這些規(guī)則決定著晶格格座的狀態(tài)；對于局域規(guī)則，格座狀態(tài)是其前一狀態(tài)及近鄰格點(座)狀態(tài)的函數(shù)，而在整體變換規(guī)則下，則為所有格座狀態(tài)的函數(shù)。傳統(tǒng)元胞自動機大多采用局域變換規(guī)則?，F(xiàn)在是12頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理對于在規(guī)則晶格結構方面的應用是比較容易。對于非均勻介質，在討論的晶格區(qū)域采用較小的晶格間距比較妥當；而且，還必須考慮對變換速率進行合理修正和重正化。元胞自動機以離散時間步發(fā)展演化。經(jīng)過一個時間間隔，要對所有結點的態(tài)變量值同時更新。廣義微結構元胞自動機可以采用元胞或格座的離散空間格柵，在空間上通常被認為是均勻的，所有格座都是等價的，并被排布在規(guī)則晶格上，其中的變換規(guī)則在各處都是一樣的。假定它們是有限個可能狀態(tài)中的一個，并對所有元胞狀態(tài)同步更新。此外，它們與常規(guī)自動機不同的是，格座變換既可以按照確定性定律，也可以按照概率性定律。現(xiàn)在是13頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理元胞自動機方法為模擬動力學系統(tǒng)的演化提供了一種直接的手段，這些動力學系統(tǒng)包含有大量基于短程相互作用或長程相互作用的相似組元。對于簡單的物理系統(tǒng)，時間是其惟一個獨立變量(自變量)。這種直接方法，就相當于利用有限差分近似法給出偏微分方程組的離散解。元胞自動機方法對“基礎實體”類型和選用的變換規(guī)則沒有任何限制。它們可以描述：簡單有限差分模擬中態(tài)變量值的分布，混合算法的色問題，“教室里的兒童健康情況”，在任何變換條件下的模糊集合元素，以及元胞的初級生長與衰減過程等?，F(xiàn)在是14頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理例如，用于計算高次多項式系數(shù)或裴波那契數(shù)的帕斯卡三角形，可以作為一維元胞自動機。其中規(guī)則三角晶格各個格座對應的值，可通過在其上方的兩個數(shù)之和給出。在這種情況下、自動機的“基礎實體”是一些無量綱的整數(shù)，其變換定律是求和法則。一維元胞自動機模型帕斯卡三角形示意圖現(xiàn)在是15頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理另一種自動機是由立方晶格組成的，這時每個點具有一種顏色，并能按照下述簡單的變換規(guī)則進行轉換：“如果某點有超過50％的近鄰格點(座)是藍色，則該點就由原色變成紅色”；或者“當有超過75％的近鄰格點是紅色時，那么所考察格點的顏色也轉換為紅色”。若要描述學校里孩子們之間的相互傳染問題，我們可以通過一個規(guī)則，亦即“如果一個教室里有50％的孩子得?。畡t該教室里其他所有孩子就被感染”，定義一個元胞自動機。為了使上述簡單唯象模型變得更加合理、真實、可信，應該增加更多的變換規(guī)則。上面的例子可補充這樣的規(guī)則：“經(jīng)過一定數(shù)目的時間步之后，受感染的孩子已康復”或“每個孩子只能被感染一次’’等等。現(xiàn)在是16頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理元胞自動機并不簡單地等同于普通模擬方法，例如各種有限差分法、有限元法、伊辛(Ising)法、波茨(Potts)方法等。元胞自動機具有廣泛的適用性和多功能的特點，是離散計算方法的普遍化推廣。這種靈活適用性是基于這樣一個事實：除了采用簡明的數(shù)學表達式作為變量和變換規(guī)則之外，如果需要的話，自動機能夠包括任何元素或規(guī)則。現(xiàn)在是17頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理在材料科學中，有時對常規(guī)有限差分計算方法補充一些“如果…就…”規(guī)則可以為處理“數(shù)學上的奇點(即非光滑函數(shù)表述中的臨界或自發(fā)效應)問題提供了一種簡單有效的途徑。事實上，這些規(guī)則經(jīng)常出現(xiàn)在微結構模擬中。例如，在離散位錯動力學模擬中，“如果兩個反平行螺位錯相互靠近到其間距小于5個伯格斯矢量時，它們就會自發(fā)湮沒”；在斷裂力學或彈簧模型中，會經(jīng)常包含這樣的規(guī)則：“如果裂紋速度達到某一個值，試驗樣品將自發(fā)損壞”；在重結晶模擬中，會經(jīng)常遇到這樣的規(guī)則：“如果晶體局城取向誤差達到某一個值，格座將滿足成核的動力學非穩(wěn)定性臨界條件。”或“局域儲存的彈性能達到某個臨界值，格座將滿足成核的熱力學非穩(wěn)定性條件”。現(xiàn)在是18頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理如果對主微分方程補充上述所說的“如果…就…”的變換規(guī)則，我們就可以對復雜系統(tǒng)的動力學行為特性進行模擬。通常而言，所考察粒子之間的局域相互作用是這一問題的根本基礎。盡管元胞自動機模擬一般是在基本尺度層次(例如原子、原子團簇、位錯段、亞晶粒)上完成的，但是作為對連續(xù)體空間進行離散化和映射處理的派生方法，本身不存在物理特征線度或時間刻度的內秉標定問題。對連續(xù)體系統(tǒng)的元胞自動機模擬，需要定義相應的基本單元和對應的變換規(guī)則，以便恰當?shù)卣宫F(xiàn)系統(tǒng)在給定層次上的行為特性?，F(xiàn)在是19頁\一共有65頁\編輯于星期六6.1基本原理從物理角度看，分子動力學表示的是真正的微觀模型，而在使用元胞自動機方法時，并不局限任何特定體系，可適用于任何系統(tǒng)。與蒙特卡羅方法相比，由元胞自動機方法得到的平衡系綜的熱力學量，在物理上更缺少依據(jù)和基礎。由于這個原因，在進行元胞自動機計算機實驗之前，一個重要工作就是，檢驗基本模擬單元是否切實體現(xiàn)了“基礎物理實體”的特性。由于元胞自動機的應用并不局限于微觀體系，所以它為在微結構模擬中實現(xiàn)不同空間及時間尺度的方法之間的跨越，提供了一個非常方便的數(shù)值工具。現(xiàn)在是20頁\一共有65頁\編輯于星期六6.2CA在材料中的多面性由于在考慮大量可能的空間態(tài)變量及變換規(guī)則時所展現(xiàn)的廣泛適用性和靈活性。元胞自動機方法在對由再結晶、晶粒生長及相變現(xiàn)象等形成的微結構進行模擬時，表現(xiàn)出特有的多面性。例如，對于再結晶和晶粒生長，元胞自動機可以離散化方式同時描述局域結晶結構及其形成過程。為了實現(xiàn)對這些特性的描述，一般是將局域晶體取向g、儲存的彈性能(即某種近似可測量，諸如位錯密度ρ或局域泰勒因子M)以及溫度T作為態(tài)變量。這些變量都是因變量，也就是它們依賴于自變量，諸如空間坐標(x1，x2，x3)和時間t等?，F(xiàn)在是21頁\一共有65頁\編輯于星期六6.2CA在材料中的多面性就特定的研究對象，狀態(tài)參量應包含在所使用的各種局域結構演化定律之中。根據(jù)局域的信息、數(shù)據(jù)及變換規(guī)律，可以對諸如復原、成核及其生長等現(xiàn)象的機理結出相應合理的唯象解釋。通過確定二維或三維空間格柵所對應的態(tài)變量，元胞自動機模擬可以應用于對微結構的非均勻性質的研究，其中包括諸如第二相、微帶、剪切帶、過渡帶、異相界面、晶界和孿晶等。這些局域性缺陷結構，可以借助其態(tài)變量的相應值或梯度值進行表述；用高位錯密度和大的局域晶格曲率表征剪切帶的特性。對于一個給定雜質含量的晶界遷移率m，可以采用相鄰晶粒之間的取向偏差Δg和晶界法線的空間取向n來表征?，F(xiàn)在是22頁\一共有65頁\編輯于星期六6.3元胞自動機的一般表述在元胞自動機中，鄰接格座的局域相互作用，是通過一套確定性或概率件變換規(guī)則具體確定的。在時間(t+Δt)時，對應于某特定格座的態(tài)變量值ξ將由目前狀態(tài)(t0)(或最接近的幾個態(tài)t0，t0-Δt等)及其鄰近格點的狀態(tài)決定。若只考慮最鄰近的兩個時間步，則對于一維元胞自動機的演化來說，可以用公式寫成下式形式：表示在時間t0時對應于結點j的態(tài)變量值；j+1和j-1表示格點j的兩個最近鄰結點。f具體指定了描述變換規(guī)則的函數(shù)。(6.1)現(xiàn)在是23頁\一共有65頁\編輯于星期六6.3元胞自動機的一般表述幾種鄰接狀態(tài)馮·諾伊曼鄰接結點狀態(tài)僅取決于最鄰近結點摩爾鄰接結點狀態(tài)取決于最鄰近結點和次鄰近結點擴展摩爾鄰接考慮兩層鄰近的元胞馬哥勒斯鄰接每次考慮一個2×2的元胞塊鄰接類型影響系統(tǒng)的轉換速率和演化形態(tài)。

現(xiàn)在是24頁\一共有65頁\編輯于星期六1,11,21,32,12,22,33,13,23,31,11,21,32,12,22,33,13,23,3圖6.1馮諾依曼鄰接和摩爾鄰接現(xiàn)在是25頁\一共有65頁\編輯于星期六6.3元胞自動機的一般表述對于擴展配置，一維情況下，考慮兩個鄰近時間步時的轉換規(guī)則可以寫為：其中n表示單位晶格元胞變換規(guī)則的作用范圍。(6.2)現(xiàn)在是26頁\一共有65頁\編輯于星期六6.3元胞自動機的一般表述元胞自動機存在眾多可行的變換規(guī)則。

馮﹒諾伊曼鄰接的一維二進制元胞自動機，每一個時間步，即ξj=0或ξj=1，轉換規(guī)則采取的形式，其轉換規(guī)則有28個。其中之一現(xiàn)在是27頁\一共有65頁\編輯于星期六該轉換規(guī)則可以以(01011010)2的編碼形式表示。在元胞自動機方法中，一般采用數(shù)字編碼方式簡化表述相關變換規(guī)則?，F(xiàn)在是28頁\一共有65頁\編輯于星期六6.3元胞自動機的一般表述變換規(guī)則的數(shù)目可以由k(kn)計算得到，其中k為元胞的狀態(tài)數(shù)，n為包含芯元胞在內的鄰近元胞的數(shù)目。對于具有摩爾鄰接的二維元胞自動機（n=9），假設每個元胞具有兩個可能的狀態(tài)，則該系統(tǒng)將具有22·9=262144個不同的轉變規(guī)則?，F(xiàn)在是29頁\一共有65頁\編輯于星期六6.4元胞自動機的分類沃爾弗拉姆（Wolfram）基于動力學行為的差異將元胞自動機分為四類。(1)平穩(wěn)型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時間運行后，元胞空間趨于一個空間平穩(wěn)的獨一無二的構形，這里空間平穩(wěn)即指每一個元胞處于固定狀態(tài)，不隨時間變化而變化。(2)周期型：產生周期性重復的短周期結構，或者產生穩(wěn)定結構。在這種元胞自動機中同時呈現(xiàn)出局部和整體的排列次序。這種自動機可以看作是一個濾波器（Filter），這來自于給定轉換規(guī)則的離散數(shù)據(jù)的本質。在向空間中這種系統(tǒng)形成閉環(huán)。現(xiàn)在是30頁\一共有65頁\編輯于星期六6.4元胞自動機的分類(3)混沌型：自任何初始狀態(tài)開始，經(jīng)過一定時間運行后，元胞自動機形成非周期的混沌結構。至少在經(jīng)過一定的時間后，這種結構的統(tǒng)計特征與初始結構的統(tǒng)計特征大致相同。由第三種元胞自動機生成的結構通常為自相似的分形排列。對于任意的初始配置，經(jīng)過大量的時間步后，這些結構具有相同的統(tǒng)計特征。人們對這類自動機在幾何方面的應用具有很大的興趣。這種自動機是最常用的一種元胞自動機?，F(xiàn)在是31頁\一共有65頁\編輯于星期六6.4元胞自動機的分類(4)復雜型：第四類元胞自動機產生穩(wěn)定的，周期性的，可以維持任意長時間的傳播結構。一些元胞自動機在經(jīng)歷一定時間步以后衰退，即所有元胞的狀態(tài)變?yōu)榱?。一些第四類元胞自動機可以形成穩(wěn)定的周期性結構。通過對這些恰當?shù)膫鞑ソY構進行設置，可以得到具有任意循環(huán)長度的最終狀態(tài)。在演化過程中，第四類元胞自動機表現(xiàn)出高度的不可逆性。這種元胞自動機可以呈現(xiàn)出重要的局域排列?，F(xiàn)在是32頁\一共有65頁\編輯于星期六6.5概率性元胞自動機方法

將確定性元胞自動機變?yōu)榉谴_定性的基本方法有兩種:第一種方法就是隨機地選擇所研究的晶格格點，而不是系統(tǒng)化地按順序選擇，但是要使用確定性變換規(guī)則；第二種方法就是用概率性變換代替確定性變換，但要系統(tǒng)地研究所有格點。主要討論第二種方法，并將之歸為概率性或隨機性元胞自動機?，F(xiàn)在是33頁\一共有65頁\編輯于星期六6.5概率性元胞自動機方法概率性元胞自動機，就其基本過程和要素方面而言，非常相似于普通的元胞自動機，只不過轉變規(guī)則由確定性的換成了隨機性的。設有N個格點組成一個一維鏈，其中每個格點有k個可能的狀態(tài)Sv=0,1,2,...,k-1。從而整個鏈共有kN個不同的排列方式。由（S1,S2,…,SN）描述的某給定晶格狀態(tài)用下式整數(shù)標記：(6.3)現(xiàn)在是34頁\一共有65頁\編輯于星期六6.5概率性元胞自動機方法假設每個狀態(tài)i的存在概率為Pi。作為時間的函數(shù)的Pi(t)，按照其轉變概率以離散時間步t=0,1,2,…的方式變換發(fā)展。如果只考慮鄰近的時間步(t-1)，這一規(guī)則可用下式給出：轉移概率Tij就表示由前一時刻的j狀態(tài)轉變到i狀態(tài)的概率。對于離散型元胞自動機方法，轉移矩陣Tij

是由局部規(guī)則決定：(6.4)(6.5)現(xiàn)在是35頁\一共有65頁\編輯于星期六6.5概率性元胞自動機方法

和分別表示狀態(tài)j和i的格點變量；因而，變量的轉換只有其最近鄰及其自己的狀態(tài)有關。雖然概率性元胞自動機與Metropolis蒙特卡洛算法之間具有一定的相似性，但二者之間還是有差別的。這種差別主要表現(xiàn)在兩個方面：第一，蒙特卡洛方法每個時間步只更新一個格點，而概率元胞自動機像大多數(shù)自動機一樣，每次要全部一起更新；第二，元胞自動機沒有本征的長度或時間標度。元胞自動機的標定參數(shù)主要是由構成物理模型的基礎來決定，而不是由所采用的元胞自動機算法來決定。現(xiàn)在是36頁\一共有65頁\編輯于星期六6.5概率性元胞自動機方法元胞自動機與波茨蒙特卡羅自旋模型的區(qū)別：(1)元胞自動機對微觀體系不存在內稟標度，如果選擇合適的基礎單元，并且建立與場變量相匹配的代數(shù)、微分或積分方程，那么元胞自動機可以用于任意空間和時間尺度上的問題處理。蒙特卡羅方法對于微觀體系是有內稟標度的。(2)在蒙特卡羅方法中，廣義自旋格座是隨機抽樣順序考察的，而元胞自動機則是同步一起更新。(3)元胞自動機比多態(tài)波茨模型使用了更多的確定性或概率性變換規(guī)則。現(xiàn)在是37頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6非平衡現(xiàn)象的模擬6.6.1熱力學模擬

在金屬的熱變形過程中，會發(fā)生諸如再結晶、連續(xù)與非連續(xù)型晶粒生長和不連續(xù)沉淀等非平衡轉變現(xiàn)象和微結構瞬態(tài)問題。按照微結構的觀點，這些轉變現(xiàn)象都是由于高角晶界的運動引起的。由于吉布斯自由焓存在梯度，原子或原子團將從一個晶粒越遷轉移到其鄰近晶粒。對同相界面，其凈驅動壓強(6.6)現(xiàn)在是38頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.1熱力學模擬在實際材料中，各種貢獻都將影響到局域自由焓的值。(1)在冷加工金屬中，位錯密度ρ的增加對所儲存的彈性能的貢獻，在對驅動壓強中占最大的份額。Δρ是界面兩邊的位錯密度差；μ為各向同性極限下的體剪切模量；b表示伯格矢量的大小。如果將存在于元胞壁的位錯(ρw)和元胞內的位錯(ρi)的貢獻分別表述。(6.7)(6.8)ρw只能用亞晶粒尺寸D和亞晶粒壁的界面能γsub表述現(xiàn)在是39頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.1熱力學模擬(2)作用于各晶粒上的拉普拉斯壓強或毛細壓強的貢獻。對于常見的晶粒粒度分布和球形晶粒α為2～3的常數(shù)；γ為界面能；1/R為曲率。對于薄膜，還有來自表面能梯度的貢獻：式中，B表示薄膜寬度；h為膜厚；Δγ代表表面能變化量。(6.9)(6.10)現(xiàn)在是40頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.1熱力學模擬(3)在過飽和態(tài)，對驅動壓強還有一項化學貢獻。其對應的轉變稱為非連續(xù)沉淀。kB為波耳茲曼常數(shù)；Ω為原子體積；T1為（數(shù)值）實驗中的實際溫度；T0為相應于T1時過飽和濃度的平衡溫度；c0為濃度。

(6.11)現(xiàn)在是41頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.1熱力學模擬(4)其他因素對總壓強的貢獻在總的驅動壓強中，還要考慮冷加工或硬化金屬間化合物中由于損失長程有序而產生的貢獻。更進一步還應當考慮來自于磁性、彈性及溫度場等梯度的貢獻，但是這類貢獻在實際應用中意義不大。(5)可能的反驅動力雜質阻力以及在有序化合金中高角晶界運動在遠處產生疇的結構。現(xiàn)在是42頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.2動力學模擬為使原級再結晶能夠啟動，要在熱力學、力學和動力學方面有一定的不穩(wěn)性。第一類不穩(wěn)定性就是成核，第二類就是有凈驅力，第三類就是高角晶界的運動。在再結晶過程中，主要是非均勻成核?？赡艹珊说母顸c所處的區(qū)域應該具有非常高的位錯密度和較小的子晶粒尺寸，以及具有較大的局域晶格取向偏差。例如：剪切帶、微帶、遷移帶、存在高角晶界、在沉淀周圍的形變區(qū)等?，F(xiàn)在是43頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.2動力學模擬采用垂直通過均勻晶界的各向同性單原子擴散過程，則用于描述界面運動的對稱速率方程可以寫為：表示界面速度；vD是德拜頻率；λgb表示通過界面時的跳變寬度；c表示平面內自擴散截體缺陷的固有濃度（如晶界空位或源的重組）；n表示晶界片的法向矢量；ΔGt是與轉變有關的吉布斯焓;kB為波耳茲曼常數(shù);T為絕對溫度。(6.12)現(xiàn)在是44頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.2動力學模擬將焓、熵及驅動壓強帶入式（6.12），則有：p為驅動力（如儲存的彈性能或界面曲率）；Ω為原子體積；ΔSf表示形成熵；ΔHf表示形成焓；ΔSm表示運動熵；ΔHm表示運動焓。(6.13)現(xiàn)在是45頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.2動力學模擬ΔSf主要是振動熵，而ΔSm包含有組態(tài)和振動兩者的貢獻，則式（6.13）變?yōu)?考慮到雙曲函數(shù)中的是個小量(6.14)(6.15)現(xiàn)在是46頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.2動力學模擬晶界遷移率實驗數(shù)據(jù)阿倫烏斯分析的著名唯象表達式：式中，m表示遷移率，Qgb表示晶界運動的激活能。比較式（6.15）和式（6.16）兩式中的系數(shù)，則有：晶界運動的經(jīng)典動力學圖像。

(6.16)(6.17)現(xiàn)在是47頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.2動力學模擬在原級再結晶的初級階段，局域復原過程促進了晶核的形成。在其最后階段，位錯湮滅及重新排列將引起所儲存能量的不斷降低，從而使局域驅動力明顯減小，最終導致再結晶速度減慢。ρ(t)是作為時間t的函數(shù)的位錯密度，ρ0表示形變后的位錯密度，τ為弛豫時間。(6.18)現(xiàn)在是48頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.3確定性元胞自動機解法冷加工金屬中原級再結晶模擬的確定性元胞自動機方法。假定成核和新結晶晶粒長大所需驅動力均來源于局域位錯密度的梯度；并且當有碰撞時生長終止。起始數(shù)據(jù)應包括格柵幾何參數(shù)和態(tài)變量取值等信息，例如，溫度、成核概率、晶界遷移率、位錯密度和晶體取向。這些數(shù)據(jù)必須能夠描述作為空間函數(shù)的初始微結構的主要特征。原級再結晶的物理過程：復原、成核和晶核生長?，F(xiàn)在是49頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.3確定性元胞自動機解法(1)復原階段位錯密度與驅動力相聯(lián)系并對成核速度有潛在的影響。在簡單的有限差分公式中，因子f與弛豫時間τ、溫度T和時間ti有關。(2)在成核階段各元胞或元胞團簇由變形態(tài)轉變?yōu)樵俳Y晶狀態(tài)。(6.19)現(xiàn)在是50頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.3確定性元胞自動機解法根據(jù)所構造模型的物理基礎，相對周圍的形變基體，其晶核取向可有三種情況：即相同取向相似取向（Δg≤15o）不同取向（Δg≥15o）相同或相似取向的晶核只能存在于高角晶界，而當取向偏差明顯不同時晶粒會生長進入近鄰晶粒。

把這些反映晶粒取向特性的臨界條件，以及產生的晶核應與基體有相似取向的規(guī)則結合起來，就相當于給出一個取向成核的假說?，F(xiàn)在是51頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.3確定性元胞自動機解法(3)生長階段在生長階段，對于每個晶?？蓤?zhí)行一個循環(huán)，這個循環(huán)遍及所有屬于目標晶粒表面的元胞，可以確定表面元胞與其非再結晶近鄰元胞兩者結晶取向偏差Δg和溫度T的函數(shù)。在原級晶界的情況下，局域驅動力取決于非再結晶元胞的實際位錯密度ρ。驅動力和遷移率決定著晶界運動的速度；晶界速度即是指在單個時間增量內的生長量?，F(xiàn)在是52頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.4概率性元胞自動機解法在概率性元胞自動機方法中，通過采用權重隨機抽樣方案把確定性積分用統(tǒng)計積分代替，為此，必須把式（6.15）或式（6.16）分解成確定性部分和概率性部分w，即有：其中為晶界速度，并且;(6.20)(6.21)現(xiàn)在是53頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.4概率性元胞自動機解法模擬應是在空間網(wǎng)格上進行，其給定標度λm大于原子尺度。如果有轉變現(xiàn)象發(fā)生，則晶粒將按生長（或收縮），而不是b3，為了校正標定尺度根據(jù)λm及時間標度（1/v）可知，對統(tǒng)計積分施加這樣一個頻率是不合適的。利用沖擊頻率v0把上述方程歸一化(6.22)(6.23)現(xiàn)在是54頁\一共有65頁\編輯于星期六6.6.4概率性元胞自動機解法其中由網(wǎng)格大小及選取的沖擊頻率決定；由溫度及實驗輸入數(shù)據(jù)決定。例如，晶界特征性質依賴于取向偏差和平面傾角，驅動力取決于所存儲的彈性能和局域曲率。(6.24)現(xiàn)在是55頁\一共有65頁\編輯于星期六6.7CA方法在材料科學中的應用6.7.1再結晶的模擬(1)動態(tài)再結晶過程HY-100鋼的顯微組織轉變MQian等采用動態(tài)再結晶(DRX)的原理和元胞自動機（CA）的方法建立的模型，對HY-100鋼的顯微組織轉變和塑性流變特征進行了模擬。動態(tài)再結晶的理論模型為只有當位錯密度或應變達到臨界值時，再結晶才能發(fā)生，其中臨界值是與溫度和應變速率有關的。初始顯微組織按正常的晶粒長大的算法構建的，初始的晶粒與基體的取向是在0～1800之間分布的。模擬的點陣為200×150，對應于400nm×30