歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助!第二部分專題三類(lèi)型1與圓有關(guān)的角平分線問(wèn)題1．(2018·衡陽(yáng))如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC分別交AC，AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)若AC＝4，CE＝2，求eq\o\ac(BD,\s\up10(︵))的長(zhǎng)度．(結(jié)果保留π)(1)證明：如答圖，連接OD，答圖∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE.∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線．(2)解：如答圖，作OG⊥AE于點(diǎn)G，則AG＝CG＝eq\f(1,2)AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四邊形ODEG是矩形，∴OA＝OD＝GE＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°，在Rt△AOG中，∵OA＝2AG，∴∠AOG＝30°，∴∠BOD＝60°，則eq\o\ac(BD,\s\up10(︵))的長(zhǎng)度為eq\f(60·π·4,180)＝eq\f(4π,3).2．(2018·赤峰)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，⊙O經(jīng)過(guò)A，D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F.(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑是2cm，E是eq\o\ac(AD,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，求陰影部分的面積．(結(jié)果保留π和根號(hào))(1)證明：如答圖，連接OD，答圖∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切線．(2)解：連接OE，OE交AD于K，∵eq\o\ac(AE,\s\up10(︵))＝eq\o\ac(DE,\s\up10(︵))，∴OE⊥AD．∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE(ASA)，∴AO＝AE＝OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠AOE＝60°，∴S陰影＝S扇形OAE－S△AOE＝eq\f(60·π·22,360)－eq\f(\r(3),4)×22＝eq\f(2π,3)－eq\r(3).3．(2018·咸寧)如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O恰為△ABC的外接圓，∠ABC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，求DE的長(zhǎng)．(1)證明：如答圖，連接OD，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.答圖∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∴DE是⊙O的切線．(2)解：∵在Rt△ABC中，AB＝2eq\r(5)，BC＝eq\r(5)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，∴OD＝eq\f(5,2).∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，∴eq\f(CG,GE)＝eq\f(AB,BC)，即eq\f(2.5,GE)＝eq\f(2\r(5),\r(5))，解得GE＝eq\f(5,4)，∴DE＝DG＋GE＝eq\f(15,4).4．(2018·萊蕪)如圖，已知A，B是⊙O上兩點(diǎn)，△OAB外角的平分線交⊙O于另一點(diǎn)C，CD⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于D．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)E為eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，F(xiàn)為⊙O上一點(diǎn)，EF交AB于G，若tan∠AFE＝eq\f(3,4)，BE＝BG，EG＝3eq\r(10)，求⊙O的半徑．(1)證明：連接OC，如答圖，答圖∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．(2)解：連接OE交AB于H，如答圖，∵E為eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的中點(diǎn)，∴OE⊥AB．∵∠ABE＝∠AFE，∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝eq\f(3,4)，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝eq\f(EH,BH)＝eq\f(3,4)，∴設(shè)EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x.∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，在Rt△EHG中，x2＋(3x)2＝(3eq\r(10))2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12，設(shè)⊙O的半徑為r，則OH＝r－9，在Rt△OHB中，(r－9)2＋122＝r2，解得r＝eq\f(25,2)，即⊙O的半徑為eq\f(25,2).類(lèi)型2與圓有關(guān)的雙切線問(wèn)題1．(2018·北京)如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP，CD．(1)求證：OP⊥CD；(2)連接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的長(zhǎng)．(1)證明：如答圖，設(shè)PO與DC交于點(diǎn)Q，∵PC，PD與⊙O相切于C，D，∴PC＝PD，OP平分∠CPD，在等腰△PCD中，PC＝PD，PQ平分∠CPD，∴PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．(2)解：如答圖，連接OC，OD，答圖∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝50°，∴∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝80°.同理：∠BOC＝40°，∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°，在等腰△COD中，OC＝OD，OQ⊥CD，∴∠DOQ＝eq\f(1,2)∠COD＝30°.∵PD與⊙O相切于D，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝90°，在Rt△ODP中，∠ODP＝90°，∠POD＝30°，∴OP＝eq\f(OD,cos∠POD)＝eq\f(OA,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4,3)eq\r(3).2．(2018·黔西南)如圖，CE是⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)C，連接OB，作ED∥OB交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長(zhǎng)線與CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為1，tan∠DEO＝eq\r(2)，tan∠A＝eq\f(1,4)，求AE的長(zhǎng)．(1)證明：連接OD，如答圖，答圖∵ED∥OB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OE，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.在△DOB與△COB中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OD＝OC，,∠1＝∠2，,OB＝OB，))∴△DOB≌△COB(SAS)，∴∠ODB＝∠OCB．∵BC切⊙O于點(diǎn)C，∴∠OCB＝90°，∴∠ODB＝90°，∴AB是⊙O的切線．(2)解：∵∠DEO＝∠2.∴tan∠DEO＝tan∠2＝eq\r(2).∵⊙O的半徑為1，∴OC＝1，∴BC＝eq\r(2).∵tan∠A＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,4)，∴AC＝4BC＝4eq\r(2)，∴AE＝AC－CE＝4eq\r(2)－2.3．(2018·武漢)如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB，PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PA＝PB．(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)若∠APC＝3∠BPC，求eq\f(PE,CE)的值．(1)證明：如答圖，連接OP，OB．答圖∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°.在△PAO和△PBO中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝PB，,PO＝PO，,OA＝OB，))∴△PAO≌△PBO(SSS)．∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切線．(2)解：設(shè)OP交AB于K.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．∵PA，PB都是⊙O的切線，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.∵OA＝OB，∴OP垂直平分線段AB，∴OK∥BC．∵AO＝OC，∴AK＝BK，∴BC＝2OK，設(shè)OK＝a，則BC＝2a.∵∠APC＝3∠BPC，∠APO＝∠OPB，∴∠OPC＝∠BPC＝∠PCB，∴BC＝PB＝PA＝2a.∵△PAK∽△POA，∴PA2＝PK·PO，設(shè)PK＝x，則有x2＋ax－4a2＝0，解得x＝eq\f(\r(17)－1,2)a(負(fù)根舍去)，∴PK＝eq\f(\r(17)－1,2)a.∵PK∥BC，∴eq\f(PE,EC)＝eq\f(PK,BC)＝eq\f(\r(17)－1,4).4．(2018·襄陽(yáng))如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是⊙O的兩條切線，E為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線DC分別交AM，BN于點(diǎn)D，C，且CB＝CE.(1)求證：DA＝DE；(2)若AB＝6，CD＝4eq\r(3)，求圖中陰影部分的面積．(1)證明：如答圖，連接OE，OC，BE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC．∵BC為⊙O的切線，∴∠OEC＝∠OBC＝90°.∵OE為⊙O的半徑，∴CD為⊙O的切線．∵AD切⊙O于點(diǎn)A，∴DA＝DE.(2)解：如答圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形ABFD是矩形，答圖∴AD＝BF，DF＝AB＝6，∴DC＝BC＋AD＝4eq\r(3).∵FC＝eq\r(DC2－DF2)＝2eq\r(3)，∴BC＋AD＝BF＋FC＋AD＝AD＋FC＋AD＝2AD＋2eq\r(3)＝4eq\r(3)，∴AD＝eq\r(3)，∴BC＝BF＋FC＝AD＋FC＝eq\r(3)＋2eq\r(3)＝3eq\r(3)，在Rt△OBC中，tan∠BOC＝eq\f(BC,BO)＝eq\f(3\r(3),3)＝eq\r(3)，∴∠BOC＝60°，在△OEC和△OBC中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OE＝OB，,OC＝OC，,CE＝CB，))∴△OEC≌△OBC(SSS)，∴∠BOE＝2∠BOC＝120°，∴S陰影＝S四邊形BCEO－S扇形OBE＝2×eq\f(1,2)BC·OB－eq\f(120·π·OB2,360)＝9eq\r(3)－3π.5．(2018·新疆)如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)B．連接PB，AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.(1)求證：PB是⊙O的切線；(2)若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．(1)證明：如答圖，連接OB．答圖∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝PB，,AO＝BO，,PO＝PO，))∴△PAO≌△PBO(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∴PB是⊙O的切線．(2)解：連接BD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°.∵∠ACO＝90°，∴BD∥PO，且BD＝2OC＝6，在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝5，在Rt△ACO和Rt△PAO中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠AOP＝∠AOC，,∠PAO＝∠ACO，))∴△ACO∽△PAO，∴eq\f(AO,CO)＝eq\f(PO,AO)，eq\f(AC,PA)＝eq\f(CO,AO)，∴PO＝eq\f(25,3)，PA＝eq\f(20,3)，∴PB＝PA＝eq\f(20,3)，在△EPO與△EBD中，∵BD∥PO，∴△EPO∽△EBD，∴eq\f(BD,PO)＝eq\f(EB,EP)，解得EB＝eq\f(120,7)，PE＝eq\f(500,21)，∴sinE＝eq\f(PA,EP)＝eq\f(7,25).類(lèi)型3與圓有關(guān)的弦切角問(wèn)題1．(2018·金華)如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連接AD．已知∠CAD＝∠B．(1)求證：AD是⊙O的切線．(2)若BC＝8，tanB＝eq\f(1,2)，求⊙O的半徑．(1)證明：如答圖，連接OD，答圖∵OB＝OD，∴∠3＝∠B．∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.∵在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，∴OD⊥AD，∴AD是⊙O的切線．(2)解：設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝4，根據(jù)勾股定理得AB＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，∴OA＝4eq\r(5)－r.在Rt△ACD中，∵tan∠1＝tanB＝eq\f(1,2)，∴CD＝AC·tan∠1＝2，根據(jù)勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4eq\r(5)－r)2＝r2＋20，解得r＝eq\f(3\r(5),2).即⊙O的半徑為eq\f(3\r(5),2).2．(2018·玉林)如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，∠DAC＝∠B．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝eq\f(1,2)，⊙O的半徑是4，求EC的長(zhǎng)．(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠B