2013年高考數(shù)學(xué)(理)二輪復(fù)習(xí)專題一集合與常用邏輯用語、函數(shù)與到導(dǎo)數(shù)、不等式(帶解析)

本專題包括：集合與常用邏輯用語、函數(shù)的圖像與性質(zhì)、基本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用、不等式、導(dǎo)數(shù)五部分內(nèi)容．該部分的復(fù)習(xí)要突出“一心”、“一性”，即圍繞函數(shù)這個中心，抓住導(dǎo)數(shù)的工具性，以函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等幾個方面圍繞它們的定義、運算、性質(zhì)、圖像和應(yīng)用展開復(fù)習(xí)．

定義是學(xué)好集合與常用邏輯用語的關(guān)鍵，必須準(zhǔn)確掌握各個基本概念，把握定義的實質(zhì)和各個概念之間的關(guān)系．

定義是函數(shù)的基礎(chǔ)，性質(zhì)是函數(shù)的核心，要準(zhǔn)確把握函數(shù)的三要素，牢固樹立定義優(yōu)先原則，熟練記憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的定義、形式、圖像和性質(zhì)．

不等式的性質(zhì)是不等式的核心，是不等式的求解與證明、利用基本不等式求解最值問題的重要依據(jù)．解不等式時要注意不等式的等價變形，而利用基本不等式求最值應(yīng)構(gòu)造“定積求和”或“定和求積”的形式，從而求得最值，而解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是正確做出可行

域．

導(dǎo)數(shù)的工具性是解決函數(shù)綜合問題的金鑰匙，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題，首先熟練把握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及求導(dǎo)法則，再利用導(dǎo)數(shù)可判定一些函數(shù)的單調(diào)性，以及求函數(shù)的極值和最值，從而充分體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性．

第一節(jié)集合與常用邏輯用語

1．熟記三個概念

(1)集合中的元素具有三個性質(zhì)：無序性、確定性和互異性．元素與集合之間的關(guān)系是屬于和不屬于．

(2)四種命題是指對“若p，則q”形式的命題而言的，把這個命題作為原命題，則其逆命題是“若q，則p”，否命題是“若綈p，則綈q”，逆否命題是“若綈q，則綈p”，其中原命題和逆否命題、逆命題和否命題是等價的，而且命題之間的關(guān)系是相互的．

(3)充要條件：若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p，q互為充要條件．

2．活用四個公式與結(jié)論

(1)運算性質(zhì)及重要結(jié)論：

①A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.

②A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.

③A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U.

④A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.

(2)命題p∨q的否定是綈p∧綈q；命題p∧q的否定是綈p∨綈q.

(3)含有一個量詞的命題的否定：“?x∈M，p(x)”的否定為“?x0∈M，綈p(x0)”；“?x0∈M，p(x0)”的否定為“?x∈M，綈p(x)”．

(4)“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“真假相反”．

3．正確區(qū)分幾個易誤

(1)認(rèn)清集合元素的屬性及元素所代表的意義．

(2)區(qū)分命題的否定和否命題的不同，否命題是對命題的條件和結(jié)論都否定，而命題的否定僅對命題的結(jié)論否定．

(3)“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出

A.

[考情分析]集合的基本概念、集合間的包含關(guān)系與運算是高考考查的熱點，幾乎每套試卷都會出現(xiàn)此類題型，一般以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，多屬容易題，考查集合中元素的特征、集合的子集、集合的交集、并集、補(bǔ)集運算，該類問題出題背景廣泛，常與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識交匯命題．

[例1](2012·廣東九校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，

B＝{y|y＝f(x)}，則圖中陰影部分表示的集合為()

A．[－1,0]B．(－1,0)

C．(－∞，－1)∪[0,1)D．(－∞，－1]∪(0,1)

[思路點撥]首先明確集合A、B中的元素屬性，再確定陰影部分如何用集合表示．

[解析]因為A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}，則u＝1－x2∈(0,1]，

所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，

故圖中陰影部分表示的集合為(－∞，－1]∪(0,1)．

[答案]D

[類題通法]

解答集合問題的思路：先正確理解各個集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性；再依據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對集合進(jìn)行化簡求解，一般的規(guī)律為：

(1)若給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解；

(2)若給定的集合是點集，用數(shù)形結(jié)合法求解；

(3)若給定的集合是抽象集合，用Venn圖求解．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

1．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1?A，則實數(shù)a的取值范圍是()

A．(－∞，1]B．[1，＋∞)

C．[0，＋∞)D．(－∞，1)

解析：選A本題逆向運用元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，抓住1?A作為解題的突破口，1?A即1不滿足集合A中不等式，所以12－2×1＋a≤0?a≤1.2.設(shè)全集U＝R，集合P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合Q＝{y|yx}，則右圖中的陰影部分表示的集合為()

A．{x|－1<x≤0，x∈R}B．{x|－1<x<0，x∈R}

C．{x|x<0，x∈R}D．{x|x>－1，x∈R}

解析：選B由1＋

x>0

得x>－1，即P＝{x|x>－1}；Q＝{y|y≥0}，因此結(jié)合題意得，

題中的陰影部分表示的集合是P∩(?RQ)＝{x|－1<x<0，x∈R}．

13．(2012·重慶高考)設(shè)平面點集A＝{(x，y)|(y－x)(y－x，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，

則A∩B所表示的平面圖形的面積為()

334πB.5

4πC.7D.2解析：選DA∩B表示的平面圖形為圖中陰影部分，由對稱性可知，

S1＝S2，S3＝S4.因此A∩B所表示的平面圖形的面積是圓面積的一半，

π即為2.

[高考對本部分內(nèi)容的考查主要是全稱命題、特稱命

題的否定和含邏輯連結(jié)詞的命題的真假判斷，題型以選擇、填空題為主．預(yù)計今后的高考仍以基本概念和方法為考查對象，重點考查全稱命題、特稱命題的否定，命題真假的判斷．

[例2]給出下列四個命題：

①命題“若α＝β，則cosα＝cosβ”的逆否命題；

②“?x0∈R，使得x20－x0>0”的否定是：“?x∈R，均有x2－x<0”；

③命題“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要條件；

④p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q為真命題．

其中真命題的序號是________．(填寫所有真命題的序號)

[思路點撥]①由于原命題與逆否命題等價，故判斷原命題的真假即可；②利用全(特)稱命題的定義進(jìn)行判斷；③由x2＝4?x＝2或x＝－2，則可判定命題的真假；④根據(jù)真值表判定．

[解析]對①，因命題“若a＝β，則cosα＝cosβ”為真命題，所以其逆否命題亦為真命題，①正確；對②，命題“?x0∈R，使得x20－x0>0”的否定應(yīng)是：“?x∈R，均有x2－x≤0”，故②錯；對③，因由“x2＝4”得x＝±2，所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分條件，故③錯；對④，p，q均為真命題，由真值表判定p且q為真命題，故④正確．

[答案]①④

[類題通法]

命題真假的判定方法

(1)一般命題p的真假由涉及到的相關(guān)知識辨別；

(2)四種命題的真假的判斷根據(jù)：一個命題和它的逆否命題同真假，而與它的其他兩個命題的真假無此規(guī)律；

(3)形如p∨q，p∧q，綈p命題的真假根據(jù)真值表判定；

(4)全稱命題與特稱命題的真假的判定：①要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x，驗證p(x)成立．如果在集合中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題．②要判斷一個特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，至少找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可．否則，這一特稱命題就是假命題．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

π4．(2012·

山東高考)設(shè)命題p：函數(shù)y＝sin2x的最小正周期為2q：函數(shù)y＝cosx的圖

π像關(guān)于直線x＝2對稱．則下列判斷正確的是()

A．p為真B．綈q為假

C．p∧q為假D．p∨q為真

解析：選C命題p，q均為假命題，故p∧q為假命題．

5．給出下列命題：

①?x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；

②若log2x＋logx2≥2，則x>1；

cc③“若a>b>0且c<0，則ab的逆否命題；

④若p且q為假命題，則p，q均為假命題．

其中真命題是()

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

1解析：選A①中不等式可表示為(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可變?yōu)閘og2x＋log2x，

11得x>1；③中由a>b>0，得ab，而c<0，所以原命題是真命題，則它的逆否命題也為真；④

由p且q為假只能得出p，q中至少有一個為假，④不正確．

6．(2012·安徽名校模擬)命題“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．

解析：“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”為假命題，則“?x∈R,2x2－3ax＋9≥0”為真命題，因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－222.

答案：[－22，22]

[考情分析]充分條件、必要條件、充要條件一直是高考命題的熱點，該類問題出題的背景選擇面廣，易形成知識交匯題，命題多為選擇題或填空題，難度為中低檔．

[例3](2012·安徽高考)設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

[思路點撥]利用面面垂直的性質(zhì)定理及空間直線的位置關(guān)系判定．

[解析]當(dāng)α⊥β時，由于α∩β＝m，b?β，b⊥m，由面面垂直的性質(zhì)定理知，b⊥α.又∵a?α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分條件．

而當(dāng)a?α且a∥m時，∵b⊥m，∴b⊥a.而此時平面α與平面β不一定垂直，∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要條件．

[答案]A

[類題通法]

對充分、必要條件的判斷要注意以下幾點

(1)要善于舉出反例：如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進(jìn)行時，可以通過舉出恰當(dāng)?shù)姆蠢齺碚f明．

(2)要注意轉(zhuǎn)化：如果p是q的充分不必要條件，那么綈p是綈q的必要不充分條件．同理，如果p是q的必要不充分條件，那么綈p是綈q的充分不必要條件；如果p是q的充要條件，那么綈p是綈q的充要條件．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

7．(2012·威海質(zhì)檢)設(shè)集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，則“p＝3”是“A∩B＝B”的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

解析：選C因為p＝3時，A∩B＝B；又若A∩B＝B，則p＝3.

8．(2012·徐州檢測)已知：p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)·(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．

解析：∵p：－2≤x－3≤2,1≤x≤5.

∴綈p：x<1或x>5.

易得q：m－1≤x≤m＋1，∴綈q：x<m－1或x>m＋1.

又∵綈p是綈q的充分不必要條件，

m－1≥1，∴∴2≤m≤4.m＋1≤5，

答案：[2,4]

9．(2012·重慶高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的()

A．既不充分也不必要的條件

B．充分而不必要的條件

C．必要而不充分的條件

D．充要條件

解析：選D①∵f(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱．

∵f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，∴f(x)為[－1,0]上的減函數(shù)．

又∵f(x)的周期為2，∴f(x)為區(qū)間[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的減函數(shù)．

②∵f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，且f(x)的周期為2，

∴f(x)為[－1,0]上的減函數(shù)．

又∵f(x)在R上是偶函數(shù)，∴f(x)為[0,1]上的增函數(shù)．

由①②知“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件．

探究新定義下的集合問題

以集合為背景的新定義問題，歷來是高考進(jìn)行創(chuàng)新命題的一個考點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生理解問題、解決問題的能力．

[典例](2012·深圳調(diào)研)設(shè)S是實數(shù)集R的非空子集，如果?a，b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，則稱S是一個“和諧集”．下面命題中假命題是()

A．存在有限集S，S是一個“和諧集”

B．對任意無理數(shù)a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和諧集”

C．若S1≠S2，且S1，S2均是“和諧集”，則S1∩S2≠?

D．對任意兩個“和諧集”S1，S2，若S1≠R，S2≠R，則S1∪S2＝R

[思路點撥]利用定義一一判斷即可．

[解析]對于A，如S＝{0}，顯然該集合滿足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正確；對于B，設(shè)任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，則存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，

x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)·a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此對任意無理數(shù)a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和諧集”，B正確；對于C，依題意，當(dāng)S1，S2均是“和諧集”時，若a∈S1，則有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此時S1∩S2≠?，C正確；對于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x2k，k∈Z}≠R，易知集合S1，S2均是“和諧集”，此時S1∪S2≠R，D不正確．

[答案]D

[名師支招]

求解集合中的新定義問題，主要抓兩點：①緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；②用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．

[高考預(yù)測]

m＋n對于任意的兩個正數(shù)m，n，定義運算⊙：當(dāng)m，n都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，m⊙n＝2；

當(dāng)m，n為一奇一偶時，

m⊙n＝mn，設(shè)集合A＝{(a，b)|a⊙b＝6，a，b∈N*}，則集合A中的元素個數(shù)為________．

a＋b解析：(1)當(dāng)a，b都為偶數(shù)或都為奇數(shù)時，2＝6?a＋b＝12，由2＋10＝4＋8＝6＋6＝1

＋11＝3＋9＝5＋7＝12，知符合題意的點(a，b)有2×5＋1＝11個；

(2)當(dāng)a，bab＝6?ab＝36，由1×36＝3×12＝4×9＝36，知符合題意的點(a，b)有2×3＝6個．

綜合(1)(2)，集合A中的元素個數(shù)為17個．

答案：17

[配套課時作業(yè)]

(A)

1．(2012·江西高考)若全集U＝{x∈R|x2≤4}，則集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的補(bǔ)集?UA為()

A.{x∈R|0<x<2}B.{x∈R|0≤x<2}

C.{x∈R|0<x≤2}D.{x∈R|0≤x≤2}

解析：選C因為U＝{x∈R|x2≤4}＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|x＋1|≤1}＝{x∈R|－2≤x≤0}．借助數(shù)軸易得?UA＝{x∈R|0<x≤2}．

2．(2012·江西高考)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個數(shù)為()

A．5B．4

C．3D．2

解析：選C當(dāng)x＝－1，y＝0時，z＝－1；當(dāng)x＝－1，y＝2時，z＝1；當(dāng)x＝1，y＝0時，z＝1；當(dāng)x＝1，y＝2時，z＝3.故z的值為－1,1,3，故所求集合為{－1,1,3}，共3個元素．

3．(2012·湖北高考)命題“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是()

A．任意一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

B．任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

C．存在一個有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)

D．存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)

解析：選B“存在一個無理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是“任意一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”．

4．(2012·福建高考)下列命題中，真命題是()

A．?x0∈R，ex0≤0

B．?x∈R,2x＞x2

aC．a(chǎn)＋b＝0b＝－1

D．a(chǎn)＞1，b＞1是ab＞1的充分條件

解析：選D因為?x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，則22＝22，故排除B；a＋b＝0，取

aa＝b＝0，則不能推出b＝－1，故排除C.

5．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，則m⊥n的充要條件是()

A．t＋k＝1B．t－k＝1

C．t·k＝1D．t－k＝0

解析：選D∵a＝(2,1)，b＝(－1,2)，∴a·b＝0，|a|＝|b|5，∴m⊥n?m·n＝0?(ta＋b)·(a－kb)＝0?ta2－kta·b＋a·b－kb2＝0?5t－5k＝0，即t－k＝0.

6．(2012·濰坊模擬)命題“?x∈[1,2]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件是()

A．a(chǎn)≥4B．a(chǎn)≤4

C．a(chǎn)≥5D．a(chǎn)≤5

解析：選C命題“?x∈[1,2]，x2－a≤0”為真命題的充要條件是a≥4.故其充分不必要條件是集合[4，＋∞)的真子集．

7．下列命題中假命題是()

A．命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆命題

B．“兩非零向量a，b的夾角為鈍角”的充要條件是“a·b<0”

C．若p∨q為假命題，則p，q均為假命題

D．命題“若x∈R，則x2＋x＋1<0”的否定

解析：選B命題“若x2－3x＋2＝0，則x＝1”的逆命題為：“若x＝1，則x2－3x＋2＝0”，是真命題；若兩非零向量a，b的夾角為鈍角，則a·b<0，反之，若a·b<0，則兩非零向量a，b的夾角為鈍角或兩向量反向，即得“兩非零向量a，b的夾角為鈍角”的必要不充分條件是“a·b<0”，即命題B是假命題；命題C顯然正確；命題D為假命題，其否定為真命題．

8．(2012·山東高考)設(shè)a>0且a≠1，則“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

解析：選A若函數(shù)f(x)＝ax在R上為減函數(shù)，則有0<a<1；若函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上為增函數(shù)，則有2－a>0，即a<2，所以“函數(shù)f(x)＝ax在R上是減函數(shù)”是“函數(shù)g(x)＝(2－a)x3在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件．

9．如圖所示程序框圖，已知集合A＝{x|x是程序框圖中輸出的值}，集合B＝{y|y是程序框圖中輸出的值}，全集U＝Z，Z為整數(shù)集．當(dāng)x＝－1時，(?UA)∩B等于()

A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}

C．{－3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}

解析：選D根據(jù)程序框圖所表示的算法，框圖中輸出的x值依次為0,1,2,3,4,5,6；y值依次為－3，－1,1,3,5,7,9.于是A＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}，因此(?UA)∩B＝{－3，－1,7,9}．

10．定義差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}，現(xiàn)有三個集合A、B、C分別用圓表示，則集合C－(A－B)可表示下列圖中陰影部分的為(

)

解析：選A如圖所示，A－B表示圖中陰影部分．故C－(A－B)所含元素屬于C，但不屬于圖中陰影部分．

k011．命題“?k0∈R，函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增”的否定是________．

解析：特稱命題的否定是全稱命題．

k答案：?k∈R，函數(shù)y＝x(0，＋∞)上非單調(diào)遞增

12．設(shè)集合A＝{5，log2(a＋3)}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，則A∪B＝________.

解析：由題意，log2(a＋3)＝2，得a＝1，

所以b＝2，從而A∪B＝{1,2,5}．

答案：{1,2,5}

213．已知R是實數(shù)集，M＝{x|x，N＝{y|y＝x－1＋1}，則N∩(?RM)＝________.

2解析：M＝{x|x＝{x|x<0或x>2}，

N＝{y|yx－1＋1}＝{y|y≥1}，

?RM＝{x|0≤x≤2}，

∴N∩(?RM)＝{x|1≤x≤2}＝[1,2]．

答案：[1,2]

14．下面有四個關(guān)于充要條件的命題：①向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ使得b＝λa；②函數(shù)y＝x2＋bx＋c為偶函數(shù)的充要條件是b＝0；③兩個事件為互

2x斥事件是這兩個事件為對立事件的充要條件；④若p：<1，q：(x＋1)(x－m)(x－3)>0，x－1

若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是m≥1.其中，真命題的編號是________(寫出所有真命題的編號)．

解析：由共線向量定理，知命題①為真；函數(shù)y＝x2＋bx＋c為偶函數(shù)的充要條件是對

b稱軸為y軸，即－20，b＝0，因此②為真；對立事件是互斥事件的特殊情形，所以③為假；

在④中，命題p對應(yīng)集合A＝{x|－1<x<1}，

當(dāng)m>3時，q對應(yīng)集合B＝{x|－1<x<3或x>m}，有AB，符合p是q的充分不必要條件；當(dāng)m＝3時，q對應(yīng)集合B＝{x|x>－1且x≠3}．AB符合題意；

當(dāng)－1<m<3時，q對應(yīng)集合B＝{x|－1<x<m或x>3}，若p是q的充分不必要條件，那么m≥1；當(dāng)m≤－1時，不符合題意．

綜上，可得m的取值范圍是m≥1，④為真．

答案：①②④

(B)

1．(2012·山東高考調(diào)研卷)已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)?(A∩B)，則實數(shù)a＝()

A．0B．1

C．2D．3

解析：選B由(A∪B)?(A∩B)易得A∪B＝A∩B，則A＝B，∴a＝1.

2．(2012·遼寧高考)已知命題p：?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，則綈p是()

A．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

B．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0

C．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0

D．?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0

解析：選C命題p的否定為“?x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0”．

13．(2011·陜西高考)設(shè)集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－i|＜2，i為虛數(shù)

單位，x∈R}，則M∩N為()

A．(0,1)B．(0,1]

C．[0,1)D．[0,1]

解析：選C對于集合M，函數(shù)y＝|cos2x|，其值域為[0,1]，所以M＝[0,1]．根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算方法得不等式x2＋1＜2，即x2＜1，所以N＝(－1,1)，則M∩N＝[0,1)．

4．已知a，b是非零向量，則a與b不共線是|a＋b|<|a|＋|b|的()

A．充分非必要條件B．必要非充分條件

C．充分必要條件D．既非充分也非必要條件

解析：選A若a與b不共線，則|a＋b|<|a|＋|b|成立，反之，若|a＋b|<|a|＋|b|，則a與b可能不共線也可能反向共線．

x5.設(shè)全集U＝R，集合A＝{x∈Z|，B＝{x∈Z|x2≤9}，則圖中陰3－x

影部分表示的集合為()

A．{1,2}B．

{0,1,2}

C．{x|0≤x<3}D．{x|0≤x≤3}

x解析：選B圖中陰影表示的是A∩B，化簡集合：A＝{x∈Z|＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，x－3

B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．

x6．設(shè)A：，B：0<x<m，若B是A成立的必要不充分條件，則m的取值范圍是()x－1

A．(－∞，1)B．(－∞，1]

C．[1，＋∞)D．(1，＋∞)

x解析：選D<0?0<x<1.由已知得，(0,1)(0，m)．x－1

所以m>1.

7．(2012·安慶模擬)下列命題中錯誤的是()

A．命題“若x2－5x＋6＝0，則x＝2”的逆否命題是“若x≠2，則x2－5x＋6≠0”

B．若x，y∈R，則“x＝y(tǒng)”是“xy≥x＋y2成立”的充要條件2

C．已知命題p和q，若p∨q為假命題，則命題p與q中必一真一假

D．若命題p：?x∈R，使得x2＋1<0，則綈p：?x∈R，x2＋1≥0

解析：選C易知選項A，B，D都正確；選項C中，若p∨q為假命題，根據(jù)真值表，可知p，q必都為假．

8．已知命題p：“?x∈[1,3]，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題“p且q”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是()

A．{a|a≤－2或a＝1}B．{a|a≥1}

C．{a|a≤－2或1≤a≤2}D．{a|－2≤a≤1}

解析：選A命題p成立，則a≤x2對x∈[1,3]恒成立．

當(dāng)x∈[1,3]時，1≤x2≤9.所以a≤1，

命題q成立，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有實根，

則Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2，

所以當(dāng)a＝1或a≤－2時，命題“p且q”是真命題．

9．(2012·河南省三市調(diào)研)設(shè)U為全集，對集合X，Y，定義運算“*”，X*Y＝?U(X∩Y)．對于任意集合X，Y，Z，則(X*Y)*Z＝()

A．(X∪Y)∩?UZB．(X∩Y)∪?UZ

C．(?UX∪?UY)∩ZD．(?UX∩?UY)∪Z

解析：選B依題意得(X*Y)＝?U(X∩Y)，

(X*Y)*Z＝?U[(X*Y)∩Z]＝?U[?U(X∩Y)∩Z]

＝{?U[?U(X∩Y)]}∪(?UZ)＝(X∩Y)∪(?UZ)．

10．(2012·浙江高考)設(shè)a>0，b>0，e是自然對數(shù)的底數(shù)()

A．若ea＋2a＝eb＋3b，則a>b

B．若ea＋2a＝eb＋3b，則a<b

C．若ea－2a＝eb－3b，則a>b

D．若ea－2a＝eb－3b，則a<b

解析：選A∵a>0，b>0，

∴ea＋2a＝eb＋3b＝eb＋2b＋b>eb＋2b.

對于函數(shù)y＝ex＋2x(x>0)，∵y′＝ex＋2>0，

∴y＝ex＋2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因而a>b成立．

11．已知集合A＝{3，m2}，B＝{－1,3,2m－1}．若A?B，則實數(shù)m的值為________．解析：∵A?B，∴m2＝2m－1，或m2＝－1(舍)．

由m2＝2m－1得m＝1.經(jīng)檢驗m＝1時符合題意．

答案：1

12．設(shè)x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的________條件．

7解析：因為x≥2且y≥2?x2＋y2≥4，所以充分性滿足；反之不成立，例如x＝y(tǒng)＝4x2

＋y2≥4，但不滿足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件．答案：充分不必要

13．在命題p的四種形式(原命題、逆命題、否命題、逆否命題)中，正確命題的個數(shù)記為f(p)，已知命題p：“若兩條直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0平行，則a1b2－a2b1＝0”，那么f(p)＝________.

解析：由l1∥l2?a1b2－a2b1＝0，但a1b2－a2b1＝0?/l1∥l2，故原命題、逆否命題正確，逆命題和否命題錯誤．所以f(p)＝2.

答案：2

14．設(shè)命題p：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點M(sinα，cosα)與N(|a＋1|，|a－2|)(a∈R)在直線x＋y－2＝0的異側(cè)；命題q：若向量a，b滿足a·b>0，則a與b的夾角為銳角．則p或q為________命題，p且q為________命題．

解析：命題q：若向量a，b滿足a·b>0，則a與b的夾角為銳角，顯然為假，因為當(dāng)a＝b時，a·b>0，但是a與b的夾角是0；由sinα＋2得sinα＋cosα－2<0，由|a＋1|＋|a－2|＝|a＋1|＋|2－a|≥|a＋1＋2－a|＝3>2，得|a＋1|＋|a－2|－2>0，所以M、N在直線x＋y－2＝0的異側(cè)，故命題p正確，所以p或q為真命題，p且q為假命題．

答案：真假第二節(jié)函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1．熟記指數(shù)與對數(shù)式的七個運算公式

Mam·an＝am＋n；(am)n＝amn；loga(MN)＝logaM＋logaN；logaNlogaM－logaN；logaMn＝

logbNnlogaM；alogaN＝N；logaN＝logba(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．

(1)單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，且x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立，則f(x)在D上是增函數(shù)(都有f(x1)>f(x2)成立，則f(x)在D上是減函數(shù))．

(2)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，對于定義域內(nèi)的任意x(定義域關(guān)于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數(shù))．

(3)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內(nèi)的任意一個x的值：

若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則

f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期．4．辨明抽象函數(shù)的周期性與對稱性(1)函數(shù)的周期性

①若函數(shù)f(x)滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則

f(x)為周期函數(shù)，2a是它的一個周期．

②設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且圖像關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個周期．

③設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且圖像關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱，則f(x)是周期函數(shù)，4a是它的一個周期．

(2)函數(shù)圖像的對稱性

①若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖像關(guān)于直線x＝a對稱．②若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱．a(chǎn)＋b

③若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱．

[考情分析]此類問題多以選擇和填空題出現(xiàn)，其考查形式有兩種：一是以分段函數(shù)為載體，求函數(shù)值；二是求簡單函數(shù)的定義域轉(zhuǎn)化為解不等式的問題．預(yù)測2013年的高考仍會以考查基本概念為主，難度不會太大．[例1](2012·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝ax＋1，－1≤x＜0，13bx＋2其中a，b∈R.若f2＝f2，則a＋3b的值為________．

，0≤x≤1，x＋1

11[思路點撥]由函數(shù)f(x)是周期函數(shù)可推出f2＝f－2及f(－1)＝f(1)，從而得到關(guān)于a，b的方程，則可求解．

33111[解析]因為f(x)的周期為2，所以f2＝f22＝f－2，即f2＝f2.

b2211b＋41又因為f－2＝－2a＋1，f2＝13，

21

b＋41所以－2a＋1＝3.

2整理，得a＝－3(b＋1)．①

b＋2又因為f(－1)＝f(1)，所以－a＋1＝2

即b＝－2a.②

將②代入①，得a＝2，b＝－4.

所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.

[答案]－10

[類題通法]

1．求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法

(1)若已知函數(shù)的解析式，則這時函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍，只需構(gòu)建并解不等式(組)即可．

(2)實際問題或幾何問題除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)使實際問題有意義．

2．求函數(shù)值時應(yīng)注意

形如f(g(x))的函數(shù)求值時，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則；而對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解；特別地，對具有周期性的函數(shù)求值要用好其周期性．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

11．(2012·山東高考)函數(shù)f(x)＝4－x2的定義域為()lnx＋1A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]

C．[－2,2]D．(－1,2]

x＋1>0，解析：選B由lnx＋1≠0，得－1<x≤2，且x≠0.4－x2≥0，

f2x2．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)lnx的定義域是()

A．[0,1]B．[0,1)

C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)

解析：選D因為f(x)的定義域為[0,2]，所以對g(x)，0≤2x≤2且x>0，x≠1，故x∈(0,1)．

3．(2012·江南十校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在R上有定義，對于給定的正數(shù)M，定義函數(shù)fM(x)fx，fx≤M，＝則稱函數(shù)fM(x)為f(x)的“孿生函數(shù)”．若給定函數(shù)f(x)＝2－x2，M＝1，M，fx>M，

則fM(fM(0))的值為()

A．2B．1C.2D2

解析：選B由題意，令f(x)＝2－x2＝1，得x＝±1，因此當(dāng)x≤－1或x≥1時，fM(x)＝2－x2；當(dāng)－1<x<1時，fM(x)＝1，所以fM(0)＝1，fM(fM(0))＝fM(1)＝2－12＝1.

4．若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域為(－∞，2]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝________.

解析：由題意知：a≠0.f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函數(shù)，則其圖像關(guān)于y軸對稱，所以2a＋ab＝0?b＝－2.所以f(x)＝－2x2＋2a2，且值域為(－∞，2]．所以2a2＝2.

所以f(x)＝－2x2＋2.

答案：－2x2＋2

[考情分析]高考對此類問題的考查常有兩種類型，一是以抽象函數(shù)給出；二是以幾種初等函數(shù)為基礎(chǔ)結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)綜合考查．考查形式有：知圖選式，知式選圖，知圖選圖，圖像變換等．

b[例2](2012·河北唐山模擬)形如y＝(a>0，b>0)的函數(shù)，因其圖像類似于漢字中的“囧”|x|－a

字，故我們把它稱為“囧函數(shù)”．若當(dāng)a＝1，b＝1時的“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|圖像的交點個數(shù)為n，則n＝________.

[思路點撥]在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖像，即可判定交點個數(shù)．1[解析]由題易知，當(dāng)a＝1，b＝1時，y＝|x|－11－x＋1x<0

且x≠－1，1x≥0且x≠1，x－1在同一坐標(biāo)

系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)y＝lg|x|的圖像如圖所示，易知它們有4個交點．

[答案]4

[類題通法]

作圖、識圖、用圖技巧

(1)作圖：常用描點法和圖像變換法．圖像變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換．

(2)識圖：從圖像與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準(zhǔn)解析式與圖像的對應(yīng)關(guān)系．

(3)用圖：圖像形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，因此，函數(shù)性質(zhì)的確定與應(yīng)用及一些方程、不等式的求解常與圖像數(shù)形結(jié)合研究．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

15．(2012·四川高考)函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)的圖像可能是()

1解析：選D法一：當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝axa是減函數(shù)，且其圖像可視為是由函數(shù)y＝ax

1的圖像向下平移aD.

1法二：因為函數(shù)y＝ax－a(a>0，且a≠1)必過點(－1,0)，所以選D.

6．函數(shù)y＝xln(－x)與y＝xlnx的圖像關(guān)于()

A．直線y＝x對稱B．x軸對稱

C．y軸對稱D．原點對稱

解析：選D若點(m，n)在函數(shù)y＝xlnx的圖像上，則n＝mlnm，所以－n＝－mln[－(－m)]，可知點(－m，－n)在函數(shù)y＝xln(－x)的圖像上，而點(m，n)與點(－m，－n)關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)y＝xlnx與y＝xln(－x)的圖像關(guān)于原點對稱．

7.(2012·江南十校聯(lián)考)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在(0,2]上的圖像如圖所示，

則不等式f(x)>x的解集為________．

解析：依題意，畫出y＝f(x)與y＝x的圖像，如圖所示，注意到y(tǒng)＝f(x)的

2222圖像與直線y＝x的交點坐標(biāo)是33和33，不等結(jié)合圖像可知，

22式f(x)>x的解集是－2，－3∪0，3.

22－2，－0答案：3∪3

[考情分析]函數(shù)的奇偶性、周期性等問題常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，而函數(shù)的單調(diào)性和最值常出現(xiàn)在解答題中．其中函數(shù)的單調(diào)性在比較函數(shù)值的大小、求解函數(shù)的最值與值域、求解不等式方面的應(yīng)用是高考的重點．預(yù)測分段函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合仍是2013年高考的熱點．

[例3](2012·山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()

A．335B．338

C．1678D．2012

[

思路點撥

]由已知可判斷函數(shù)為周期函數(shù)，可利用周期性求值．

[解析]∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.

∵當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x，

∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2005)＋f(2006)＋…＋f(2010)＝1，

2010∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2010)＝1×6335.

而f(2011)＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＝3，

∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝335＋3＝338.

[答案]B

[類題通法]

1．判斷函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律

對于選擇、填空題若能畫出圖像一般用數(shù)形結(jié)合法；而對于由基本初等函數(shù)通過加、減運算或復(fù)合而成的函數(shù)常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)單調(diào)性的判斷問題；對于解析式為分式、指數(shù)函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式等較復(fù)雜的函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法；對于抽象函數(shù)一般用定義法．

2．函數(shù)的奇偶性

(1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱．

(2)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱．

(3)對于偶函數(shù)而言，有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

8．(2012·天津高考)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()

A．y＝cos2x，x∈R

B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0

ex－e－xC．yx∈R2

D．y＝x3＋1，x∈R

解析：選B由函數(shù)是偶函數(shù)可以排除C和D，又函數(shù)在區(qū)間(1,2)內(nèi)為增函數(shù)，而此時y＝log2|x|＝log2x為增函數(shù)．

3(x)>0，9．(2012·山西省四校聯(lián)考)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足f(3－x)＝f(x)，x－2f′若x1<x2

且x1＋x2>3，則有()

A．f(x1)>f(x2)B．f(x1)<f(x2)

C．f(x1)＝f(x2)D．不確定

333解析：選B依題意得f(x1)＝f(3－x1)，當(dāng)x>2時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)．若x1≥2則x2>x1≥2，

33f(x2)>f(x1)；若x1<2，則由x1<x2及x1＋x2>3得x2>3－x1>2f(x2)>f(3－x1)＝f(x1)．

10．(2012·浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝x

3＋1，則f2＝________.

解析：依題意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，

33111則f2＝f－2＝f2＝212

3答案：2

11．(2012·溫州適應(yīng)性測試)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的最小值是________．

解析：依題意得f(0)＝0.當(dāng)x>0時，f(x)>e0＋a＝a＋1.若函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，則有a＋1≥0，a≥－1，因此實數(shù)a的最小值是－1.

答案：－

1

破解抽象函數(shù)的五個問題

抽象函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的難點，具體表現(xiàn)在：

①求抽象函數(shù)的定義域．其方法是根據(jù)已知函數(shù)的定義域，利用代換法得到不等式(組)進(jìn)行求解．

②求抽象函數(shù)的函數(shù)值．一般用賦值法，需要結(jié)合已知條件挖掘出函數(shù)的性質(zhì)，特別是借助函數(shù)的奇偶性和周期性來轉(zhuǎn)化解答．

③判定抽象函數(shù)的奇偶性，其方法是要判斷－x對應(yīng)的函數(shù)值與x對應(yīng)的函數(shù)值之間的關(guān)系．④求抽象函數(shù)的周期，其方法仍是需要尋求f(x＋T)＝f(x)(其中T≠0)．

⑤抽象函數(shù)的單調(diào)性與不等式．高考對抽象函數(shù)單調(diào)性的考查一般利用函數(shù)單調(diào)性的定義結(jié)合已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．對于解有關(guān)抽象函數(shù)的不等式問題，常利用抽象函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為解確定的不等式(組)問題．

x1[典例]已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足fx2＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x>1時，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性；

(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.

[思路點撥]通過取特殊值求f(1)的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式．

[解](1)令x1＝x2>0，代入，得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

x1(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，則x2，

x1由于當(dāng)x>1時，f(x)<0，所以fx2<0，即f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)．

所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．

x19(3)由fx2＝f(x1)－f(x2)，得f3＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.

由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，

所以當(dāng)x>0時，由f(|x|)<－2，即f(x)<f(9)，得x>9；

當(dāng)x<0時，由f(|x|)<－2，即f(－x)<f(9)，得－x>9，故x<－9，

因此不等式的解集為{x|x>9或x<－9}．

[名師支招]

x1解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性的定義，在設(shè)出x1>x2>0后，轉(zhuǎn)為x2>1，從而判斷出f(x1)－f(x2)

的符號，對抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷要結(jié)合已知條件進(jìn)行構(gòu)造判斷．在解抽象不等式問題時，要注意尋找函數(shù)值為－2的自變量的取值，并由函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系解答，要注意在函數(shù)的定義域內(nèi)求解．

[高考預(yù)測]

1．函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像如圖所示，下列說法正確的是(

)

①函數(shù)y＝f(x)滿足f(－x)＝－f(x)；

②函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(－x)；

③函數(shù)y＝f(x)滿足f(－x)＝f(x)；

④函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)．

A．①③B．②④

C．①②D．③④

解析：選C由圖像可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且關(guān)于直線x＝1對稱；對于②，因為f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．

故①②正確，③④不正確．

2．已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________.解析：因為y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且x＝1時，y＝2，

所以當(dāng)x＝－1時，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，

得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.

答案：－1

[配套課時作業(yè)]

1．(2012·嘉興月考)如圖給出4個冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)的大致對應(yīng)是(

)

A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1

C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1

D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1

解析：選B可以根據(jù)圖像對應(yīng)尋求函數(shù)．

2．已知偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則滿足f(x＋2)<f(x)的x的取值范圍是()

A．(2，＋∞)B．(－∞，－1)

C．[－2，－1)∪(2，＋∞)D．(－1,2)

x＋2≥0，解析：選C由“偶函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)”，x＋2<|x|，即x＋2<x2，131212121312

解得－2≤x<－1或x>2.

3．(2012·西城一模)設(shè)a＝log23，b＝log43，c＝0.5，則()

A．c<b<aB．b<c<a

C．b<a<cD．c<a<b

1解析：選Aa＝log23，b＝log43＝log23，c＝22，而y＝log2x在(0，＋∞)上是增

函數(shù)，

所以a>b>c.

14．(2012·朝陽一模)已知函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝lgx，則ff100的值等于()

11lg2B．－lg2C．lg2D．－lg2

解析：選D當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝lg(－x)．

又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，

所以當(dāng)x<0時，f(x)＝－lg(－x)．

11所以f100＝1002，

1ff100＝f(－2)＝－lg2.

log2x，x≥1，5．(2012·運城質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝則“c＝－1”是“函數(shù)f(x)在R上遞增”的()x＋c，x<1，

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

解析：選A當(dāng)c＝－1時，易知f(x)在R上遞增；反之，若f(x)在R上遞增，則需有1＋c≤0，即c≤－1.所以“c＝－1”是“函數(shù)f(x)在R上遞增”的充分不必要條件．

6．(2011·山東高考)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖像在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為()

A．6B．7

C．8D．9

解析：選B由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一個周期內(nèi)，函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，在區(qū)間[0,6)上共有6個交點，當(dāng)x＝6時，也是符合要求的交點，故共有7個不同的交點．

7．(2011·浙江高考)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.

解析：由題意知，函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則f(1)＝f(－1)，故1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，所以a＝0.

答案：0

8．給出下列四個函數(shù)：

①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x2；④y＝x.

x1＋x2>fx1＋fx2________．當(dāng)0<x1<x2<1時，使f22

解析：由題意知滿足條件的圖像形狀為：

故符合圖像形狀的函數(shù)為y＝log2x，y＝x.

答案：②④

9．(2012·淮南調(diào)研)已知a是正實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，比較大?。篺(m＋

2)________1.(用“<”或“＝”或“>”連接)

解析：根據(jù)已知條件畫出f(x)圖像如圖所示．

因為對稱軸方程為x＝－1，所以(0,0)關(guān)于x＝－1的對稱點為(－2,0)．

因f(m)<0，

所以應(yīng)有－2<m<0，m＋2>0.

因f(x)在(－1，＋∞)上遞增，

所以f(m＋2)>f(0)＝1.

答案：>

110．已知函數(shù)f(x)的圖像與函數(shù)h(x)＝x＋x＋2的圖像關(guān)于點A(0,1)對稱．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在區(qū)間[0,2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

解：(1)設(shè)f(x)圖像上任意一點坐標(biāo)為B(x，y)，其關(guān)于A(0,1)的對稱點B′(x′，y′)，

x′＋x20，

則y＋y′21，＝－x，x′∴y′＝2－y.

1∵B′(x′，y′)在h(x)上，∴y′＝x′＋x′＋2.

1∴2－y＝－x－x2，

11∴y＝x＋x，即f(x)＝x＋x.

(2)g(x)＝x2＋ax＋1，

a∵g(x)在[0,2]2，即a≤－4.

∴a的取值范圍為(－∞，－4]．

11．已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x(x∈R且e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性；

(2)是否存在實數(shù)t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切實數(shù)x都成立？若存在，求出t；若不存在，請說明理由．

1解：(1)因為f(x)＝ex－ex，且y＝ex是增函數(shù)，

1y＝－ex是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)．

由于f(x)的定義域為R，

且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)．

(2)由(1)知f(x)是增函數(shù)和奇函數(shù)，

所以f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切x∈R恒成立

?f(x2－t2)≥f(t－x)對一切x∈R恒成立

?x2－t2≥t－x對一切x∈R恒成立

?t2＋t≤x2＋x對一切x∈R恒成立

11min?t＋22≤x＋22

11?t＋22≤0?t2

1即存在實數(shù)t＝－2f(x－t)＋f(x2－t2)≥0對一切實數(shù)x都成立．

12．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)．

(1)求f(2012)的值，

(2)求證：函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，

(3)若f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，試比較f(－25)，f(11)，f(80)的大?。?/p>

解：(1)因為f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x)＝－f(x－4)＝－{－f[(x－4)－4]}＝

f(x－8)，

知函數(shù)f(x)的周期為T＝8，

所以f(2012)＝f(251×8＋4)＝f(4)＝－f(0)．

又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)

所以f(0)＝0，故f(2012)＝0.

(2)因為f(x)＝－f(x－4)，

所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，

知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱．

(3)由(1)知f(x)為以8為周期的周期函數(shù)，

所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，

f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，

f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．

又f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，且f(x)在R上為奇函數(shù)，所以f(x)在[－2,2]上為增函數(shù)，則有f(－

1)<f(0)<f(1)．

即f(－25)<f(80)<f(11)．第三節(jié)函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用

1．確定函數(shù)零點的三種常用方法

(1)解方程判定法．若方程易解時用此法．

(2)零點定理法．根據(jù)連續(xù)函數(shù)y＝f(x)滿足f(a)f(b)<0，判斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點．

(3)數(shù)形結(jié)合法．尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同時多用此法求解．

2．解函數(shù)應(yīng)用題的四步曲

(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；

(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；

(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；

(4)實際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實際問題作出解答．

[考情分析]高考對本部分內(nèi)容的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，考查求函數(shù)零點的存在區(qū)間、確定零點的個數(shù)以及兩函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)或確定有幾個交點．

[例1](2012·湖南高考)設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′(x)是f(x)

ππx－的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x∈[0，π]時，0<f(x)<1；當(dāng)x∈(0，π)且x≠2(x)>0.則函數(shù)y＝f(x)2f′

－sinx在[－2π，2π]上的零點個數(shù)為()

A．2B．4

C．5D．8

[思路點撥]將y＝f(x)－sinx零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為y1＝f(x)與y2＝sinx圖像的交點個數(shù)．

π(x)>0，[解析]∵x－2f′

π當(dāng)2時，f′(x)>0，

π∴f(x)在2，π上是增函數(shù)．

π當(dāng)0<x<2f′(x)<0，

π0，∴f(x)在2上是減函數(shù)．

設(shè)π≤x≤2π，則0≤2π－x≤π.由f(x)是以2π為最小正周期的偶函數(shù)知f(2π－x)＝f(x)．故π≤x≤2π時，0<f(x)<1.

依題意作出草圖可知，y1＝f(x)與y2＝sinx在[－2π，2π]上有4個交點．

[答案]B

[類題通法]

(1)解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定和數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解．

(2)函數(shù)零點(即方程的根)的應(yīng)用問題，即已知函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，解決該類問題關(guān)鍵是用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

2x－1，x≤1，1．(2012·山東高考調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點為()1＋log2x，x>1，

12，0B．－2,0

1C.2D．0

解析：選D當(dāng)x≤1時，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)x>1時，由f(x)＝1＋log2x＝0，

1解得x2

又因為x>1，所以此時方程無解．

綜上，函數(shù)f(x)的零點只有0.

2．(2012·唐山統(tǒng)考)設(shè)f(x)＝ex＋x－4，則函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間()

A．(－1,0)B．(0,1)

C．(1,2)D．(2,3)

解析：選C∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，

∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．又f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，

f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，故f(1)f(2)<0.

23．(2012·朝陽期末)函數(shù)f(x)＝2x－x－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是

()

A．(1,3)

C．(0,3)B．(1,2)D．(0,2)

2解析：選C因為f′(x)＝2xln2x2，所以f(x)是增函數(shù)，由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2

－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3.

[考情分析]此類問題命題以函數(shù)的圖像與性質(zhì)為背景創(chuàng)設(shè)新情景，通常從定義的新運算、新概念或新性質(zhì)入手，考查函數(shù)的圖像與單調(diào)性、最值(值域)以及零點等函數(shù)性質(zhì)，常與方程、不等式問題結(jié)合．今后對新定義函數(shù)的考查是高考的一大熱點．

[例2](2012·武漢適應(yīng)性訓(xùn)練)定義在R上的函數(shù)f(x)，如果存在函數(shù)g(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù))，使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立，則稱g(x)為函數(shù)f(x)的一個承托函數(shù)．

現(xiàn)有如下函數(shù)：

lgx，x>0，①f(x)＝x3；②f(x)＝2－x；③f(x)＝④f(x)＝x＋sinx.0，x≤0；

則存在承托函數(shù)的f(x)的序號為________．(填入滿足題意的所有序號)

[思路點撥]利用承托函數(shù)的定義，一一分析即可．

[解析]對于①，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像分析可知，不存在函數(shù)g(x)使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立，即f(x)不存在承托函數(shù)；對于②，注意到f(x)＝2－x>0，因此存在函數(shù)g(x)＝0，使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立，f(x)存在承托函數(shù)；對于③，結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像分析可知，不存在函數(shù)g(x)使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立，即f(x)不存在承托函數(shù)；對于④，注意到f(x)＝x＋sinx≥x－1，因此存在函數(shù)g(x)＝x－1，使得f(x)≥g(x)對一切實數(shù)x都成立，f(x)存在承托函數(shù)．綜上所述，存在承托函數(shù)的f(x)的序號為②④.

[答案]②④

[類題通法]

解決與函數(shù)有關(guān)的新信息題的思路：

第一步準(zhǔn)確理解新的運算、概念或性質(zhì)．

第二步根據(jù)新的定義，類比與函數(shù)有關(guān)的運算、性質(zhì)等將其轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題．第三步利用函數(shù)的相關(guān)知識求解問題．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

aa≥b，4．定義一種運算：a?b＝已知函數(shù)f(x)＝2x?(3－x)，那么函數(shù)y＝f(x＋1)的大致ba<b，

圖像是(

)

2x，x≥1，解析：選B由題意得函數(shù)f(x)＝所以函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示，函數(shù)f(x3－x，x＜1，

＋1)的圖像可由函數(shù)f(x)的圖像向左平移1個單位得到．

5．(2012·東城綜合測試)函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如：函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．

給出下列命題：

①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；

②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)；

③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；

④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．

其中的真命題是________．(寫出所有真命題的編號)

解析：根據(jù)單函數(shù)的定義，可判斷命題②、④是真命題，①是假命題；根據(jù)一個命題與其逆否命題等價可知，命題③是真命題．

答案：②③④

[考情分析]該類試題以實際生活為背景，通過巧妙設(shè)計和整合命制考題，試題常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)、解析幾何、空間幾何體等知識交匯．預(yù)測2013年的高考以求函數(shù)的最值為熱點．

[例3](2011·山東高考)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器

80π的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為3立方米，且l≥2r.

假

設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元．設(shè)該容器的建造費用為y千元．

(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

(2)求該容器的建造費用最小時的r.

[思路點撥](1)先找到l和r的關(guān)系，再根據(jù)問題情景，列出函數(shù)解析式．

(2)利用導(dǎo)數(shù)法求y的最小值．

[解](1)設(shè)容器的容積為V，

480π由題意知V＝πr2l＋3πr3，又V＝3，

4V－3804420故l＝πr23r2－3r＝3r2－r.

由于l≥2r，

因此0<r≤2.

420所以建造費用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr×3r2－r×3＋4πr2c，

160π因此y＝4π(c－2)r2＋r0<r≤2.

160π(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－r2208πc－2r3－＝c－2，0<r<2.r2

由于c>3，所以c－2>0，

32020當(dāng)r3＝0時，r＝.c－2c－2

320＝m，則m>0，c－2令8πc－2所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．r2

9①當(dāng)0<m<2即2

當(dāng)r＝m時，y′＝0；

當(dāng)r∈(0，m)時，y′<0；

當(dāng)r∈(m,2)時，y′>0，

所以r＝m是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點．

9②當(dāng)m≥2即2

當(dāng)r∈(0,2)時，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以r＝2是函數(shù)y的最小值點．

9綜上所述，當(dāng)3<c≤2r＝2；

3209當(dāng)c>2時，建造費用最小時r＝.c－2

[類題通法]

解決函數(shù)實際應(yīng)用題的關(guān)鍵有兩點：一是認(rèn)真讀題，縝密審題，確切理解題意，明確問題的實際背景；然后進(jìn)行科學(xué)地抽象概括，將實際問題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；二是要合理選取參變量，設(shè)定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實際問題獲解．

[沖關(guān)集訓(xùn)]

6．(2011·北京高考)根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為

f(x)＝cA，x≥Ac，x<A，x(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)

品用時15分鐘，那么c和A的值分別是()

A．75,25B．75,16

C．60,25D．60,16

解析：選D因為組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，所以ccc15①，所以必有4<A，且2＝A430②，聯(lián)立①②解得c＝60，A＝16.

7．(2012·南通調(diào)研)經(jīng)市場調(diào)查，某商品在過去100天內(nèi)的銷售量和價格均為時間t(天)的函

11121數(shù)，且日銷售量近似地滿足g(t)＝－3＋3，t∈N)，前40天價格為f(t)＝4t＋

122(1≤t≤40，t∈N)，后60天價格為f(t)＝－2t＋52(41≤t≤100，t∈N)，試求該商品的日銷售額

S(t)的最大值和最小值．

解：當(dāng)1≤t≤40，t∈N時，

111211112×2212500－S(t)＝g(t)f(t)＝3t＋34＋22＝－12t2＋2t＋3＝－12－12)23，

所以768＝S(40)≤S(t)≤S(12)＝

當(dāng)41≤t≤100，t∈N時，

S(t)＝g(t)f(t)112×22250012＝33.

11121＝－3＋32＋52

1112×5218＝6－36t＋36－108)2－3，

1491所以8＝S(100)≤S(t)≤S(41)＝22500所以，S(t)的最大值為38.

“圖”解三次函數(shù)的零點問題

三次函數(shù)的零點與三次方程根的問題主要有四類：一是判斷函數(shù)零點或方程根的個數(shù)；二是利用函數(shù)零點確定函數(shù)解析式；三是確定函數(shù)零點或方程根的取值范圍；四是利用函數(shù)零點

或根的個數(shù)求解參數(shù)的取值范圍．

解決三次函數(shù)零點的有關(guān)問題主要利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，主要包括函數(shù)的單調(diào)性與極值以及函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值，然后畫出函數(shù)圖像，結(jié)合函數(shù)圖像的特征判斷、求解．

[典例]已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3個零點，則m的取值范圍為()

A．(－24,8)B．(－24,1]

C．[1,8]D．[1,8)

[思路點撥]首先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,5]內(nèi)的函數(shù)圖像的特征，判斷其單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)的大致圖像，然后根據(jù)函數(shù)圖像的特征確定參數(shù)m所滿足的不等式，解之即可．

[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，

得x＝－1或x＝3.

當(dāng)x∈[－2，－1)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－1,3)時，f′

(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(3,5]時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．所

以函數(shù)f(x)的極小值為f(3)＝－24，極大值為f(－1)＝8；

而f(－2)＝1，f(5)＝8，函數(shù)圖像大致如圖所示．故要使方程g(x)＝f(x)

－m在x∈[－2,5]上有3個零點，只需函數(shù)f(x)在[－2,5]內(nèi)的函數(shù)圖像與直線y＝m有3個交

m<8，點，故即m∈[1,8)．m≥1，

[答案]D

[名師支招]

解決此類問題主要依據(jù)函數(shù)圖像的特征，利用區(qū)間端點處的函數(shù)值、函數(shù)的極值等構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式．注意函數(shù)在區(qū)間的端點值對參數(shù)取值范圍的影響．如該題中

f(－2)與f(5)這兩個端點值決