2022-2023學(xué)年廣東省深圳技術(shù)大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為2，則（

）A． B．2 C． D．6【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可.【詳解】;故選：B.2．某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,一同學(xué)從中選1門,則該同學(xué)的不同選法共有（

）A．7種 B．12種 C．4種 D．3種【答案】A【分析】根據(jù)題意求出所有的可能性即可選出結(jié)果.【詳解】解:由題知某校開設(shè)A類選修課4門,B類選修課3門,共7門,故該同學(xué)的不同選法共有7種.故選:A3．拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B． C． D．【答案】C【分析】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程知p＝2，可得拋物線準(zhǔn)線方程．【詳解】拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)在x軸上，且2p=4,=1，∴拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝﹣1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．和C． D．【答案】A【分析】確定函數(shù)定義域，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0，即可求得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，解得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，故選：A5．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)的極值，即得解.【詳解】由題得，令得或，令得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以函數(shù)的極大值為，極小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)的零點(diǎn)問題常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（直接研究函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象得解）；（3）方程+圖象法“（令重新構(gòu)造函數(shù)，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象得解）”6．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和的關(guān)系，利用公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求前項(xiàng)的和.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，故選：C7．已知上的函數(shù)滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，從而求導(dǎo)可判斷導(dǎo)數(shù)恒成立，從而可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得當(dāng)時(shí)，，從而得到不等式的解集．【詳解】解：令，則，又的導(dǎo)數(shù)在上恒有，恒成立，是上的減函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，即，即不等式的解集為；故選：C．8．若是的切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在處的切線方程，由此可用表示，得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的值域，由此可得所求范圍.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，，又，，，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又當(dāng)時(shí)，，，即的取值范圍為.故選：A.二、多選題9．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的有（

）A．為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)B．為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D．是函數(shù)的最大值【答案】BC【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由的導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，函數(shù)在、上單調(diào)遞減，在、上單調(diào)遞增，故當(dāng)或時(shí)，取得極小值；當(dāng)時(shí)，取得極大值，故BC正確，AD錯(cuò)誤.故選：BC.10．如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中（

）A．AB與CD平行 B．CD與GH是異面直線C．EF與GH成角 D．CD與EF平行【答案】CD【分析】根據(jù)正方體的平面展開圖得到直觀圖，然后判斷即可.【詳解】該正方體的直觀圖如下：與是異面直線，故A錯(cuò)；與相交，故B錯(cuò)；因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以，三角形為正三角形，直線與直線所成角為，則與所成角為，故CD正確.故選：CD.11．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù)．初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染，…．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則（

）A．第三輪被傳染人數(shù)為16人 B．前三輪被傳染人數(shù)累計(jì)為80人C．每一輪被傳染的人數(shù)組成一個(gè)等比數(shù)列 D．被傳染人數(shù)累計(jì)達(dá)到1000人大約需要35天【答案】CD【分析】根據(jù)已知條件，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，即可求解．【詳解】由題意，設(shè)第輪感染的人數(shù)為，則數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，故C正確；所以，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；前三輪被傳染人數(shù)累計(jì)為，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，故D正確.故選：CD12．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定的單調(diào)性極值及最值情況，就能確定ABC的正誤，對(duì)于D，恒成立問題，可通過參變分離求最值來解決.【詳解】【解】A選項(xiàng)，，定義域?yàn)?，，令，解得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在時(shí)取得極大值也是最大值，故A對(duì)，B選項(xiàng)，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，如下圖所示：函數(shù)有且只有唯一一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)為單調(diào)遞減函數(shù)，，，，故C對(duì)，D選項(xiàng)，，故，由于函數(shù)在上恒成立，，設(shè)，定義域?yàn)?，則，設(shè)，解得，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，故，故D對(duì).故選：ACD.三、填空題13．函數(shù)在處的切線與直線平行，則a＝______．【答案】1【分析】求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，結(jié)合直線平行建立方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)在處的切線斜率為，因?yàn)樵撉芯€與直線平行，故，解得故答案為：114．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】由，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，則在單調(diào)遞減，所以.故答案為：.15．已知，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C的上頂點(diǎn)，且，．則C的方程是______．【答案】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：，故，又，即，解得：，故，所以C的方程是，故答案為：16．已知函數(shù)（且）的極大值和極小值分別為，，且，則的取值范圍是______．【答案】【分析】由有兩個(gè)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合切線以及導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】，所以方程的兩個(gè)根為，，即函數(shù)和的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榈臉O大值和極小值分別為，，故當(dāng)時(shí)，，的圖象在的下方，當(dāng)、時(shí)，，的圖象在的上方；易知，設(shè)過原點(diǎn)且與圖象相切的直線斜率為，則，設(shè)與切于點(diǎn)，而，所以，解得，所以，因?yàn)?，即，又，所以，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】求解與曲線的切線有關(guān)問題，易錯(cuò)點(diǎn)是沒有分清已知點(diǎn)是曲線上的點(diǎn)還是曲線外的點(diǎn).兩種情況下，切線都可以通過導(dǎo)數(shù)求得，關(guān)注點(diǎn)有切點(diǎn)和斜率兩個(gè).極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為，反之卻不成立.四、解答題17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）；（2）答案見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，直接解得的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）分類討論：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可以求出最大值.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，令，得，∵，?故的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).∴當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí).綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，的最大值為.18．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系：，設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值．【答案】(1)(2)當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為70萬元．【分析】（1）根據(jù)已給模型確定函數(shù)解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得最小值．【詳解】（1）每年能源消耗費(fèi)用為，建造費(fèi)用為，．．（2），令得或（舍．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取得最小值（5）．當(dāng)隔熱層修建厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為70萬元．19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，為正三角形，且側(cè)面底面ABCD，．(1)求證：平面ACM；(2)求平面MBC與平面DBC的夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)30°【分析】（1）連接BD，借助三角形中位線可證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法直接可求.【詳解】（1）連接BD，與AC交于點(diǎn)O，在中，因?yàn)镺，M分別為BD，PD的中點(diǎn)，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.（2）設(shè)E是AB的中點(diǎn)，連接PE，因?yàn)闉檎切?，則，又因?yàn)槠矫娴酌鍭BCD，平面平面，則平面ABCD，過點(diǎn)E作EF平行于CB，與CD交于點(diǎn)F，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，，，所以，，設(shè)平面CBM的法向量為，則，令，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，則平面ABCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角的大小為30°．20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.(1)若數(shù)列中依次取出第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第6項(xiàng)，…，第項(xiàng)，按原來順序組成一個(gè)新數(shù)列，試求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【分析】(1)利用等差數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列公差及通項(xiàng)公式，由求解作答.(2)由(1)的結(jié)論求出，再用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.【詳解】（1）等差數(shù)列中，，解得，公差，則，因此，，依題意，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式，.（2）由(1)知，，則，因此，，，所以.21．點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程.(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線,若過點(diǎn)的動(dòng)直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為,并且滿足:原點(diǎn)到的距離為,弦長,求直線的方程.【答案】(1).(2).【分析】(1)利用直譯法即可求解軌跡方程；(2)先設(shè)出直線方程,利用弦長及點(diǎn)到直線的距離為兩個(gè)條件即可解出直線方程.【詳解】（1）設(shè),點(diǎn)到定直線的距離為.由題意可得:,即,整理化簡得:.即點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè).當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由原點(diǎn)到的距離為,由對(duì)稱性不妨設(shè)直線:.所以滿足,解得:,所以（舍去）.當(dāng)直線的斜率存在時(shí),可設(shè).

因?yàn)樵c(diǎn)到的距離為,所以,即,則滿足,消去可得:,,因?yàn)?所以恒成立.則.所以.因?yàn)?所以.化簡得:,解得:,所以,直線的方程為:.綜上所述:直線的方程為:.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍；(3)求證：.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)(3)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性分類討論進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的