藥學高數(shù)極限第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

一、數(shù)列的極限我國古代數(shù)學家劉徽（第三世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形的面積來推算圓面積的方法—割圓術，就是極限思想在幾何上的一個應用。設有一圓，欲求它面積的精確值S。為此先作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為S1，再作圓內(nèi)接正十二邊形，其面積記為S2，再作圓內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為S3，…，循此下去，每次邊數(shù)加倍，就可以得到一系列圓內(nèi)接正多邊形的面積。圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加,Sn也無限接近于確定的數(shù)值S。第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

若xn是正整數(shù)n的函數(shù):xn=f(n),其取值依次為x1

,x2

,…,xn,…像這樣一列有次序的數(shù),叫做數(shù)列(sequenceofnumber),簡記為數(shù)列{xn}。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，x1叫做數(shù)列的首項，第n項xn叫做數(shù)列{xn}的一般項或通項。例如：1，2，3，…，n…{n}（1-1）{}（1-2）

{}（1-3）{}（1-4）

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在幾何上，數(shù)列可看作數(shù)軸上的一列點。若數(shù)列{xn}滿足

x1≤

x2≤x3≤…≤xn≤…則稱數(shù)列{xn}為單調(diào)增加數(shù)列;若數(shù)列{xn}滿足

x1≥x2≥x3≥…≥xn≥…則稱數(shù)列{xn}為單調(diào)減少數(shù)列。若對于數(shù)列{xn}，存在正數(shù)M,使得對一切n，都滿足不等式

xn≤M則稱數(shù)列{xn}是有界的。如果這樣的正數(shù)M不存在，則稱數(shù)列{xn}是無界的。x2x1x3xn第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

例如：數(shù)列（1-2）、（1-3）、（1-4）是有界數(shù)列，而數(shù)列（1-1）是無界的。

定義1-4如果當n無限增大時，xn無限趨于一個確定的常數(shù)a，則稱a是數(shù)列{xn}當n∞時的極限(limit)，或稱數(shù)列{xn}收斂(convergent)于a，記為或

例1-7討論數(shù)列當n∞時的變化趨勢。

解此數(shù)列的一般項為當n越來越大時，點xn越來越接近于點1，即

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定義1-5“-N”定義如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。┛偞嬖谡麛?shù)N，使得對于滿足n>N時的一切xn，不等式xn-a<恒成立，則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}當n∞時的極限，或者稱數(shù)列{xn}收斂于a

，記為或xna（n∞）注意:（1）定義中的正數(shù)“可以任意給定”是很重要的。（2）定義中的正整數(shù)N是與任意給定的正數(shù)有關的它可以隨的給定而選定。第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日“數(shù)列{xn}的極限是a”的幾何解釋：因為不等式xn-a<即不等式a-＜xn＜a+，所以當n>N時，所有點xn都落在開區(qū)間（a-

，a+

）內(nèi)，而只有有限個（至多有N個）點落在這個區(qū)間之外。

并不是所有的數(shù)列都有極限。例如：

在n無限增大時，總是在0和1這兩個數(shù)上來回跳動，不趨于某一個確定的常數(shù),所以發(fā)散。x2a-xN+1axN+3xN+2a+x1x3x2第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日例如:已知證明數(shù)列的極限為1.

證:

欲使即只要則當時,

就有故第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

二、函數(shù)的極限（一）當xx0時函數(shù)的極限

定義1-6設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義（點x0可以除外），如果當x無限趨近于（即xx0（x≠x0）時），對應的函數(shù)值f(x)無限趨近于一個確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當xx0時的極限，記為或第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

例1-8

討論函數(shù)f(x)=2x+1當x1時的變化趨勢。表1-2x0.90.990.9990.9999…1…1.00011.0011.011.1f(x)=2x+12.82.982.9982.9998…3…3.00023.0023.023.2定義1-7

“-”定義：設函數(shù)f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義（點x0可以除外），如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)，使得對于滿足不等式0＜x-x0

＜的一切x，對應的函數(shù)值

f(x)都滿足不等式f(x)-A＜則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x)當xx0時的極限，記為或第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

函數(shù)f(x)當xx0時的極限為A的幾何解釋:任意給定一正數(shù),作平行于x軸的兩條直線y=A+和y=A-，介于這兩條直線之間是一橫條區(qū)域。根據(jù)定義，對于給定的，存在點x0的一個去心的鄰域（即），當y=f(x)圖形上點的橫坐標時，這些點的縱坐標f(x)均滿足不等式f(x)-A＜即A-＜f(x)

＜A+，從而這些點落在上面所說的橫條區(qū)域內(nèi)。x0y=f(x)A-A+

A

x0-x0+x0第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

例1-9證明（C為一常數(shù)）。證因為f(x)-A

=C-C

=0，對于任意給定的正數(shù)，可任取一正數(shù)，當0＜x-x0

＜時，能使不等式f(x)-A

=0＜恒成立，所以

例1-10

證明證因為f(x)-A

=x-x0

，對于任意給定的正數(shù)，可任取一正數(shù)=，0＜x-x0

＜=時，能使不等式

f(x)-A

=x-x0

＜恒成立，所以第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

例1-11討論當x3時，是否存在極限。

解函數(shù)在x=3處是沒有定義的，但x≠3，從而f(x)-6=(x+3)-6=x-3，因此對于任意給定的正數(shù)，總可以取=，當0＜x-3

＜

=能使不等式

f(x)-6=x-3

＜恒成立，所以第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日左極限從左邊趨于,記為右極限從右邊趨于,記為注意

例1-12

考察函數(shù)當x0時的極限。

解

因為左極限和右極限不相等，所以當x0時極限不存在。第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日

(二)當x∞時函數(shù)的極限

定義1-8

設函數(shù)f(x)對于絕對值無論怎樣大的x都是有定義的。如果在x∞的過程中，對應的函數(shù)值f(x)無限趨近于確定的常數(shù)A，那么A叫做函數(shù)f(x)當x∞時的極限，記為或

定義1-9“-X”定義：如果對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。偞嬖谡龜?shù)X，使得對于適合不等式x>X的一切x

，對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式f(x)-A＜那么常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當x∞時的極限，記為或第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日單側極限

當自變量x的變化沿x軸的正方向無限增大(或沿x

軸的負方向絕對值無限增大)時,函數(shù)f(x)無限趨近于某一個常數(shù)A,就稱A為函數(shù)f(x)單側極限,記為

例如：若，則稱y=C直線是曲線y=f(x)的一條水平漸近線。y=ax(a>1)(0,1)y=1/xxy0xy0第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日注意:

例如:

所以不存在。第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期日內(nèi)容小結：1.數(shù)列極限的“–N

”

定義及應用2.函數(shù)極限的“–”或