虛擬變量模型第1頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

二態(tài)變量

1.1二態(tài)變量的概念

1.2二態(tài)變量的作用

1.3二態(tài)變量的設(shè)置規(guī)則

二態(tài)變量模型

2二態(tài)解釋變量模型

3二態(tài)被解釋變量模型第2頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.1二態(tài)變量的概念

經(jīng)濟(jì)分析中接觸最多的是一些數(shù)值變量，諸如GDP,CPI等等。這些變量的共同特征是它們各自有一個(gè)合理的值域區(qū)間，當(dāng)變量變化時(shí)在值域區(qū)間內(nèi)取值。

但是人類(lèi)的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)僅僅通過(guò)數(shù)值變量的描述還是不夠的，人的社會(huì)經(jīng)濟(jì)行為還與一些屬性因素相聯(lián)系，譬如收入在形成過(guò)程中，不同的性別所得到的收入是不一樣的；在城鄉(xiāng)、不同地區(qū)收入存在差距；再比如，在我國(guó)，經(jīng)濟(jì)的發(fā)展水平對(duì)于不同的區(qū)域有不同的表現(xiàn)，等等。既然屬性因素同樣影響人的經(jīng)濟(jì)活動(dòng)，經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的研究就需要屬性變量。第3頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)變量D表示某種屬性，該屬性有兩種類(lèi)型，即當(dāng)屬性存在時(shí)D取值為1；當(dāng)屬性不存在時(shí)D取值為0。記為

該變量D即為二態(tài)變量。二態(tài)變量又稱(chēng)虛擬變量、名義變量或啞變量，是用以反映質(zhì)的屬性的一個(gè)人工變量，是量化了的質(zhì)變量，通常取值為0或1，一般“1”代表某一屬性存在，“0”代表某一屬性不存在，即“是”或“否”，“男”或“女”等。第4頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.2二態(tài)變量的作用引入虛擬變量的作用，在于將定性因素或?qū)傩砸蛩貙?duì)因變量的影響數(shù)量化。

1.可以描述和測(cè)量定性（或?qū)傩裕┮蛩氐挠绊憽?.能夠正確反映經(jīng)濟(jì)變量之間的相互關(guān)系，提高模型的精度；例如在分段回歸中的應(yīng)用。3.便于處理異常數(shù)據(jù)。由于某些突發(fā)事件的存在，如戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害，使原本比較穩(wěn)定的經(jīng)濟(jì)關(guān)系發(fā)生一段時(shí)間的混亂，此時(shí)可以利用虛擬變量。當(dāng)樣本資料存在異常數(shù)據(jù)時(shí)，一般有三種處理方式：一是在樣本容量較大的情況下直接剔除異常數(shù)據(jù)；二是用平均數(shù)等方式修勻異常數(shù)據(jù)；三是設(shè)置虛擬變量（即將異常數(shù)據(jù)作為一個(gè)特殊的定性因素）。第5頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1.3二態(tài)變量的設(shè)置規(guī)則1.一個(gè)定性因素多個(gè)屬性若一個(gè)定性因素有m個(gè)不同屬性或相互排斥的類(lèi)型，在模型中則只能引入m-1個(gè)虛擬變量，否則會(huì)產(chǎn)生完全多重共線(xiàn)性。2.多個(gè)定性因素多種不同屬性如果有m個(gè)定性因素，且每個(gè)因素各含有mi個(gè)不同的屬性類(lèi)型，則引入個(gè)虛擬變量。3.虛擬變量取值應(yīng)從分析問(wèn)題的目的出發(fā)予以界定；通常將基礎(chǔ)類(lèi)型、否定類(lèi)型取值為0，而將比較類(lèi)型、肯定類(lèi)型以及我們將要研究的重點(diǎn)類(lèi)型取值為1.4.虛擬變量在單一方程中，可以作為解釋變量，也可以作為因變量。

第6頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2二態(tài)解釋變量模型2.1加法引入規(guī)則2.1.1一個(gè)定性解釋變量2.1.2一個(gè)定量解釋變量和一個(gè)定性解釋變量2.1.3一個(gè)定量解釋變量和一個(gè)定性解釋變量，但有多個(gè)屬性類(lèi)型2.1.4一個(gè)定量解釋變量和兩個(gè)以上定性解釋變量2.1.5對(duì)模型中存在異常值的修正2.1.6對(duì)季節(jié)因素的修正2.2乘法引入規(guī)則2.2.1檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)是否發(fā)生了變化2.2.2交互效應(yīng)2.2.3分段線(xiàn)性回歸第7頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

2.1加法引入規(guī)則虛擬解釋變量與別的解釋變量以相加的關(guān)系出現(xiàn)在模型里。加法引入虛擬變量對(duì)模型產(chǎn)生的結(jié)果是只改變截距項(xiàng)。設(shè)模型為

式中，為虛擬變量，它與其它解釋變量是相加的關(guān)系。如果虛擬變量按這種方式引入模型，則稱(chēng)虛擬變量按加法類(lèi)型引入。第8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.1.1模型中只有一個(gè)定性解釋變量設(shè)模型形式為

其中，

為具有兩個(gè)屬性類(lèi)型的定性變量。第9頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)為居民的年可支配收入，為虛擬變量，其取值表示為：=1表示城鎮(zhèn)居民；=0表示農(nóng)村居民。即該方程的意義在于，在其它因素不變的條件下，城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民的收入是否具有顯著性差異。由此得到城鎮(zhèn)居民的年平均收入：

農(nóng)村居民的年平均收入為：

第10頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日為了檢驗(yàn)城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民的差異對(duì)年平均收入的影響是否具有顯著性，可構(gòu)造假設(shè)：

對(duì)上述模型進(jìn)行回歸，利用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)假設(shè)作出判斷（t檢驗(yàn)）。只有一個(gè)定性解釋變量往往可用于檢驗(yàn)一個(gè)屬性因素對(duì)被解釋變量的影響是否顯著性存在。

第11頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.1.2模型中有一個(gè)定量解釋變量和一

個(gè)定性解釋變量設(shè)模型形式為

式中，為定量變量，為具有兩個(gè)屬性類(lèi)型的定性變量。第12頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)為消費(fèi)支出；為收入；為虛擬變量，即

上述表達(dá)式的意義在于，在收入不變的條件下，研究城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民對(duì)消費(fèi)的不同影響，即判斷城鄉(xiāng)居民在消費(fèi)上是否存在顯著性差異。農(nóng)村居民年平均消費(fèi)：

城鎮(zhèn)居民年平均消費(fèi)：第13頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日可以看出，城鎮(zhèn)居民和農(nóng)村居民兩種收入類(lèi)型的斜率系數(shù)一樣，但截距不同。說(shuō)明兩種類(lèi)型的居民在收入的水平上存在的規(guī)模差異。這一假定也可通過(guò)對(duì)的顯著性檢驗(yàn)，

t檢驗(yàn)來(lái)判斷。第14頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.1.3

模型中有一個(gè)定量解釋變量和一個(gè)定

性解釋變量，但有多個(gè)屬性類(lèi)型

設(shè)模型形式為

式中，為定量變量，和為具有兩個(gè)屬性特征的定量變量。

第15頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)為年醫(yī)療保健費(fèi)支出；為居民年可支配收入；如果將受教育程度分為三種類(lèi)型：高中以下、高中、大專(zhuān)及大專(zhuān)以上，則引入虛擬變量為如下兩個(gè)

高中以下的年平均醫(yī)療保健費(fèi)支出：

高中的年平均醫(yī)療保健費(fèi)支出：

大專(zhuān)及大專(zhuān)以上年平均醫(yī)療保健費(fèi)支出：第16頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)于模型

有類(lèi)型假定高中以下高中大專(zhuān)及大專(zhuān)以上第17頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.1.4模型中有一個(gè)定量解釋變量和兩個(gè)以上定

性解釋變量

設(shè)模型形式為

式中，為定量變量，和為具有兩個(gè)屬性特征的定量變量。

第18頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)為卷煙需求量；為居民可支配收入，考慮兩種不同屬性：不同區(qū)域的居民，即城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民；不同性別，即男與女。因此各引入一個(gè)虛擬變量

第19頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日農(nóng)村女性居民：農(nóng)村男性居民：

城鎮(zhèn)女性居民：

城鎮(zhèn)男性居民：

第20頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.1.5對(duì)模型中存在異常值的修正設(shè)模型形式為由于某種突發(fā)因素的干擾，使得在時(shí)刻隨機(jī)誤差產(chǎn)生系統(tǒng)性偏離，表現(xiàn)為隨機(jī)誤差項(xiàng)在相應(yīng)時(shí)點(diǎn)存在均值非0的問(wèn)題，即這時(shí)，可引入虛擬變量第21頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日則

其中，，對(duì)求數(shù)學(xué)期望，有

表明新的隨機(jī)誤差項(xiàng)滿(mǎn)足零均值假定，從而可用OLS法對(duì)引入虛擬變量的模型求參數(shù)的估計(jì)。當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，第22頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日例如：研究消費(fèi)行為時(shí)，認(rèn)為消費(fèi)水平C主要受到收入水平Y(jié)的影響，但對(duì)于正常年份和反常年份，消費(fèi)行為的表現(xiàn)是不同的，這時(shí)可考慮引入虛擬變量

則

當(dāng)正常年份時(shí)，

當(dāng)反常年份時(shí)，進(jìn)一步對(duì)參數(shù)估計(jì)，利用樣本統(tǒng)計(jì)量對(duì)總體參數(shù)作檢驗(yàn)，從而可判斷正常年份消費(fèi)行為與反常年份消費(fèi)是否存在差異。第23頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.1.6對(duì)季節(jié)因素的修正假設(shè)是具有某種季節(jié)特征的消費(fèi)行為（如啤酒、汗衫等商品的消費(fèi)），這時(shí)需要對(duì)季節(jié)波動(dòng)進(jìn)行調(diào)整，下面介紹利用虛擬變量來(lái)調(diào)整季節(jié)變化。季節(jié)為屬性因素，按自然屬性有4個(gè)不同的季節(jié)（春、夏、秋、冬），即4個(gè)屬性類(lèi)型。因此，在有截距項(xiàng)的前提下，可引入3個(gè)虛擬變量，即

第24頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日引入季節(jié)虛擬變量的模型為

第1季度，第2季度，第3季度，第4季度，第25頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.2乘法引入規(guī)則以乘法形式引入虛擬變量，是在所設(shè)定的模型里，將虛擬解釋變量與其它解釋變量用乘積作為新的解釋變量。乘法引入虛擬解釋變量將改變模型中的斜率系數(shù)。設(shè)模型為

其中，為定量解釋變量，為虛擬變量。按上述形式引入虛擬變量即為乘法引入。第26頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.2.1檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)是否發(fā)生了變化設(shè)模型形式為

式中，

為儲(chǔ)蓄總額，

為收入總額，

為虛擬變量，即

改革開(kāi)放后，平均儲(chǔ)蓄額為改革開(kāi)放前，平均儲(chǔ)蓄額為

第27頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在上式中被稱(chēng)為截距差異系數(shù)，被稱(chēng)為斜率差異系數(shù)，它們分別代表改革開(kāi)放前后儲(chǔ)蓄函數(shù)的截距與斜率存在的差異。結(jié)構(gòu)變化的專(zhuān)門(mén)檢驗(yàn)——鄒氏檢驗(yàn)檢驗(yàn)的基本步驟：（1）設(shè)根據(jù)同一總體兩個(gè)樣本估計(jì)的回歸模型分別為：樣本1：

樣本2：第28頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第29頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.2.2交互效應(yīng)在實(shí)際經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，多個(gè)定性解釋變量對(duì)被解釋變量的影響可能存在一種交互影響，即一個(gè)變量的邊際效應(yīng)可能要依賴(lài)于另外變量的變動(dòng)（即由于變量間的交互作用而對(duì)解釋變量的影響）。這時(shí)可用乘法引入虛擬變量的方法來(lái)表示。第30頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

設(shè)模型形式為

其中，

為農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益，

為農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)投入，

為油菜籽生產(chǎn)虛擬變量，

為養(yǎng)蜂生產(chǎn)虛擬變量。第31頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日但上述模型不能反映發(fā)展油菜生產(chǎn)，同時(shí)又發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)，而在它們中間存在著一定的交互作用，這種交互作用對(duì)農(nóng)副產(chǎn)品生產(chǎn)總收益可能會(huì)帶來(lái)更大的影響。因此，反映交互作用可通過(guò)按乘法引入虛擬變量來(lái)解決：不發(fā)展油菜生產(chǎn)，也不發(fā)展養(yǎng)蜂生產(chǎn)：

同時(shí)發(fā)展油菜生產(chǎn)和養(yǎng)蜂生產(chǎn)：

在實(shí)證分析中，可利用交互效應(yīng)虛擬解釋變量

系數(shù)的顯著性來(lái)加以判斷。第32頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2.2.3分段線(xiàn)性回歸在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，有時(shí)會(huì)存在影響因素在達(dá)到某個(gè)臨界值時(shí)發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化，這時(shí)可利用虛擬變量來(lái)區(qū)分這種結(jié)構(gòu)性變化，即用虛擬變量表示來(lái)不同的截距和斜率的回歸。以研究銷(xiāo)售額對(duì)提取獎(jiǎng)金的影響為例。第33頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日設(shè)模型的形式為

式中，

為獎(jiǎng)勵(lì)額度，

為銷(xiāo)售額，

為銷(xiāo)售公司按銷(xiāo)售額的一定比例計(jì)提獎(jiǎng)勵(lì)的目標(biāo)水平值，即銷(xiāo)售額在

以下和以上計(jì)提的獎(jiǎng)勵(lì)的方法不同（或計(jì)提的額度不同），則引入虛擬解釋變量為

當(dāng)銷(xiāo)售額度低于

時(shí)，

當(dāng)銷(xiāo)售額度高于

時(shí)，第34頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3二態(tài)被解釋變量模型3.1線(xiàn)性概率模型3.1.1線(xiàn)性概率模型的概念3.1.2線(xiàn)性概率模型的估計(jì)3.2Probit模型和Logit模型3.2.1Probit模型和Logit模型的產(chǎn)生背景3.2.2Probit模型和Logit模型的含義3.2.3Probit模型和Logit模型的估計(jì)參考：潘省初.《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中級(jí)教程》，清華大學(xué)出版社第35頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二態(tài)被解釋變量在有些情況下，我們可能需要建立被解釋變量為虛擬變量的回歸模型。在這種模型中，被解釋變量描述的是特征、選擇或者種類(lèi)等不能定量化的東西，如乘公交還是自己開(kāi)車(chē)去上班、考不考研等。在這些情況下，被解釋變量是定型變量，我們可以用定義虛擬變量的放大來(lái)刻畫(huà)它們。這種被解釋變量為虛擬變量的模型稱(chēng)為定性選擇模型或定性響應(yīng)模型。這里簡(jiǎn)要介紹線(xiàn)性概率模型、Probit模型、Logit模型第36頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.1.1線(xiàn)性概率模型的概念設(shè)家庭購(gòu)買(mǎi)住房的選擇主要受到家庭的收入水平，則用如下模型表示

其中為家庭的收入水平，為家庭購(gòu)買(mǎi)住房的選擇，即

由于y是取值為0和1的隨機(jī)變量，并定義y取值為1的概率是p，則y的分布為

y01概率1-pp第37頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日這樣y的數(shù)學(xué)期望為

顯然

從而

上述數(shù)學(xué)描述的經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋是，因?yàn)檫x擇購(gòu)買(mǎi)住房變量取值是1，其概率是p，并且這時(shí)對(duì)應(yīng)p的表示是一線(xiàn)性關(guān)系，因此，選擇家庭購(gòu)買(mǎi)住房的概率是家庭收入x的一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)。稱(chēng)這一關(guān)系式為線(xiàn)性概率函數(shù)。第38頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.1.2線(xiàn)性概率函數(shù)的估計(jì)對(duì)線(xiàn)性概率函數(shù)的估計(jì)存在以下困難：(1)隨機(jī)誤差項(xiàng)的非正態(tài)性表現(xiàn)。

表明

服從兩點(diǎn)分布，常規(guī)的顯著性檢驗(yàn)出現(xiàn)問(wèn)題。雖然U不是正態(tài)變量，考慮到中心極限定理，以及大樣本的情況，檢驗(yàn)可以在漸近分布的意義下進(jìn)行。第39頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)的異方差性。事實(shí)上，

上式中，p隨著i變動(dòng)，是一個(gè)變動(dòng)的量,則

的方差不是一個(gè)固定常數(shù)。第40頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日利用加權(quán)最小二乘法修正異方差。取權(quán)數(shù)為

可以證明具有同方差。在具體估計(jì)線(xiàn)性概率模型時(shí)，用作為p的估計(jì)來(lái)計(jì)算權(quán)數(shù)的估計(jì)。第41頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）0≤E(yi∣xi)≤1不成立?？朔@一問(wèn)題可直接從對(duì)線(xiàn)性概率模型的估計(jì)，求出，用人工的方法定義當(dāng)>1時(shí)，取=1；當(dāng)<0時(shí)，取=0。但要比較好地解決這類(lèi)問(wèn)題，只能考慮采用新的估計(jì)方法，如Logit模型和Probit模型等。第42頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（4）LMP模型本身的先天不足。LMP模型假定自變量和Y=1的概率之間存在線(xiàn)性關(guān)系，而此關(guān)系往往不是線(xiàn)性的。（5）在線(xiàn)性概率模型中，以及不再是合適的擬合優(yōu)度測(cè)試。此問(wèn)題不僅是線(xiàn)性概率模型的問(wèn)題，而是所有定性選擇模型的問(wèn)題。較好一點(diǎn)的測(cè)度是模型正確預(yù)測(cè)的觀測(cè)值的百分比。首先，我們將每一個(gè)預(yù)測(cè)值歸類(lèi)為1或0.如果擬合值大于等于0.5，則認(rèn)為因變量的預(yù)測(cè)值為1，否則為0.然后將這些預(yù)測(cè)值與實(shí)際發(fā)生的情況相比較，計(jì)算正確預(yù)測(cè)的百分比：第43頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.2.1Probit模型和Logit模型的產(chǎn)生背影鑒于線(xiàn)性概率模型上的缺點(diǎn)，我們應(yīng)對(duì)回歸模型作兩個(gè)方面的改進(jìn)，使：（1）使解釋變量xi所對(duì)應(yīng)的所有預(yù)測(cè)值（概率值）都落在（0，1）之間；（2）同時(shí)對(duì)于所有的xi，當(dāng)xi增加時(shí)，希望yi也單調(diào)增加或單調(diào)減少。顯然所有連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(zi)都符合要求，我們常用的是logistic函數(shù)與正態(tài)分布函數(shù)。采用累積正態(tài)概率分布函數(shù)的模型稱(chēng)作Probit模型，即用正態(tài)分布的累積概率作為Probit模型的預(yù)測(cè)概率；采用logistic函數(shù)的模型稱(chēng)作logit模型。第44頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3.2.2Probit模型和Logit模型的含義