2021年江西省宜春市黃沙中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知命題p：?x∈R，sinx≤1，則（）A.?p：?xR，sinx≥1 B.?p：?xR，sinx>1C.?p：?x∈R，sinx＞1 D.?p：?x∈R，sinx≥1參考答案：C【分析】根據(jù)?p是對p的否定，故有：?x∈R，sinx＞1．從而得到答案．【詳解】∵?p是對p的否定∴?p：?x∈R，sinx＞1故選：C．【點睛】本題主要考查全稱命題與特稱命題的轉(zhuǎn)化問題．2.用與球心距離為1的平面去截球所得的截面面積為π，則球的表面積為（）A．2π B．4π C．8π D．π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】先求出截面的半徑r=1，再求出球半徑R==，由此能求出球的表面積．【解答】解：∵用與球心距離為1的平面去截球所得的截面面積為π，∴截面的半徑r=1，∴球半徑R==，∴球的表面積S=4πR2=8π．故選：C．3.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）．A．

B．

C．

D．參考答案：B4.若集合，集合，則（

）A.{0}

B.{1}

C.{0,1}

D.{0,1,2}參考答案：C5.定義：，其中為向量與的夾角，若，，，則等于（）A．

B．

C．或

D．參考答案：B略6.設(shè)f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，f（﹣2）=0，則f（x）＜0的解集為（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞） B．（﹣2，0）∪（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）參考答案：D【考點】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得函數(shù)在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，且f（2）=0，分x＞0與x＜0兩種情況討論，分析f（x）＜0的解集，綜合即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由于函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，則函數(shù)在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，又由f（﹣2）=0，則f（2）=﹣f（﹣2）=0，當(dāng)x∈（0，+∞），函數(shù)為增函數(shù)，且f（2）=0，f（x）＜0的解集為（0，2），當(dāng)x∈（﹣∞，0），函數(shù)為增函數(shù)，且f（﹣2）=0，f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣2），綜合可得：f（x）＜0的解集為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）；故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的奇偶性．7.一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(

)。A.

B.

C.

D.參考答案：C8.雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（

）A. B. C. D.參考答案：C略9.的導(dǎo)數(shù)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D10.函數(shù)的定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點（

）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是____________.參考答案：90°12.將十進制數(shù)45化為二進制數(shù)為

參考答案：101101(2)13.已知a，b都是正實數(shù)，函數(shù)y=2aex+b的圖象過點（0，1），則的最小值是

．參考答案：考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應(yīng)用．分析：把點（0，1）代入函數(shù)關(guān)系式即可得出a，b的關(guān)系，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵函數(shù)y=2aex+b的圖象過點（0，1），∴1=2a+b，∵a＞0，b＞0．∴==3+=，當(dāng)且僅當(dāng)，b=時取等號．故答案為．點評：熟練掌握基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.若命題“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為

▲

．參考答案：略15.定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝3，公積為15，那么a21＝______參考答案：316.如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，四棱錐A﹣BB1D1D的體積為6cm3，則AA1=．

參考答案：2cm考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：由已知得BD=3，設(shè)四棱錐A﹣BB1D1D的高為h，則，再由四棱錐A﹣BB1D1D的體積為6，能求出AA1．解答：解：∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，∴BD==3，設(shè)四棱錐A﹣BB1D1D的高為h，則，解得h===，∵四棱錐A﹣BB1D1D的體積為6，∴，解得AA1=2（cm），故答案為：2cm．點評：本題考查長方體的高的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．17.下表是某廠1-4月份用水量(單位:100t)的一組數(shù)據(jù),由其散點圖可知,用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系,其線性回歸方程是_________________.月份x1234用水量y(100t)4.4432.5參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知動點在曲線上，點與定點的距離和它到直線：=的距離的比是．

(1)求曲線C的方程。(2)點，的外角平分線所在直線為，直線垂直于直線，且交的延長線于點．試求點與點連線的斜率的取值范圍．參考答案：解：(1)設(shè)點到直線：=的距離為，由題意可得：，∴，

化簡得：．∴曲線的方程是；

(2)由題意可知,，∵，∴∴點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓．又直線的方程為：，即．∴圓心到直線的距離，即，∴，或

略19.在直角梯形PBCD中，∠D=∠C=，BC=CD=2，PD=4，A為PD的中點，如圖1．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點E在SD上，且，如圖2．（1）求證：SA⊥平面ABCD；（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值；（3）在線段BC上是否存在點F，使SF∥平面EAC？若存在，確定F的位置，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．【分析】（法一）（1）由題意可知，題圖2中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂線法）由考慮在AD上取一點O，使得，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（3）取BC中點F，所以，又由題意從而可得SF∥EM，所以有SF∥平面EAC（法二：空間向量法）（1）同法一（2）以A為原點建立直角坐標系，易知平面ACD的法向為，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可（3）由SF∥平面EAC，所以，利用向量數(shù)量的坐標表示，可求【解答】解法一：（1）證明：在題圖1中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，所以在題圖2中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，因為SB⊥BC，AB⊥BC，所以BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一點O，使，連接EO．因為，所以EO∥SA所以EO⊥平面ABCD，過O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，則AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，．，即二面角E﹣AC﹣D的正切值為．（3）當(dāng)F為BC中點時，SF∥平面EAC，理由如下：取BC的中點F，連接DF交AC于M，連接EM，AD∥FC，所以，又由題意SF∥EM，所以SF∥平面EAC，即當(dāng)F為BC的中點時，SF∥平面EAC解法二：（1）同方法一（2）如圖，以A為原點建立直角坐標系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）易知平面ACD的法向為設(shè)平面EAC的法向量為n=（x，y，z）由，所以，可取所以n=（2，﹣2，1）．所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值為．（3）設(shè)存在F∈BC，所以SF∥平面EAC，設(shè)F（2，a，0）所以，由SF∥平面EAC，所以，所以4﹣2a﹣2=0，即a=1，即F（2，1，0）為BC的中點20.（本題滿分12分）已知橢圓的焦點坐標是,過點F2垂直與長軸的直線交橢圓與P,Q兩點,且|PQ|=3．（1）求橢圓的標準方程；（2）過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M,N,則△F1MN的內(nèi)切圓面積是否存在最大值?若存在,則求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在,請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程是,由交點的坐標得:,由,可得，解得故橢圓的方程是（Ⅱ）設(shè),設(shè)的內(nèi)切圓半徑是,則的周長是,,因此最大,就最大由題知,直線的斜率不為0,可設(shè)直線的方程為,由得,,

則令則則令當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,有f(t)≥f(1)＝4，≤＝3,即當(dāng)t＝1，m＝0時,≤＝3，=4R，所以,此時所求內(nèi)切圓面積的最大值是故直線,△F1MN內(nèi)切圓的面積最大值是.(或用對勾函數(shù)的單調(diào)性做也給滿分）

21.已知數(shù)列，，，…，，…，其前n項和為Sn；（1）計算S1，S2，S3，S4；（2）猜想Sn的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法進行證明.參考答案：（1）；（