高數(shù)基不式選解歸典精1例1（）已知＜x＜，函數(shù)y=x(1-3x)的最大值;3（2）求函數(shù)y=x+

1x

的值域.思分1由極值定可知需構(gòu)造某個和為定值，可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)）中，未指出x＞，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0與＜論.1（1）解法一：0＜＜,1-3x3113x11∴y=x(1-3x)=3x)≤［2=且僅當(dāng)3x=1-3x即x=時號成立∴時，3321261函數(shù)取得最大值121解法二：∵0＜x＜,-x＞3x11∴y=x(1-3x)=3x(-x)［］=，且僅當(dāng)x=即x=時等號成.32126∴

11時，函數(shù)取得最大值.612（2）解：當(dāng)x＞0時，由基本不等式，得y=x+

11≥2x?=2，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立x當(dāng)x＜0時y=x+

1x

1=-［(-x)+］(∵-x＞∴(-x)+

1(

1≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=,x=-1，等號成.∴y=x+

1x

-2.綜上可知函數(shù)

1x

的值域為(∞,］∪［2,+綠通：用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件，同時要注意等號成立的條件是否具備.變訓(xùn)當(dāng)x＞時求f(x)=x+

1x

的最小值.思分：＞-1

＞變x=x+1-1時與

1x

的積為常數(shù)解：∵x＞∴＞0.∴f(x)=x+

11=x+1+-xx

(x?

1(x

-1=1.

minmin當(dāng)且僅當(dāng)∴f(x)

1x

即時取等號變訓(xùn)求函數(shù)y=

xx2x

的最小值.思分：函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展.解：令2+1，則且x

=t-1.∴

xx2(3(tt1=xttt

∵≥1,∴t+t

t?

t

當(dāng)僅當(dāng)t=,即t=1時等號成立.t∴當(dāng)，函數(shù)取得最小值例2已知x＞＞0，且

19+，最小值.x思分：求x+y最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值，這需要對條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請仔細(xì)體會.解法一：利用“的換,∵

19+=1,x∴x+y=(x+y)·(

1yx+)=10+xy∵x＞＞0,∴

yxx

≥2

9x?y

當(dāng)且僅當(dāng)

yxx

，即y=3x時取等.19又+∴x=4,y=12.x∴當(dāng)時取最小值解法二：由

19y+=1得x=.x∵x＞＞0,∴y＞9.x+y=

yy

9+y=y++10.yy∵y＞∴＞

∴

≥2

(y?

9

當(dāng)且僅當(dāng)y-9=

9y

，即y=12時取得等號，此時x∴當(dāng)時x+y取得最小值16.法三：由1+=1，y+9x=xy,x∴∴9)≥10+2

(x

=16,當(dāng)且僅當(dāng)時得等號又

19+x∴x=4,y=12.∴當(dāng)時取最小值綠通：題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都式子進(jìn)行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會觀察,會變形，另外解法二，通過消元,化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影黑陷：題容易犯這樣的錯誤：1+≥2①即∴xxyxy

≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.x+y的小值是12.產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式①等號成立的條件是

19=，等式②等號成立的條件是在一個題目x中連續(xù)運用了兩次基本不等式,但是兩個基本不等式等號成立的條件不同會導(dǎo)致錯誤結(jié).變訓(xùn)已正數(shù)滿思分：題屬“的代換問.

abx

=1x+y的小值為，求的.解x+y=(x+y)(

abbx)=a++b=10+xxy

∵x,y＞0,a,b0，∴x+y，即又a+b=10∴或bb2.

例3求f(x)=3+lgx+

4lg

的最小值（＜x＜）.思分：＜x＜∴l(xiāng)gx＜號變正數(shù).

4lg

＜0不滿足各項必須是正數(shù)這一條，不能直接應(yīng)用基本不等式，正確的處理方法是加上負(fù)解：∵＜＜1,∴l(xiāng)gx0,

4＜∴-＞lglg∴(-lgx)+(-

4lg

)≥2

4()()x

4∴l(xiāng)gx+-4.∴-4=-1.lglg當(dāng)且僅當(dāng)

4即x=時取得等.lg100則有f(x)=3+lgx+

4lg

＜x＜的最小值為黑陷：題容易忽略＜x＜一個條.變訓(xùn)已知x＜

54

1，求函數(shù)的大.4x思分：和的最值，應(yīng)湊積為定值.注意條件x＜5解∵x＜∴4x-50.411［(5-4x)+］+3y=4x-5+45x

54

，則4x-5-2

x)?

+3=-2+3=1.當(dāng)且僅當(dāng)

15x

即時號成立.所以當(dāng)x=1時函數(shù)的最大值是3變訓(xùn)當(dāng)x＜時求函數(shù)y=x+的大值.22思分：本題是求兩個式子和的最大值但是x·

82

并不是定值也不能保證是正值所以必須使用一13x83些技巧對原式變可以變?yōu)閥=（2x-3+=-（）+再求最值.222x解：

1x83（2x-3）++=-），2x23x

∵當(dāng)x＜

32

時，3-2x＞0，∴

383x8?，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號232x2于是y-4+

35=，故函數(shù)有最大值222

例4如圖，物園要圍成相同的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍圖3-4-1（1）現(xiàn)有可圍36m長的材料，每間虎籠的長、寬各計為多少時，可使每間虎籠面積最大？（2）若使每間虎籠面積為

，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長度最小？思分：每間虎籠長為xm寬為ym則）在4x+6y=36的提下求xy的大值；(則是在xy=24的前提來求4x+6y的小值解1設(shè)每間虎籠長為x，寬為ym則由條件,知，2x+3y=18.設(shè)每間虎籠的面積為S，S=xy.方法一：由于2x+3y

2

=2

6xy

∴2xy≤18,≤

2727，即S≤2當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時號成立.由

2解得x18,3.故每間虎籠長為4.5，為3時可使面最.方法二:由2x+3y=18，得x=9-∵x＞0,∴0y＜3S=xy=(9-y)y=(6-y)y.2∵0＜y＜6,6-y

32

y.∴≤

3(6yy27［］=.22當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,時等號成立，此時x=4.5.故每間虎籠長4.5m,寬3時可使面積最大.(2)由條件知設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為則方法一:∵2x+3y≥2

2?3y

=2

6xy

=24,∴l(xiāng)=4x+6y=2(2x+3y)當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時等號成立.由解xy

xy4.故每間虎籠長m寬m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最小

12212122122121方法二:由，得x=

24

∴l(xiāng)=4x+6y=

96+y)y

16

y

16=48,且僅當(dāng)，即時等號成立，時x=6.y故每間虎籠長m,寬4時可使鋼筋總長最.綠通：使用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值時，要注意：（1）x,y是正數(shù)；（2）積xy（或）為定值；（3x與y必能夠相等，特別情況下，還要根據(jù)條件構(gòu)造滿足上述三個條件的結(jié).變訓(xùn)某廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理(平面圖如圖3-4-2所)由于地形限制長、寬都不能超過16米如果池外周壁建單價為每米400元中間兩道隔墻建造單價為每米元池底建造單價為每平方米元池壁的厚度忽略不計試計污水處理池的長和,使總造價最低并求出最低造價.圖3-4-2思分：利用均值不等式求最值時必須考慮等號成立的,等號不能成立通常要用函數(shù)的調(diào)性進(jìn)行求解.解：設(shè)污水處理池的長為x米則寬為

200x

200米(＜＜≤16),∴12.5≤x≤16.x于是總造價

200200)+248×2×+80×200.xx=800(x+

324x

)+16000≥800×2

x?

x

+16000=44800,當(dāng)且僅當(dāng)x=

324x

(x＞即x=18等號成,而［］∴Q(x)＞44800.下面研究Q(x)［］的單調(diào)性對任意12.5＜則＞0,x＜＜Q(x)-Q(x)=800(x-x

1x

)］

(x324)22x1

＜∴)＞).∴Q(x)在］是減函.∴≥Q(16)=45000.答:當(dāng)污水處理池的長為米,寬為12.5米總造價最低,最低造價為45元問探問題某人要買房,著樓層的升高上下樓耗費的精力增多,因此不滿意度升高當(dāng)住第n層時上下樓造成的不滿意度為n.但處空氣清新,嘈雜音較小,環(huán)境較為安靜因隨著樓層的