概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)總結(jié)1、1隨機(jī)事件一、給出事件描述，要求用運(yùn)算關(guān)系符表示事件：二、給出事件運(yùn)算關(guān)系符，要求判斷其正確性：1、2概率古典概型公式：P（A）=實(shí)用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計(jì)算補(bǔ)例1：將n個(gè)球隨機(jī)地放到n個(gè)盒中去，問每個(gè)盒子恰有1個(gè)球的概率是多少？解：設(shè)A：“每個(gè)盒子恰有1個(gè)球”。求：P(A)=？Ω所含樣本點(diǎn)數(shù)：Α所含樣本點(diǎn)數(shù)：補(bǔ)例2：將3封信隨機(jī)地放入4個(gè)信箱中，問信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少？解：設(shè)Ai：“信箱中信的最大封數(shù)為i”。(i=1,2,3)求：P(Ai)=？Ω所含樣本點(diǎn)數(shù)：A1所含樣本點(diǎn)數(shù)：A2所含樣本點(diǎn)數(shù)：A3所含樣本點(diǎn)數(shù)：注：由概率定義得出的幾個(gè)性質(zhì)：1、0<P（A）<12、P(Ω)=1，P(φ)=01、3概率的加法法則定理：設(shè)A、B是互不相容事件（AB=φ），則：P（A∪B）=P（A）+P（B）推論1：設(shè)A1、A2、…、An互不相容，則P(A1+A2+、、、+An)=P(A1)第1頁共1頁+P(A2)+…+P(An)推論2：設(shè)A1、A2、…、An構(gòu)成完備事件組，則P(A1+A2+、、、+An)=1推論3：P（A）=1－P（）推論4：若BA，則P(B－A)=P(B)－P(A)推論5（廣義加法公式）：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)補(bǔ)充對(duì)偶律：1、4條件概率與乘法法則條件概率公式：P(A/B)=（P(B)≠0）P(B/A)=（P(A)≠0）∴P（AB）=P（A/B）P（B）=P（B/A）P（A）有時(shí)須與P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）中的P（AB）聯(lián)系解題。全概率與逆概率公式：全概率公式：逆概率公式：（注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗(yàn)可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）1、5獨(dú)立試驗(yàn)概型事件的獨(dú)立性：貝努里公式（n重貝努里試驗(yàn)概率計(jì)算公式）：課本P24另兩個(gè)解題中常用的結(jié)論1、定理：有四對(duì)事件：A與第1頁共1頁B、A與、與B、與，如果其中有一對(duì)相互獨(dú)立，則其余三對(duì)也相互獨(dú)立。2、公式：第二章隨機(jī)變量及其分布一、關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布問題1、求分布列：⑴確定各種事件，記為x寫成一行；⑵計(jì)算各種事件概率，記為pk寫成第二行。得到的表即為所求的分布列。注意：應(yīng)符合性質(zhì)1、（非負(fù)性）2、（可加性和規(guī)范性）補(bǔ)例1：將一顆骰子連擲2次，以x表示兩次所得結(jié)果之和，試寫出x的概率分布。解：Ω所含樣本點(diǎn)數(shù)：66=36所求分布列為：1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36pk12111098765432x補(bǔ)例2：一袋中有5只乒乓球，編號(hào)1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取3只，以x表示取出3只球中最大號(hào)碼，試寫出x的概率分布。解：Ω所含樣本點(diǎn)數(shù)：=106/103/101/10pk543x所求分布列為：2、求分布函數(shù)F(x)：分布函數(shù)二、關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布問題：x∈R，如果隨機(jī)變量x的分布函數(shù)F（x）可寫成F（x）=，則x為連續(xù)型。稱概率密度函數(shù)。解題中應(yīng)該知道的幾個(gè)關(guān)系式：第三章隨機(jī)變量數(shù)字特征第1頁共1頁一、求離散型隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望Ex=？數(shù)學(xué)期望（均值）二、設(shè)x為隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，求Eη=?xx1x2…xkpkp1p2…pkη=f(x)y1y2…yk以上計(jì)算只要求這種離散型的。補(bǔ)例1：設(shè)x的概率分布為：x－1012pk求：⑴，的概率分布；⑵。解：因?yàn)?－101η=x21014所以，所求分布列為：η=x－1－2－101pk和：η=x21014pk當(dāng)η=x－1時(shí)，Eη=E（當(dāng)η=x2時(shí)，Eη=Ex2=1+0+1+4+=27/8x或η的方差Dx=？f(x)是普通實(shí)函數(shù)，則η=f(x)也是x－1012pkη=x－1－x－1）=－2+(－1)+0+1+=1/4三、求Dη=？實(shí)用公式=－其中，===補(bǔ)例2：x－202pk0、40、30、3求：Ex和Dx解：=－20、4+00、3+20、3=－0、22=（－2）20、4+020、3+220、3=2、8=2－=2、8－（－0、2）2=2、76第四章幾種重要的分布常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）名稱概率分布或密度期望方差參數(shù)范圍二項(xiàng)第1頁共1頁分布npnpq0<P<1q=1－p正態(tài)分布μμ任意σ>0泊松分布不要求λλλ>0指數(shù)分布不要求λ>0解題中經(jīng)常需要運(yùn)用的Ex和Dx的性質(zhì)（同志們解題必備速查表）Ex的性質(zhì)Dx的性質(zhì)第八章參數(shù)估計(jì)8、1估計(jì)量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇）⑴若總體參數(shù)θ的估計(jì)量為，如果對(duì)任給的ε>0，有，則稱是θ的一致估計(jì)；⑵如果滿足，則稱是θ的無偏估計(jì)；⑶如果和均是θ的無偏估計(jì)，若，則稱是比有效的估計(jì)量。8、3區(qū)間估計(jì)：幾個(gè)術(shù)語1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量及，對(duì)于給定的（0<<1）滿足：則稱隨機(jī)區(qū)間（，）是的100（1－）％的置信區(qū)間，和稱為的100（1－）％的置信下、上限，百分?jǐn)?shù)100（1－）％稱為置信度。一、求總體期望（均值）Ex的置信區(qū)間1、總體方差已知的類型①據(jù)，得＝1－，反查表（課本P260表）得臨界值；②=③求d=④置信區(qū)間（-d，+d）補(bǔ)簡(jiǎn)例：設(shè)總體隨機(jī)取4個(gè)樣本其觀測(cè)值為12、6，13、4，12、8，13、2，求總體均值μ的95%的置信區(qū)間。解：①∵1－α=0、95，α=0、05∴Φ（Uα）=1－=0、975，反查表得：Uα=第1頁共1頁1、96②③∵σ=0、3，n=4∴d===0、29④所以，總體均值μ的α=0、05的置信區(qū)間為：（－d，＋d）=（13－0、29，13＋0、29）即（12、71，13、29）2、總體方差未知的類型（這種類型分重要！務(wù)必掌握！?。贀?jù)和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；②確定=和③求d=④置信區(qū)間（-d，+d）注：無特別聲明，一般可保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，下同。二、求總體方差的置信區(qū)間①據(jù)α和自由度n－1（n為樣本數(shù)），查表得臨界值：和②確定=和③上限下限④置信區(qū)間（下限，上限）典型例題：補(bǔ)例1：課本P166之16已知某種木材橫紋抗壓力的實(shí)驗(yàn)值服從正態(tài)分布，對(duì)10個(gè)試件作橫紋抗壓力試驗(yàn)得數(shù)據(jù)如下（單位：kg/cm2）:482493457471510446435418394469試對(duì)該木材橫紋抗壓力的方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（α＝0、04）。解：①∵α=0、04，又n=10，自由度n－1=9∴查表得，==19、7==2、53②===457、5=[++…+]=1240、28③上限===44第1頁共1頁12、06下限===566、63④所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為（566、63，4412、06）第九章假設(shè)檢驗(yàn)必須熟練掌握一個(gè)正態(tài)總體假設(shè)檢驗(yàn)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)一般思路：1、提出待檢假設(shè)H02、選擇統(tǒng)計(jì)量3、據(jù)檢驗(yàn)水平，確定臨界值4、計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值5、作出判斷檢驗(yàn)類型⑵：未知方差，檢驗(yàn)總體期望(均值)μ①根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:=(已知)；②選擇統(tǒng)計(jì)量；③據(jù)和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；④由樣本值算出＝？和＝？從而得到；⑤作出判斷典型例題：對(duì)一批新的某種液體的存貯罐進(jìn)行耐裂試驗(yàn)，抽查5個(gè)，得到爆破壓力的數(shù)據(jù)（公斤/寸2）為：545，545，530，550，545。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)爆破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2，問這種新罐的爆破壓與過去有無顯著差異？（α=0、05）解：H0:=549選擇統(tǒng)計(jì)量∵=0、05，n－1=4，∴查表得：=2、776又∵==543s2==57、5∴==1、77<第1頁共1頁2、776∴接受假設(shè)，即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。檢驗(yàn)類型⑶：未知期望(均值)μ，檢驗(yàn)總體方差①根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:=(已知)；②選擇統(tǒng)計(jì)量；③據(jù)和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本P264表）得臨界值：和；④由樣本值算出＝？和＝？從而得到；⑤若<<則接受假設(shè)，否則拒絕!補(bǔ)例：某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布，折斷力方差=64，今從一批產(chǎn)品中抽10根作折斷力試驗(yàn)，試驗(yàn)