二次函數(shù)的應(yīng)用（幾何）2

一、選擇題

1.（2011重慶市潼南,10,4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是菱形,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0）,ZAOC=60°,垂直于x軸的

直線/從），軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)

度的速度向右平移，設(shè)直線/與菱形OABC的兩邊分

別交于點(diǎn)M,N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），若aOMN

的面積為S,直線/的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒（0W/W4）,則

能大致反映S與/的函數(shù)關(guān)系的圖象是

【答案】C

2.（2011貴州安順，9,3分）正方形Z8CD邊長(zhǎng)為1,E、F、G、，分別為邊J8、BC、CD、

。/上的點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.設(shè)小正方形的面積為y,AE=x.則y關(guān)于x的函數(shù)圖象

大致是（）

A.B.C.D.

【答案】C

3.（2011河北，11,3分）如圖4,在矩形中截取兩個(gè)相同的圓作為圓柱的上、下底面，剩

余的矩形作為圓柱的側(cè)面，剛好能組合成圓柱.設(shè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為y和x,則y與x的

函數(shù)圖象大致是（）

圖4

y

【答案】A

三、解答題

1.(2011重慶藜江，26,12分)在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/(1,0)；B(0,-2),將

線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。至AC.

⑴求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若拋物線丁=一；n2+℃+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)6;

①求拋物線的解析式；

②在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)C除外)使△ZB尸是以48為直角邊的等腰直角三角

形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】：解：(1)過(guò)點(diǎn)C作軸，垂足為。，

在AACD和ABAO中，由已知有/CAD+/BAO=90°,而NABO+ZBAO=

90°ANCAD=NABO,又?:=々08=90°,且由己知有CA=AB,：.AACD^ABAO,

：.CD=OA=\,AD=BO=2,...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,-1)

1,1

...拋物線的解析式為y=-+lx+2

解法一：②i）當(dāng)X為直角頂點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)。1至點(diǎn)片，使=/C=/3,則/ABR是以

AB為直角邊的等腰直角三角形，

如果點(diǎn)P、在拋物線上，則P、滿足條件，過(guò)點(diǎn)片作RE工x軸，；AR=AC/EAR

=/DAC,ZP{EA-ZCDA=90°,/.△EPiJ△DCA,AE=AD=2,EP{—CD

=1,

二可求得右的坐標(biāo)為（一1,1）,經(jīng)檢驗(yàn)片點(diǎn)在拋物線上，因此存在點(diǎn)片滿足條件；

ii）當(dāng)8點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，

過(guò)點(diǎn)B作直線L1BA,在直線L上分別取BP?=BP^=AB,得到以AB為直角邊的

等腰直角△ZB8和等腰直角△48〃，作鳥(niǎo)E軸，同理可證

:.P『=BO=2,BF=OA=\,可得點(diǎn)鳥(niǎo)的坐標(biāo)為（-2,-1）,經(jīng)檢驗(yàn)乙點(diǎn)在拋物

線上，因此存在點(diǎn)巴滿足條件.同理可得點(diǎn)八的坐標(biāo)為（2,—3）,經(jīng)檢驗(yàn)A點(diǎn)不在拋物

線上.

綜上：拋物線上存在點(diǎn)片（一1,1）,P2（-2,-1）兩點(diǎn)，使得△/8弓和428舄

是以力8為直角邊的等腰直角三角形.

解法二：（2）②（如果有用下面解法的考生可以給滿分）

i）當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，易求出直線AC的解析式為y=——x+-

解之可得片（-1,1）（已知點(diǎn)C除外）作片ELv軸于瓦則

AE=2,RE=1,由勾股定理有又?.18=石,...4片=45,.?.△片/8是以N8為直角邊

的等腰三角形；

ii）當(dāng)8點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作直線L4C交拋物線于點(diǎn)巴和點(diǎn)鳥(niǎo)，易求出直線L的解

析式為y=--x-2,解得X]=-2或％=4

...舄（一2,—1）,A（4,-4）作鳥(niǎo)尸，y軸于凡同理可求得

/.△P2AB是以AB為直角邊的等腰三角形作AH軸于H,可求得

BP.=722+42=2風(fēng)大AB,：.&△ABP?不是等腰直角三角形，二點(diǎn)〃不滿足條件.

綜上：拋物線上存在點(diǎn)片（一1,1）,P2（-2,-1）兩點(diǎn)，使得△4B4和△4BP?是以角

為直邊的等腰直角三角形.

517

2.（2011廣東省，22,9分）如圖，拋物線＞=一一一+—X+1與y軸交于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)4的

44

直線與拋物線交于另一點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)8作8C，x軸，垂足為點(diǎn)C（3,0）.

（1）求直線N8的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動(dòng)點(diǎn)尸在線段OC上，從原點(diǎn)。出發(fā)以每鈔一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作，x

軸，交直線于點(diǎn)M,拋物線于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)尸移動(dòng)的時(shí)間為/秒，MN的長(zhǎng)為s個(gè)單位，

求s與f的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出f的取值范圍；

（3）設(shè)（2）的條件下（不考慮點(diǎn)尸與點(diǎn)。，點(diǎn)G重合的情況），連接CM,BN,當(dāng)f為何

值時(shí)，四邊形8CMN為平等四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的t的值，平行四邊形8CMN是否為菱形？

說(shuō)明理由.

5、17

【解】(1)把x=0代入y=-4工2+_^x+l,得y=l

5175

把x=3代入y=——x2+一x+1,得》=一,

“442

:.A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別(0,1)、(3,-)

2

設(shè)直線AB的解析式為y=Ax+b,代入A、B的坐標(biāo)，得

h=16=1

5，解得,

3k+h=-k=-

22

所以，y--x+\

2

i517

(2)把x=t分別代入到y(tǒng)=/X+l和y=-^X2+—X4-1

1517

分別得到點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為一t+1和--Z2T1+1

244

5175215

MN=---1~H---/+1-(-Z+1)--r+—t

44244

5,15

即$=——e+—t

44

?.?點(diǎn)P在線段0C上移動(dòng)，

，0WtW3.

(3)在四邊形BCMN中，：BC〃MN

...當(dāng)BC=MN時(shí)，四邊形BCMN即為平行四邊形

由得=1冉=2

44212

即當(dāng)f=l或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形

35

當(dāng)，=1時(shí)，PC=2,PM=-,PN=4,由勾股定理求得CM=BN=—，

22

此時(shí)BC=CM=MN=BN,平行四邊形BCMN為菱形；

當(dāng)￡=2時(shí)，PC=1,PM=2,由勾股定理求得CM=6,

此時(shí)BCWCM,平行四邊形BCMN不是菱形；

所以，當(dāng)f=l時(shí)，平行四邊形BCMN為菱形.

3.(2011湖南懷化，24,10分)在矩形AOBC中，OB=6,OA=4,分別以O(shè)B,OA所在

直線為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B,C

重合)，過(guò)F點(diǎn)的反比例函數(shù)歹=七(左＞0)的圖像與AC邊交于點(diǎn)E.

x

(1)求證：AExAO=BFxBO；

(2)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,4),求經(jīng)過(guò)0、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(3)是否存在這樣的點(diǎn)F,使得將4CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，

求出此時(shí)的OF長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

(1)證明：由題意知，點(diǎn)E、F均在反比例函數(shù)歹=?(4＞0)圖像上，且在第一象限，所以

X

AExAO=k,BFxBO=k,從而AExAO=BFxBO.

(2)將點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,4)代入反比例函數(shù)歹=幺(左＞0)得k=8,

X

Q

所以反比例函數(shù)的解析式為歹=?.

x

44

VOB=6,???當(dāng)x=6時(shí)，y=-,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6,-).

33

設(shè)過(guò)點(diǎn)0、E、F三點(diǎn)的二次函數(shù)表達(dá)式為y+wo),將點(diǎn)0(0,0),E(2、

4

4),F(6,-)三點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式得：

3

4

a——

c=09

L26

4。+26+c=4解得

9

4

36a+6h+c=—c=0

3

4

經(jīng)過(guò)O、E、F三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=--x2+—X.

■99

(1)如圖11,將4CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在0B邊于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)E作EH_LOB于

點(diǎn)H.

設(shè)CE=n,CF=m,則AE=6-n,BF=4-m

由(1)得AExAO=BFxBO/.(6-n)x4=(4-m)x6，解得n=1.5m.

由折疊可知，CF=CT=m,CE=C'E=1.5m,ZECT=ZC=90°

在RtZ\EHC，中，ZEC,H+ZC,EH=90°,

又,:/EC'H+NEC'F+FC'B=180°,ZECT=90°

ZC,EH=FC/B

VZEHC,=C,BF=90°

EHEC'

.,.△EC'H^ACTB,???，=,

CBCF

.EHEC1.5m,4

>?~—~—=1.5,

CBCFm

Q

,/由四邊形AEHO為矩形可得EH=A0=4AC^-.

3

在RtZ\BC，F(xiàn)中，由勾股定理得，CT^BF^C^2,即m2=(4-m)2+(g)

解得：m=—

9

2610

BF=4--=——

99

2

3016

在RtZiBOF中，由勾股定理得，OF2=BF2+OB2,即<2^2=6?+部

27754

/.0F=———

9

???存在這樣的點(diǎn)F,0F=冬詈,使得將4CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在0B上.

4.（2011江蘇淮安，28,12分）如圖，在此△N8C中，NC=90。，AC=8,BC=6,點(diǎn)尸在

AB1.,AP=2點(diǎn)E、尸同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿Ri、PB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)4、

8勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)4后立即以原速度沿向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)停止，

點(diǎn)E也隨之停止.在點(diǎn)￡、廠運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以E尸為邊作正方形EFG”,使它與△NBC在線段

的同側(cè)，設(shè)￡、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒（/>0）,正方形EFG4與△48C重疊部分面積為S.

（1）當(dāng)t=\時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)是；當(dāng)t=3時(shí)，正方形EFGH的邊長(zhǎng)

是;

（2）當(dāng)0</W2時(shí)，求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）直接答出：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，S最大？最大面積是多少？

C

A

【答案】⑴2；6；

（2）當(dāng)0<云母■時(shí)（如圖），求S與，的函數(shù)關(guān)系式是：S=S矩形EFGH=（2/）2=4』；

當(dāng)行"<fW1時(shí)（如圖），求S與f的函數(shù)關(guān)系式是：S=S館形EFGH-SAHMNUAF-QX3又

a

⑵-小2-a

r]a]

2

當(dāng)一VfW2時(shí)(如圖)，求S與，的函數(shù)關(guān)系式是：S=SAARF-SAAQE=—X—(2+Z)-—X

5242

-(2-r)2=3t

4

66144

⑶由(2)知：若OV/W—,則當(dāng)￡=一時(shí)S最大，其最大值S=---；

1111121

若則當(dāng)片9時(shí)s最大，其最大值$=生；

11555

若9<fW2,則當(dāng)f=2時(shí)S最大，其最大值S=6.

5

綜上所述，當(dāng)1=2時(shí)S最大，最大面積是6.

5.(2011山東臨沂，26,13分)如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(—2,0),B(-3,3)及原點(diǎn)O,

頂點(diǎn)為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且以A、0、D、E為頂點(diǎn)的四

邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)P是拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PMJ_x軸，垂足為M,是否存在點(diǎn)P

使得以點(diǎn)P、M、A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)?.?拋物線過(guò)原點(diǎn)o,

.??可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx,

將A(—2,0),B(—3,3)代入，得

4a—2b=0,

9a—3b=3.

a=b

解得《

b=2.

此拋物線的解析式為y=x?+2x.................(3分)

(2)如圖，①當(dāng)A0為邊時(shí)，

?.?以A、0、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

；.DE〃AO,且DE=A0=2,.................................(4分)

點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸x=—1上，

.?.點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1或-3,.................................(5分)

即符合條件的點(diǎn)D有兩個(gè)，分別記為：1%,D2>

而當(dāng)x=l時(shí)，y=3；當(dāng)x=-3時(shí)，y=3>

ADi(1,3),D2(-3,3)..................................(7分)

②當(dāng)A0為對(duì)角線時(shí)，則DE與A0互相平分，

又點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上，

且線段A0的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為一I,

由對(duì)稱(chēng)性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，即頂點(diǎn)C(—1,,1),

綜上所述，符合條件的點(diǎn)D共有三個(gè)，分別為》(1,3),D2(-3,3),

C(—1,,1)............................................(8分)

③存在.（9分）

3

6.（2011上海，24,12分）己知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖），一次函數(shù)卜=^x+3的圖像

7

與y軸交于點(diǎn)/，點(diǎn)/在正比例函數(shù)y=]X的圖像上，且二次函數(shù)產(chǎn)Y+bx+c

的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)/、M.

（1）求線段的長(zhǎng)；

（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（3）如果點(diǎn)8在y軸上，且位于點(diǎn)/下方，點(diǎn)C在上述二次函數(shù)的圖像上，點(diǎn)。在

3

一次函數(shù)y=：x+3的圖像上，且四邊形是菱形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

3

【答案】（1）一次函數(shù)y=：x+3,當(dāng)x=0時(shí)，尸3.所以點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,3）.

333

正比例函數(shù)y=：x,當(dāng)^=：時(shí)，》=1.所以點(diǎn)”的坐標(biāo)為（1,1.

c=3,

?L3

2

b二——?

解得2

c=3.

即這個(gè)二次函數(shù)的解析式為_(kāi)y=/-gx+3.

3

D（〃，一〃+3）.則

4

135

2

\AB\=3-m,|￡>C|=yD-yc=-n-n,|^￡）|=—w.

因?yàn)樗倪呅?5CQ是菱形，所以|4即=|0。|=|4。|.

3-

所以44

3-m=-n.

4

(q1

解得K；,舍去):二’

將〃=2代入y=x2-；x+3,得Pc=2.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2).

7.(2011四川樂(lè)山26,13分)已知頂點(diǎn)為A(l,5)的拋物線yuaY+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,l).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(15.1),設(shè)C,D分別是x軸、y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值

(3)在(2)中，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小時(shí)，作直線CD.設(shè)點(diǎn)P(x,y)(x>0)是直線y=x

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是OP的中點(diǎn)，以PQ為斜邊按圖(15.2)所示構(gòu)造等腰直角三角形PRQ.

①當(dāng)aPBR與直線CD有公共點(diǎn)時(shí)，求x的取值范圍；

②在①的條件下，記APBR與ACOD的公共部分的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并

求S的最大值。

【答案】

解：⑴.設(shè)以A(l,5)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為y=a(x—l)2+5

y=a(x-1)?+5的圖像經(jīng)過(guò)了點(diǎn)B(5,5)

,1

Al=a(5-l)2+5解得a=-一

，y=-；(XT)2+5

Hn12119

即：y=—XH—X4—

’424

(2).

A'A

如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/,與y軸交與點(diǎn)D,作點(diǎn)B關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8',與x軸交與點(diǎn)

C,連接AD,AC,CB,BA.四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小。

VA(1,5),B(5,1)

；./(-1,5),fi'(5,-l)

C四邊形4BCD="B+BC+CD+DA

=ABAB

=血-5）2+（5-1）2+J（-1-5）2+（5+1）2

=472+672

=1072

二直線AB的解析式為y=-x+4

直線歹=-x+4與直線y=x的交點(diǎn)M(2,2)

；P(x,y),點(diǎn)Q為OP的中點(diǎn)

:△PBR與直線CD有公共點(diǎn)，M（2,2）

x>2

，即2WxW4

-x<2

2

1.

8.（2011湖北黃岡，24,14分）如圖所示，過(guò)點(diǎn)F（0,1）的直線產(chǎn)kx+b與拋物線y=—V

4

交于M（xpyi）和N（X2，y2）兩點(diǎn)（其中xi<0,X2<0）.

⑴求b的值.

⑵求Xi,X2的值

⑶分別過(guò)M、N作直線1：y=-l的垂線，垂足分別是Mi、N”判斷△MFN的形狀,

并證明你的結(jié)論.

⑷對(duì)于過(guò)點(diǎn)F的任意直線MN,是否存在一條定直線m,使m與以MN為直徑的圓相切.如

果有，請(qǐng)法度出這條直線m的解析式；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第24題圖

【答案】解：（Db=l

（[y-kx+\

一?和l-2是方程組112的兩組解，解方程組消元得

｛y=M〔尸乃卜=片

1X2-AX-1=0,依據(jù)“根與系數(shù)關(guān)系”得罰叱=一4

第24題解答用圖

⑶△MFNi是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由題知Mi的橫坐標(biāo)為xi，Ni的橫坐標(biāo)為X2，設(shè)M|N|交y軸于F|,則F|M「FiN|=-Xi

?X2=4,而FF1=2,所以F|MI?F]N|=F[F\另有NMFIF=/FFIN|=90°,易證RtZiM|FF|S

RtZXNiFFi，得/MiFF產(chǎn)/FN1F1，故/M|FN產(chǎn)NM|FFI+/F|FNI=NFNIF|+/FIFNI=90°,

所以△M1FN1是直角三角形.

⑷存在，該直線為尸一1.理由如下：

直線尸一1即為直線M|N|.

如圖，設(shè)N點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為一加2,計(jì)算知NN尸一機(jī)2+],

44

NF=+2_])2=；/+],得NN1=NF

同理MM]=MF.

那么MN=MMI+NN”作梯形MM|N|N的中位線PQ,由中位線性質(zhì)知PQ='(MM,

2

+NN,)=-^-MN,即圓心到直線y=-l的距離等于圓的半徑，所以y=—l總與該圓相切.

,1,7

9.(2011湖南衡陽(yáng)，27,10分)已知拋物線y=^x2—/nx+2加一萬(wàn).

(1)試說(shuō)明：無(wú)論機(jī)為何實(shí)數(shù)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

(2)如圖，當(dāng)該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C,直線尸一1與拋

物線交于4、B兩點(diǎn)、,并與它的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)D.

①拋物線上是否存在一點(diǎn)P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

若不存在，說(shuō)明理由；

②平移直線CD,交直線AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,通過(guò)怎樣的平移能使得C、D、

M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

(解

21(7、2

(1)-4x—x2m——二加？一4〃2+7=〃/一4加+4+3=(加一2)+3,??,不

2\2)

管機(jī)為何實(shí)數(shù)，總有(加一2)220,...△=(〃?—2『+3>0,...無(wú)論加為何實(shí)數(shù)，該拋

物線與戈軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

(2)V拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,加=3,

1519

拋物線的解析式為歹=QX2_3X+5=Q（X—3）2—2,頂點(diǎn)。坐標(biāo)為（3,-2）,

y=X—l,c1rr

J.=1x=7

解方程組415，解得〈或《?，所以4的坐標(biāo)為（1，0）、B

］尸5廠9-3x+5［弘=01%=6

的坐標(biāo)為（7,6）,：x=3時(shí)y=x—1=3—1=2,的坐標(biāo)為（3,2）,設(shè)拋物線的對(duì)

稱(chēng)軸與X軸的交點(diǎn)為E,則E的坐標(biāo)為（3,0）,所以Z￡=8E=3,DE=CE=2,

①假設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P使得四邊形ACPD是正方形，則"、CD互相垂直平分且

相等，于是尸與點(diǎn)8重合，但NP=6,CD=4,4P手CD,故拋物線上不存在一點(diǎn)P

使得四邊形力。尸。是正方形.

②（I）設(shè)直線CD向右平移〃個(gè)單位（M>0）可使得C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形，則直線8的解析式為x=3+〃，直線CO與直線1一1交于點(diǎn)〃

（3+M,2+”）,又：D的坐標(biāo)為（3,2）,C坐標(biāo)為（3,-2）,二。通過(guò)向下平

移4個(gè)單位得到C.

???C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，...四邊形COMN是平行四邊形或四邊

形CDVM是平行四邊形.

（i）當(dāng)四邊形CDMN是平行四邊形，向下平移4個(gè)單位得M

.?.N坐標(biāo)為（3+〃，n-2）,

又N在拋物線丁=gx2-3x+g上，—2=g（3+〃）2-3（3+〃）+g,

解得勺=0（不合題意，舍去），々=2，

（ii）當(dāng)四邊形C￡WM是平行四邊形，向上平移4個(gè)單位得M

?'.N坐標(biāo)為（3+〃，〃+6）,

又N在拋物線y=；x2-3x+g上，.?.”+6=；（3+〃）2-3（3+〃）+g,

解得〃i=l-g（不合題意，舍去），?2=i+Vn,

（II）設(shè)直線CD向左平移〃個(gè)單位（〃>0）可使得C、D、M.N為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形，則直線CZ）的解析式為x=3-〃，直線CD與直線尸一1交于點(diǎn)/（3-〃，

2-〃），又YD的坐標(biāo)為（3,2）,C坐標(biāo)為（3,—2）,二。通過(guò)向下平移4個(gè)單位得

至IJC.

???C、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，...四邊形COMN是平行四邊形或四邊

形CQNM是平行四邊形.

（i）當(dāng)四邊形8MN是平行四邊形，向下平移4個(gè)單位得M

坐標(biāo)為（3-〃，-2-n）,

又義在拋物線歹=；/一3%+：上，；.-2—〃=；（3—〃）2—3（3—〃）+：,

解得〃i=0（不合題意，舍去），々=-2（不合題意，舍去），

（ii）當(dāng)四邊形CQMW是平行四邊形，???加向上平移4個(gè)單位得N,

?，.N坐標(biāo)為（3-〃，6-〃），

又N在拋物線=：上，r.6-〃=；（3—〃）2—3（3—〃）+：,

解得4=-1+1萬(wàn)，〃2=T-J萬(wàn)（不合題意，舍去），

綜上所述，直線CD向右平移2或（1+J萬(wàn)）個(gè)單位或向左平移（-1+J萬(wàn)）個(gè)單位，可

使得C、。、M.N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

10.（2011湖北襄陽(yáng)，26,13分）

如圖10,在平面直角坐標(biāo)系xQy中，N8在x軸上，”=10,以48為直徑的。。，與y

軸正半軸交于點(diǎn)C,連接BC,AC.CD是。。，的切線，ADLCD于點(diǎn)D,tanZCAD=

2

拋物線y=?+〃x+c過(guò)4,B,C三點(diǎn).

（1）求證：NCAD=NCAB；

（2）①求拋物線的解析式；

②判定拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線C。上，并說(shuō)明理由；

（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使四邊形尸3。是直角梯形.若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)（不寫(xiě)求解過(guò)程）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

(1)證明：連接0(.

是。的切線，：.O'C±CD.............................................................1分

,：ADA.CD,：.O'C//AD,：.ZO'CA=ZCAD..........................................2分

"：O'C=O'A,：.ZO'CA=ZCAB

:.NCAD=NCAB...........................................................................................3分

（2）是。。，的直徑,：.ZACB=90°

'JOCLAB,:.NCAB=NOCB,：./\CAO<^ABCO,；.—=—

OAOC

即OC-=OAOB..............................................................................................4分

tanZCAO=tan^CAD=-,：.OA=2OC

2

又；Z5=10,/.OC2=2OCx(10-2OC)VOOO

：.OC=4,OA=8,OB=2.

：.A(-8,0),B(2,0),C(0,4).....................................................5分

?拋物線yna^+bx+c過(guò)N,B,C三點(diǎn)..,.c=4

由題意得，“+274=0,解之得「一4

164。-8b+4=03

ib=——

2

y=--x2——x+4..........................................................................................7分

42

(3)設(shè)直線OC交x軸于點(diǎn)F,易證△/OCg/X/OC,：.AD=AO=8.

'：O'C//AD,：AFO'Cs叢FAD,：.=—

AFAD

.?.8(5產(chǎn)+5)=5(54+10),/.BF=—,：.F(—,0)............................8分

33,

機(jī)=4_3

設(shè)直線。C的解析式為"質(zhì)+加，則16,，即I

—%+m=0.

3[m=4

y=—x+4.................................................................................................9分

4

.1,3.1,25

由v=——x~——x+4=——(x+3)-+—得4s

“4244

頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為￡(-3,3)...........................................................................10分

4

將E(-3,竺)代入直線。C的解析式y(tǒng)=-L+4中，

44

右邊=-3x(_3)+4="=左邊.

44

???拋物線的頂點(diǎn)E在直線CZ)上..............................11分

(3)存在.[(-10,-6),((10,-36)......................................................................13分

如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-3,0),(0,1),點(diǎn)

1,

y=-x+/?

D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)D做直線2交折現(xiàn)OAB

與點(diǎn)E。

(1)記AODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；

]_

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，且tan/DEO=2。若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)

圖形為四邊形,試探究四邊形q44G與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生

變化，如不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【答案】

3

解(1)由題意得B(-3,1).若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)時(shí)，則b=2；

5

若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(-3,l)時(shí)，則b=2；

若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,l)時(shí)，則b=l；

3

①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即l<bW2,如圖(1),此時(shí)E(-2b,0),

-0E[lC0=-x2bx\=b

???S=22

353

②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即2<b<2,如圖(2),此時(shí)點(diǎn)E(-3,b-2),

D(-2b+2,l)

?S=S矩-(SJJOCD+SJDBE+SJOAE)"

3-1(2b-2)xl+1x(5-2b)[^|-^+1x3^-|^

=-b—b2

2

3

b(l<b<-)

2

s=<

5,,2.35

(2)如圖3,設(shè)0|A|與CB相交與點(diǎn)M,OA與C|B|相交與點(diǎn)N,則矩形O]A|B]C|

與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。由題意知，DM〃NE,DN〃

ME,四邊形DNEM為平行四邊形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)知，ZMED=ZNED,又NMDE=NNED,

；.MD=ME,四邊形DNEM為菱形。

￡

過(guò)點(diǎn)D作DH_LOA,垂足為H,依題意知，tanNDEH=2,DH=1,

HE=2,設(shè)菱形DNEM的邊長(zhǎng)為a,則在RtADHN中，由勾股定理知：

55

22

a=(2-a)+1,.S矩DNEM=NEDH/

，????'

5

矩形0|A|B)C,與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為

(第24題答案圖(1))(第24題答案圖(2))

517

12.(2011廣東中山，22,9分)如圖，拋物線歹=一一一+—x+1與y軸交于點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)/

44

的直線與拋物線交于另一點(diǎn)8,過(guò)點(diǎn)8作BCLx軸，垂足為點(diǎn)C(3,0).

(1)求直線Z8的函數(shù)關(guān)系式；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸在線段OC上，從原點(diǎn)。出發(fā)以每鈔一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)尸作，x

軸，交直線于點(diǎn)”，拋物線于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)尸移動(dòng)的時(shí)間為f秒，的長(zhǎng)為s個(gè)單位，

求s與/的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出，的取值范圍；

(3)設(shè)(2)的條件下(不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)。，點(diǎn)G重合的情況)，連接CM,BN,當(dāng)，為何

值時(shí)，四邊形8G0N為平等四邊形？問(wèn)對(duì)于所求的t的值，平行四邊形8cMN是否為菱形？

5175

把x=3代入y=-區(qū)》2+1X+1,得y=5,

:.A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別(0,1)、(3,-)

2

設(shè)直線AB的解析式為y=+代入A、B的坐標(biāo)，得

b=1b=l

,5，解得,

3k+b=一k=-

2

所以，y=—x+1

,2

i517

(2)把x=t分別代入到y(tǒng)=3工+1y=--Xi24-—x+l

i517

分別得到點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)為乙+1和-42++1

244

,517,1八515

??MN二12-\1+1-z(-1+1)=1241

44244

即s=-2〃+與

44

?.?點(diǎn)P在線段0C上移動(dòng)，

，0WtW3.

(3)在四邊形BCMN中，：BC〃MN

/.當(dāng)BC=MN時(shí)，四邊形BCMN即為平行四邊形

由+"/=*,得/=l,f=2

44212

即當(dāng)f=l或2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形

3