淺析常數(shù)變易法第1頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一什么是常數(shù)變易法？常數(shù)變易法是求解一階非齊次線性常微分方程的重要方法，即將常數(shù)變易為待定函數(shù)，通過求解待定函數(shù)的表達式進而求出原方程通解一階線性常微分方程解法：例如：定義：南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第2頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一深入探析常數(shù)變易法揭開神秘面紗之一：常數(shù)變易法的本質齊次方程：解法：步驟一：設步驟二：此時，u已被視為x的函數(shù)將代回原式，就得到關于u與x的方程，從而求解常數(shù)變易實質上是未知變量代換的過程南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第3頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一VS此時，二者的本質相同，只是常數(shù)變易法中的變量代換更為復雜，不易辨別。常數(shù)變易法的目的是將原方程變換為只含與的方程。從而求出小結：常數(shù)變易與變量代換是相互滲透相互聯(lián)系的齊次的或可化為齊次的方程中所代換的是一個變量而一階線性非齊次常微分方程中，由于方程的復雜性，因此被代換的是一個表達式南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第4頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一揭開神秘面紗之二：常數(shù)變易法與迭加原理n階常系數(shù)非齊次線性方程解法：++通解這種形式的方程與我們所研究的一階線性非齊次常微分方程有某種程度的相似性

我們是否可以按上述方法將其分解為兩個方程分別求解，最終得到通解呢？南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第5頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一經過推導，驗證了我們的猜想。具體過程如下：+變形：南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第6頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一可見，通過此方法求得的結果與常數(shù)變易法結果實質上是一致的。我們也可以通過實際例題來加以驗證，結論亦成立。例題1：+將上述結果進行求導：除此之外，上述方法還具有更強的簡易性與廣泛性。當方程右端為多個式子組成的更復雜的函數(shù)時，我們仍然可以使用此方法得到通解。南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第7頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一例題2：四式代數(shù)和即為原方程通解！此方法大大簡化了運算過程，從而降低了運算量！南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第8頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一…………各方程特解與齊次方程通解的代數(shù)和即為原n階非齊次方程的通解南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第9頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一由此，對于最初所研究的一階線性常微分方程，又增加了一種十分重要的解法。雖然結果形式上不同，但本質相同。形式不同的結果之間只相差一個常數(shù)。小結：南開大學第八屆大學生文化素質教育節(jié)暨第四屆大學生“數(shù)學之美”論壇第10頁，共12頁，2023年，2月20日，星期一感悟：著力去挖掘隱藏在結論背后的理論與方法間本質的聯(lián)系數(shù)學的魅力在于探求結果過程中邏輯思維的運用，聯(lián)想能力的拓展與鍥而不舍的鉆研精神三者的融會貫通學會的不僅是一種方法，而是一種思想數(shù)學之中體現(xiàn)哲學真理不斷嘗試，不斷求索，就會加深理解，拓寬思維的深度與廣度第11頁，共1