弟一早

1.什么是博弈？博弈論的主要研究內容是什么？

參考答案：

博弈可以用下述方式定義：“博弈即一些個人、隊組或其他組

織,面對一定的環(huán)境條件，在一定的規(guī)則下，同時或先后，一次或多

次，從各自允許選擇的行為或策略中進行選擇并加以實施，各自取

得相應結果的過程”。一個博弈必須包含博弈方、策略空間、博弈的

次序和得益（函數(shù)）這幾個基本的方面。信息結構、博弈方的行為邏

輯和理性層次等其實也是博弈問題隱含或者需要明確的內容e

博弈論是系統(tǒng)研究可以用上述方法定義的各種博弈問題，尋

求在各博弈方具有充分或者有限理性、能力的條件下，合理的策略

選擇和合理選擇策略時博弈的結果，并分析這些結果的經(jīng)濟意義、

葉我的理婚和方法豁

2.設定一個博弈模型必須確定哪幾個方面？

參考答案：

設定一個博弈必須確定的方面包括：（1）博弈方，即博弈中進

行決策并承擔結果的參與者；（2）策略（空間），即博弈方選擇的內

容，可以是方向、取舍選擇，也可以是連續(xù)的數(shù)量水平等;（3）得益

或得益函數(shù)，即博弈方行為、策略選擇的相應后果、結果，必須是數(shù)

量或者能夠折算成數(shù)量；（4）博弈次序，即博弈方行為、選擇的先

后次序或者重復次數(shù)等；（5）信息結構，即博弈方相互對其他博弈

方行為或最終利益的了解程度；（6）行為邏輯和理性程度，即博弈

方是依據(jù)個體理性還是集體理性行為，以及理性的程度等。如果

設定博弈模型時不專門設定后兩個方面,就是隱含假定是完全、完

美信息和完全理性的非合作博弈。

3.舉出煙蕈、餐飲、股市、房地產(chǎn)、廣告、電視等行業(yè)的競爭中策略

相互依存的例子。

參考答案：

煙草廠商新產(chǎn)品開發(fā)、價格定位的效果，常常取決于其他廠

商、競爭對手的相關競爭策略。例如某卷煙廠準備推出一種高價

極品煙，該計劃能否成功常取決于其他廠商是否采取同樣的策略。

如果其他廠商也推出高價極品煙，而且檔次、宣傳力度比前者還要

高、要大，那么前者的計劃成功的難度就很大，但如果沒有其他廠

商推出同類產(chǎn)品，則前述某廠商的計劃成功的可能性就很大。

房地產(chǎn)開發(fā)企業(yè)在選址、開發(fā)規(guī)模、目標客戶定位等方面，也

常常存在相互制約的問題。例如一個城市當時的住房需求約

10000平方米，如果其他廠商已經(jīng)開發(fā)了8000平方米，那么你再

開發(fā)5000平方米就會導致供過于求，銷售就會發(fā)生困難，但如果

其他廠商只開發(fā)了不到5000平方米，那么你開發(fā)5000平方米就

是完全合理的。

讀者可進一步給出更多例子，并考慮建立這些博弈問題的詳

細模型并加以討論。

4.“囚徒的困境”的內在根源是什么？舉出現(xiàn)實中囚徒的困境的

具體例子。

參考答案：

“囚徒的困境”的內在根源是在個體之間存在行為和利益相互

制約的博弈結構中，以個體理性和個體選擇為基礎的分散決策方

式，無法有效地協(xié)調各方面的利益，并實現(xiàn)整體、個體利益共同的

最優(yōu)。簡單地說,“囚徒的困境”問題都是個體理性與集體理性的

矛盾引起的。

現(xiàn)實中“囚徒的困境”類型的問題是很多的。例如廠商之間的

價格戰(zhàn)、惡性的廣告競爭，初等、中等教育中的應試教育等，其實都

是“囚徒的困境”博弈的表現(xiàn)形式。

S.博弈有睇些分類方法,有哪些主要的類型？

參考答案：

首先可根據(jù)博弈方的行為邏輯，是否允許存在有約束力協(xié)議,

分為非合作博弈和合作博弈兩大類C

其次可以根據(jù)博弈方的理性層次，分為完全理性博弈和有限

理性博弈兩大類，有限理性博弈就是進化博弈。

第三是可以根據(jù)博弈過程分為靜態(tài)博弈、動態(tài)博弈和重復博

弈三大類。

第四是根據(jù)博弈問題的信息結構，根據(jù)博弈方是否都有關于

得益和博弈過程的充分信息，分為完全信息靜態(tài)博弈、不完全信息

靜態(tài)博弈、完全且完美信息動態(tài)博弈、完全但不完美信息動態(tài)博弈

和不完全信息動態(tài)博弈幾類。

笫五是根據(jù)得益的特征分為零和博弈、常和博弈和變和博弈。

第六是根據(jù)博弈中博弈方的數(shù)量，可將博弈分為單人博弈、兩

人博弈和多人博弈。

第七是根據(jù)博弈方策略的數(shù)鼠，分為有限博弈和無限博弈

兩類0

6.博弈論在現(xiàn)代經(jīng)濟學中的作用和地位如何？為什么？

參考答案：

博弈論為現(xiàn)代經(jīng)濟學提供了一種高效率的分析工具。博弈論

在分析存在復雜交互作用的經(jīng)濟行為和決策問題，以及由這些經(jīng)

濟行為所導致的各種社會經(jīng)濟問題和現(xiàn)象時，是非常有效的分析

工具。與其他經(jīng)濟分析工具相比，博弈論在分析問題的廣度和深

度，在揭示社會經(jīng)濟現(xiàn)象內在規(guī)律和人類行為本質特征的能力方

面,都更加有效和出色。正是因為這些特點，博弈論的產(chǎn)生和發(fā)展

引發(fā)了一場深刻的經(jīng)濟學革命，使得現(xiàn)代經(jīng)濟學從方法論，到概念

和分析方法體系，都發(fā)生了很大的變化。

博弈論既是現(xiàn)代經(jīng)濟學的重要分支，也是整個現(xiàn)代經(jīng)濟學，包

括微觀經(jīng)濟學、宏觀經(jīng)濟學等基礎理論學科，以及產(chǎn)業(yè)組織理論、

環(huán)境經(jīng)濟學、勞動經(jīng)濟學、福利經(jīng)濟學、國際貿易等應用經(jīng)濟學科，

共同的核心分析工具。不懂博弈論就等于不懂現(xiàn)代經(jīng)濟學。20

世紀90年代中期以來博弈論領域的經(jīng)濟學家已經(jīng)三次獲得經(jīng)濟

學諾貝爾獎，包括1994年的納什(Nash)、海薩尼(J.Harsanyi)和

塞爾頓(R.Selten),1996年的莫里斯(JamesA.Mirrlees)和維克

瑞(WilliamVickrey),2001年的阿克洛夫(Akerlof)、斯潘斯

(Spence)、斯蒂格利茲(Stiglitz)。

博弈論在經(jīng)濟學中的地位上升這么快，首先是因為現(xiàn)代經(jīng)濟

中經(jīng)濟活動的博弈性越來越強，因此只有用博弈論的思想和研究

方法才能有效地進行研究。其次是因為信息經(jīng)濟學發(fā)展的推動，

囚為博弈論是信息經(jīng)濟學最主要的理論基礎。第三是博弈論本身

的方法論比較科學嚴密，因此結論可信度很高，揭示社會經(jīng)濟事物

內在規(guī)律的能力比一般經(jīng)濟理論更強。

7.博弈論的發(fā)展前景如何？

參考答案：

無論是從社會經(jīng)濟發(fā)展的客觀要求，還是從經(jīng)濟學理論發(fā)展

本身的規(guī)律來看，博弈論都有很大的發(fā)展前途。

首先，博弈理論本身具有優(yōu)美深刻的本質魅力，新的分析工具

和應用領域的不斷發(fā)現(xiàn),以及博弈論價值得到越來越充分的認識，

不斷吸引大量學者加入學習、研究和應用博弈論的隊伍。這是博

弈論繼續(xù)向前發(fā)展的根本基礎和保證。

其次，在博弈規(guī)則的來源、博弈方的行為模式和理性等基礎理

論方面，博弈論還存在不少沒有很好解決的問題，有待進一步研究

和解決。這正是博弈論未來發(fā)展的動力所在。

第三，金融、貿易、法律等領域不斷提出新的博弈論應用課題，

這些應用問題和成果與博弈理論的發(fā)展之間形成了一種相互促進

的良性循環(huán)。這也是今后博弈論進一步發(fā)展的巨大動力，

第四，當前合作博弈理論發(fā)展相對落后，這個領域有很大的發(fā)

展?jié)摿?，很可能會孕育出引發(fā)經(jīng)濟學新革命的重大成果。非合作

博弈和合作博弈理論的重新相互融合，也可能給博弈論的發(fā)展提

出新的方向和課題。

9.你正在考慮是否投資100萬元開設一家飯店。假設情況是這

樣的：你決定開，則0.35的概率你將收益300萬元(包括投

資)，而0?65的概率你將全部虧損掉；如果你不開，則你能保住

本錢但也不會有利潤。請你(a)用將賽矩陣和擴展形表示該博

弈。(b)如果你是風險中性的，你會怎樣選擇？(c)如果成功概

率降到0.3,你怎樣選擇？(d)如果你是風險規(guī)避的，且期望將

益的折扣系數(shù)為0.9,你的策略選擇是什么？(e)如果你是風瞼

偏好的，期望得益折算系數(shù)為L2,你的選擇又是什么？

參考答案：

(a)根據(jù)問題的假設，該博弈的得益矩陣和擴展形表示分別

如下：

.(b)如果我是風險中性的，那么根據(jù)開的期望收益與不開收

益的比較：

0.35X300+0.65X0=105>100

肯定會選擇開。

(c)如果成功的概率降低到0.3,那么因為這時候開的期望收

益與不開的收益比較：

0.30X300+0.70X0=90<100

因此會選擇不開，策略肯定會變化。

(d)如果我是風險規(guī)避的，開的期望收益為：

0.9X(0.35X300+0.65X0)=0.9X105=94.5<100

因此也不會選擇開。

(e)如果我是風險偏好的，那么因為開的期望收益為：

1.2X(0.35X300+0.65X0)=1.2X105=126>100

因此這時候肯定會選擇開。

10.一逃犯從關押他的監(jiān)獄中逃走，一看守奉命追捕。如果逃犯

逃跑有兩條可選擇的路線，看守只要追捕方向正確就一定能

抓住逃犯。逃犯逃脫可少坐10年牢，但一旦被抓住則要加刑

10年；看守抓住逃犯能得1000元獎金。請分別用得益矩陣

和擴展形表示該博弈，并作簡單分析。

參考答案；

首先需要注意的是，在該博弈中兩博弈方的得益單位不同，逃

犯得到的是增加或者減少的刑期(年)，而看守得到的則是獎金

(元)，因此除非先利用效用概念折算成相同的單位,否則兩博弈方

的得益相互之間不能比較和加減。

直接采用單位不同的得益，該博弈的得益矩陣如下：

看守

路線一路線二

逃路線一10,100010,0

犯路線二10,0-10,1000

該博弈的擴展形表示如下:

(10,1000)(10,0)(10,0)(10,1000)

根據(jù)上述得益矩陣和擴展形不難清楚，該博弈中兩博弈方的

利益是對立的。雖然由于兩博弈方得益的單位不同，相互之間得

益無法相加，因此無法判斷是否為零和博弈,但兩博弈方關系的性

質與猜硬幣等博弈相同，也是對立的。因此,該博弈同樣沒有兩博

弈方都愿意接受的具有穩(wěn)定性的策略組合，兩博弈方最合理的策

略都是以相同的概率隨機選擇路線。

1.3補充習題

1.判斷下列論述是否正確，并作簡單分析。

(1)單人博弈就是個人最優(yōu)化決策，與典型的博弈問題有本質

區(qū)別。

(2)博弈方的策略空間必須是數(shù)量空間，博弈的結果必須是數(shù)

量或者能夠數(shù)量化。

(3)囚徒的困境博弈中兩個囚徒之所以會處于困境，無法得到

較理想的結果，是因為兩囚徒都不在乎坐牢時間長短本

身，只在乎不能比對方坐牢的時間更長。

(4)因為零和博弈中博弈方之間的關系都是競爭性的、對立

的,因此零和博弈就是非合作博弈。

(5)凡是博弈方的選擇、行為有先后次序的一定是動態(tài)博弈。

(6)多人博弈中的“破壞者”會對所有博弈方的利益產(chǎn)生不利

影響。

(7)合作博弈就是博弈方采取相互合作態(tài)度的博弈。

一(1)正確。因為單人博弈只有一個博弈方，因此不可能存在

博弈方之間行為和利益的交互作用和制約，因此實際上就是個人

最優(yōu)化決策，與存在博弈方之間行為和利益交互作用和制約的典

型博弈問題有本質的區(qū)別。

(2)前半句錯誤，后半句正確。博弈方的策略空間不一定是

數(shù)量空間，因為博弈方的策略除了可以是數(shù)量水平(如產(chǎn)量、價格

等)以外,也可以是各種定性的行為取舍和方向選擇，甚至也可能

是各種函數(shù)或者其他更復雜的內容。但一個博弈的結果必須是數(shù)

量或者可以數(shù)量化，因為博弈分析只能以數(shù)量關系的比較為基礎。

(3)錯誤°結論恰恰相反，也就是囚徒的困境博弈中兩囚徒

之所以處于困境，根源正是因為兩囚徒很在乎坐牢的絕對時間長

短。此外,我們一開始就假設兩囚徒都是理性經(jīng)濟人，而理性經(jīng)濟

人都是以自身的(絕對)利益，而不是相對利益為決策目標的C

(4)錯誤。雖然零和博弈中博弈方的利益確實是對立的，但

非合作博弈的含義并不是博弈方之間的關系是競爭性的、對立的，

而是指博弈方是以個體理性、個體利益最大化為行為的邏輯和依

據(jù)，是指博弈中不能包含有約束力的協(xié)議。

(5)錯誤。其實并不是所有選擇、行為有先后次序的博弈問

題都是動態(tài)博弈。例如兩個廠商先后確定自己的產(chǎn)量，但只要后

確定產(chǎn)量的廠商在定產(chǎn)之前不知道另~廠商定的產(chǎn)量是多少，就

是靜態(tài)博弈問題而非動態(tài)博弈問題。

(6)錯誤。多人博弈中的“破壞者”對博弈方的利益是否有影

響和影響方向是不確定的。事實上，正是因為這種不確定性才被

視為“破壞者:這種“破壞者”實質上是指對博弈分析造成破壞,

而不是對博弈方的利益造成破壞，因此肯定會受到不利影響的是

博弈分析者而不是博弈方，

(7)不正確。合作博弈在博弈論中專門指博弈方之間可以達

成和運用有約束力協(xié)議限制行為選擇的博弈問題，與博弈方的態(tài)

度是否合作無關。

2.博弈與游戲有什么關系？

參考答案：

現(xiàn)代博弈論和經(jīng)濟學中的博弈通常指人們在經(jīng)濟、政治、軍事

等活動中的策略選擇，特別是在有各種交互作用、策略互動條件下

的策略選擇和決策較量。游戲則是指日常生活中的下棋打牌、賭

勝博彩，以及田徑、球類等各種體育比賽。因此博弈和游戲之間當

然是有明顯差別的。但博弈和游戲之間其實也有重要的聯(lián)系，因

為博弈與許多游戲之間在本質特征方面有相同的特征：（1）都有

一定的規(guī)則"2）都有能用正或負的數(shù)值表示，或能按照一定的規(guī)

則折算成數(shù)值的結果；（3）策略至關重要；（4）策略和利森有相互

依存性。正是因為存在這些共同的本質特征，因此從研究游戲規(guī)律

得出的結論可用來指導經(jīng)濟政治等活動中的決策問題，或者把這些

決策問題當作游戲問題研究c因此博弈在一定程度上可以理解成

就是游戲。其實“博弈”的英文名稱“Game”的基本意義就是游戲。

4,對于教材1.2.3中三個廠商離散產(chǎn)■的古諾模型，你認為三個

廠商或其中部分廠商可以采取哪些措施方法爭取實現(xiàn)更大的

利益？

參考答案：

第一種有用的措施是改變三個廠商分散決策的局面，通過訂

立有強制性、約束力的協(xié)議，限制各自的產(chǎn)量，把總產(chǎn)量控制在壟

斷產(chǎn)員10單位的水平，以維持較高的價格11和實現(xiàn)最大利潤的

目的c這時候實際上是把非合作博弈問題轉化成了合作博弈問

題.這種措施需要三個廠商之間能夠協(xié)調立場，達成可靠的協(xié)議,

事實上就是建立一種緊密的聯(lián)盟關系.這種措施的奏效當然是有

條件的，包括國家法律政策的許可和廠商的協(xié)調能力等。

第二種措施或辦法是其中的一個或兩個廠商吞并、收購其他

廠商，從而減少廠商的數(shù)量，降低決策的分散程度C這種方法同樣

能夠有效控制總產(chǎn)量和實現(xiàn)最大利潤。當然，這種措施是否能夠

成功也取決于政策、市場等多方面的因素和環(huán)境條件，如果缺乏條

件或成本太高就不一定可行.

5.一個工人給一個老板干活，工資標準是100元。工人可以選擇

是否偷懶，老板則選擇是否克扣工費。假設工人不偷懶有相當

于50元的負效用，老板想克扣工資則總有借口扣掉60元工

資，工人不偷懶老板有150元產(chǎn)出，而工人偷懶時老板只有80

元產(chǎn)出，但老板在支付工資之前無法知道實際產(chǎn)出，這些情況

是雙方都知道的。請問

(1)如果老板完全能夠看出工人是否偷懶，博弈屬于哪種類

型？用得益矩陣或擴展形表示該博弈并作簡單分析。

(2)如果老板無法看出工人是否偷懶,博弈屬于哪種類型？用

得益矩陣或擴展形表示并簡單分析。

(1)由于老板在決定是否克扣工資前可以完全清楚工人是否

偷懶，因此這是一個動態(tài)博弈，而且是一個完全信息的動態(tài)博弈。

此外，由于雙方都有關于得益的充分信息，因此這是一個完全且完

美信息的動態(tài)博弈。該博弈用擴展形表示如下：

根據(jù)上述得益情況可以看出，在該博弈中偷懶對工人總是有

利的，克扣對老板也總是有利的，因此在雙方都只考慮自己的利益

最大化的情況下,該博弈的通常結果應該是工人偷懶和老板克扣。

(2)由于老板在決定是否克扣工資之前無法清楚工人是否偷

懶，因此該博弈可以看作靜態(tài)博弈。由于雙方仍然都有關于得益

陣表示如下：

老板

克扣不克扣

工偷懶40,40100.-20

人不偷懶-10,11050,50

其實,根據(jù)該得益矩陣不難得到與上述動態(tài)博弈同樣的結論,

仍然是工人會選擇偷懶和老板會選擇克扣。這個博弈實際上與囚

徒的困境是相似的。

第二章完全信息靜態(tài)博弈

1.上策均衡、嚴格下策反復消去法和納什均衡相互之間的關系是

什么？

參考答案：

上策均衡是各博弈方絕對最優(yōu)策略的組合，而納什均衡則是

各博弈方相對最優(yōu)策略的組合。因此上策均衡是比納什均衡要求

更高,更嚴格的均衡概念。上策均衡一定是納什均衡，但納什均衡

不一定是上策均衡c對于同一個博弈來說，上策均衡的集合是納

什均衡集合的子集,但不一定是真子集。

嚴格下策反復消去法與上策均衡分別對應兩種有一定相對性

的決策分析思路:嚴格下策反復消去法對應排除法，即排除絕對最

差策略的分析方法；上策均衡對應選擇法，即選擇絕對最優(yōu)策略的

均衡概念。嚴格下策反復消去法和上策均衡之間并不矛盾，甚至

可以相互補充，因為嚴格下策反復消去法不會消去任何上策均衡，

但卻可以簡化博弈。

嚴格下策反復消去法與納什均衡也是相容和補充的，因為嚴

格下策反復消去法把嚴格下策消去時不會消去納什均衡，但卻能

簡化博弈,使納什均衡分析更加容易。

2.為什么說納什均衡是博弈分析中最重要的概念？

參考答案：

之所以說納什均衡是博弈分析（非合作博弈分析）最重要的概

念，主要原因是納什均衡與其他博弈分析概念和分析方法相比，具

有兩方面的優(yōu)秀性質。

第一是一致預測性質。~致預測性是保證納什均衡具有內在

穩(wěn)定性,能作出可靠的預測的根本基礎。而且只有納什均衡才有

這種性質，其他均衡概念要么不具有一致預測性，要么本身也是納

什均衡，是納什均衡的組成部分，因此一致預測性是納什均衡的本

質屬性。

第二是普遍存在性。納什定理及其他相關定理保證在允許采

用混合策略的情況下，在我們關心的所有類型博弈中都存在納什

均衡。這意味著納什均衡分析方法具有普遍適用性。相比之下，

其他各種均衡概念和分析方法，如上策均衡、嚴格下策反復消去

法、嚴格上策均衡等，則可能在許多博弈中不存在，從而限制了它

們的作用和價值。

納什均衡是惟一同時具有上述兩大性質的博弈分析概念,而

且它也是其他各種博弈分析方法和均衡概念的基礎，因此納什均

衡是傅弈分析中最重要、作用最大的概念。

3.找出現(xiàn)實經(jīng)濟或生活中可以用帕累托上策均衡、風險上策均衡

分析的例子。

解答提示：

帕累托上策均衡通常在分析存在多重納什均衡，不同納什均

衡之間有優(yōu)劣關系的博弈問題時有用，因此適合用來討論現(xiàn)實中

我們常說的共廉、多贏可能性或者條件等。例如兩個企業(yè)之間的

技術、投贊合作，勞資關系，或者兩個國家之間政治、軍事和外交沖

突等往往都可以用帕累托上策均衡概念進行分析。風險上策均衡

通常是在有一定不確定性,而且不確定性主要來源于客觀因素、環(huán)

境因素的博弈問題。例如人們對就業(yè)行業(yè)和職業(yè)的選擇，人們在

銀行存款和股市投資之間的選擇，以及投資和產(chǎn)品、技術開發(fā)方面

的決策等問題都可以用風險上策均衡概念進行分析。_________=

4.多?納什均衡是否會影響納什均衡的一致預測性質，對博弈分

析有什么不利影晌？

參考答案：

多重納什均衡不會影響納什均衡的一致預測性質。這是因為

一致預測性不是指各個博弈方有一致的預測，而是指每個博弈方

自己的策略選擇與自己的預測一致。

對博弈分析主要的不利影響是，當博弈存在多重納什均衡，而

且相互之間沒有明確的優(yōu)劣之分時,會造成預測分析的困難，影響

以納什均衡為核心的博弈分析的預測能力c存在帕累托上策均

衡、風險上策均衡、聚點均衡或相關均衡的可能性，并且博弈方相

互之間有足夠的默契和理解時，多重納什均衡造成的不利影響會

較小C

5.下面的得益矩陣表示兩博兗方之間的一個靜態(tài)博弈。該博弈

有沒有純策略納什均衡？博弈的結果是什么？

博弈方2

LCR

T

博

2f0114?2

弈M

方3941?223

1

B

13023>0

參考答案：

首先，運用嚴格下策反復消去法的思想，不難發(fā)現(xiàn)在博弈方1

的策略中，B是相對于T的嚴格下策，因此可以把該策略從博弈

方1的策略空間中消去。把博弈方1的B策略消去后又可以發(fā)

現(xiàn),博弈方2的策略中C是相對于R的嚴格下策,從而也可以消

去。在下面的得益矩陣中相應策略和得益處劃水平線和垂直線表

示消去了這些策略。

博弈方2

T

博2,01,14,2

弈M

方3,41,22,3

1f

.......qn

1.JAUV￡J.U

兩個博弈方各消去一個策略后的博弈是如下的兩人2義2博

弈，已經(jīng)不存在任何嚴格下策。再運用劃線法或箭頭法，很容易發(fā)

現(xiàn)這個2X2博弈有兩個純策略納什均衡(M,L)和(T,R)。

博

弈

方2

博T

弈2,04,2

方M

13,42,3

由于兩個純策略納什均衡之間沒有帕累托效率意義上的優(yōu)劣

關系，雙方利益有不一致性，因此如果沒有其他進一步的信息或者

決策機制,一次性靜態(tài)博弈的結果不能肯定。由于雙方在該博弈

中可能采取混合策略，因此實際上該博弈的結果可能是4個純策

略組合中的任何一個。

6.求出下圖中得益矩陣所表示的博弈中的混合策略納什均衡。

博弈方2

LR

博T

弈210,2

方B

1

1?23,0

參考答案：

根據(jù)計算混合策略納什均衡的一般方法，設博弈方1采用T

策略的概率為戶,則采用B策略的概率為】一人再設博弈方2采

用策略L的概率為q,那么采用策略R的概率是1—qo根據(jù)上述

概率分別計算兩個博弈方采用各自兩個純策略的期望得益，并令

它們相等：

2q=q+3(1q)

p+2(1—力)=2p

解匕述兩個方程，得。=2/3,q=3/4.即該博弈的混合策略

納什均衡為:博弈方1以概率分布2/3和1/3在T和B中隨機選

擇;博弈方2以概率分布3/4和1/4在【，和R中隨機選擇，

7.博弈方1和博弈方2就如何分10000萬元錢進行討價還價。假

設確定了以下規(guī)則：雙方同時提出自己要求的數(shù)額.和“，

04黯，*W10000。如果SI+”W10000,則兩博弈方的要求

都得到滿足，即分別得S［和S2,但如果陽+的>10000,則該筆

錢就被沒收。問讀博弈的純策略納什均衡是什么？如果你是其

中一個博弈方，你會選擇什么數(shù)額，為什么？

參考答案：

我們用反應函數(shù)法來分析這個博弈。先討論博弈方1的選

擇。根據(jù)問題的假設，如果博弈方2選擇金額m(0</<

10000),則博弈方1選擇”的利益為：

當Si&10000—52

當>>10000-S2

因此博弈方1采用力=10000-5,時，能實現(xiàn)自己的最大利益

?(*1)=北=10000—S”因此.”=10000-S，就是博弈方1的

反應函數(shù)。

博弈方2與博弈方1的利益函數(shù)和策略選擇是完全相似的，

因此對博弈方1所選擇的任意金額si，博弈方2的最優(yōu)反應策略,

也就是反應函數(shù)是52=10000—s}o

顯然，上述博弈方1的反應函數(shù)與博弈方2的反應函數(shù)是完

全重合的，因此本博弈有無窮多個納什均衡，所有滿足該反應函

數(shù)，也就是=+*=1000。的數(shù)組(5一52)都是本博弈的純策略納

什均衡。

如果我是兩個博弈方中的一個，那么我會要求得到5000元。

理由是在該博弈的無窮多個純策略納什均衡中.(5000,5000)既

是比較公平和容易被雙方接受的，也是容易被雙方同時想到的一

個，因此是一個聚點均衡。

8.設古諾模型中有〃家廠商。S為廠商i的產(chǎn)■,Q=qt+…+q”

為市場總產(chǎn)■小為市場出清價格，且已知P=P(Q)=。一

。(當QVa時，否則P=0)。假設廠商i生產(chǎn)q,產(chǎn)■的總成本

為G=G(q/=卬,，也就是說沒有固定成本且各廠商的邊際

成本都相同，為常數(shù)c(cV假設各廠商同時選擇產(chǎn)■，詼模

型的納什均衡是什么？當n趨向于無窮大時博弈分析是否仍然

有效？

(1)根據(jù)問題的假設可知各廠商的利潤函數(shù)為：

*

n,~pq.-cq,=(a—t{,—一eg,

其中1,…，心將利潤函數(shù)對g,求導并令其為。得：

器=a-￡q,-('-2q,=0

解得各廠商對其他廠商產(chǎn)量的反應函數(shù)為：

q，=(a_2%-c)/2

根據(jù)〃個廠商之間的對稱性，可知g；=q；=…=q；必然成立。

代入上述反應函數(shù)可解得：

因此該博弈的納什均衡是所有n個廠商都生產(chǎn)產(chǎn)量號。

(2)當“趨于無窮時，所分析的市場不再是一個寡頭市場而

是完全競爭市場,此時上述博弈分析方法其實是不適用的。

9.兩寡頭古諾模型,P(。)=a-Q等與上題相同，但兩個廠商的

邊際成本不同，分別為％和口。如果0Vc,Va/2,問納什均衡

產(chǎn)?各為多少？如果c,Vc?V*但2c?>a+q,則納什均衡產(chǎn)

■又為多少？

參考答案：

(1)兩個廠商的利潤函數(shù)為：

a=內，-C,q,-(a—g,—qj)q,—c&t

將利潤函數(shù)對產(chǎn)量求導并令其為0得：

g=a-%-c,-2q,=0

解得兩個廠商的反應函數(shù)為：

S~(a—4,—C.)/2

或具體寫成：

<7i1=(a—g2—Ci)/2

q2=(a—qtc：)/2

(2)當0V,,<a/2時，我們根據(jù)上述兩個廠商的反應函數(shù)，

直接求出兩個J商的納什均衡產(chǎn)量分別為：

u-2ci+c

3------O--2--

。+q—2c

牝二一3一

(3)當Q但2a>a+c-i時，根據(jù)反應函數(shù)求出來

的廠商2產(chǎn)址sV0-這意味著廠商2不會生產(chǎn).這時廠商1成了

壟斷廠商，廠商1的最優(yōu)產(chǎn)量選擇是利潤最大化的壟斷產(chǎn)景

.a—Ci

s=q=-j-

因此這種情況下的納什均衡為［(。一。)/2,0］。

10.甲、乙兩公司分屬兩個國家，在開發(fā)某種新產(chǎn)品方面有下面得

益矩陣表示的博弈關系(單位：百萬美元)。該博弈的納什均

衡有哪些？如果乙公司所在國政府想保護本國公司利益，有

什么好的方法？

乙公司

開發(fā)不開發(fā)

開發(fā)—10.-10100.0

不開發(fā)0.1000,。

參考答案：

(1)用劃線法或箭頭法等不難找出本博弈的兩個純策略納什

均衡(開發(fā)，不開發(fā))和(不開發(fā),開發(fā))，即甲乙兩個公司中只有一

家公司開發(fā)是納什均衡，而兩家公司都開發(fā)或都不開發(fā)不是納什

均衡。此外該博弈還有一?個混合策略納什均衡。根據(jù)混合策略納

什均衡的計算方法，不難算出本博弈的混合策略納什均衡是兩個

公司都以(10/11,1/11)的概率分布隨機選擇開發(fā)或不開發(fā)。本

博弈的兩個純黃略納什均衡前一個對甲有利，后一個對乙有利。

混合策略納什均衡也并不是好的選擇，因為結果除了仍然最多是

對一方有利的純策略納什均衡以外，還可能出現(xiàn)大家不開發(fā)浪費

了機會，或者大家開發(fā)撞車的可能。

(2)根據(jù)上述分析我們知道，如果沒有其他因素的影響，該博

弈的兩個博弈方誰都無法保證博弈的結果有利于自己。乙公司所

在國政府可能保護本國公司的利益，促使博弈結果有利于本國乙

公司的途徑.是設法改變上述博弈的利益結構.從而促使有利于本

國乙公司的均衡出現(xiàn)。

政府改變博弈得益結構的有效方法是對本國公司的開發(fā)活動

進行補貼。例如若乙?公司所在國政府對乙公司的開發(fā)活動提供

20單位（百萬美元）財政補貼，則該博弈的得益矩陣轉變?yōu)?/p>

乙公司

開發(fā)不開發(fā)

開發(fā)-10,10100,0

不開發(fā)0,1200,0

不難發(fā)現(xiàn)乙公司所在國政府對乙公司開發(fā)活動的補貼，已經(jīng)

使得開發(fā)變成乙公司相對于不開發(fā)的嚴格上策，即使甲公司選擇

開發(fā)，乙公司選擇開發(fā)也比選擇不開發(fā)更有利，因此乙公司此時的

惟一選擇是開發(fā)。

根據(jù)上述得益矩陣.甲公司完全可以判斷出乙公司的選擇，甲

公司只能選擇不開發(fā)，因此現(xiàn)在該博弈惟一的納什均衡是（不開

發(fā)，開發(fā)）。結果是乙公司可以保證獲得120單位的利潤。雖然乙

公司所在國政府為此付出了2（）單位的代價,但這顯然是值得的。

如果乙公司所在國政府能從乙公司的利潤中獲得20單位或以上

的稅收或其他利益，那么政府最終也沒有損失甚至還能獲利。這

正是現(xiàn)代世界各國政府對本國企業(yè)的國際競爭進行補貼的主要理

論根據(jù)。

11.設一個地區(qū)選民的觀點標準分布于［0,□上，競選一個公職

的每個候選人同時宣布他們的竟選立場，即選擇。到1之間的

一個點。選民將觀察候選人的立場，然后將選票投給立場與自

己的觀點最接近的候選人。例如有兩個候選人，宣布的立場分

別為&=0.4和與=0.8,那么觀點在x=0.6左邊的所有選

民都會投候選人1的累，而觀點在x=0.6右邊的選民都會投

候選人2的票，候選人1將以60%的選票獲勝。再設如果有候

選人的立場相同，那么立場相同的候選人將平分該立場所

獲得的選票，得票領先的候選人票數(shù)相同時則用施硬幣決

定哪個候選人當選。我們假設候選人惟一關心的只是當選

（即不考慮自己對觀點的真正偏好）。如果有兩個候選人，問觸

策略納什均衡是什么?如果有三個候選人，也請作出一個納什

均衡。

(1)兩個候選人競爭時，純策略納什均衡為(0.5,0.5),即兩

個候選人都宣布自己是中間立場。我們用直接分析法加以證明：

首先，如果一個候選人的立場是0.5而另一個候選人的立場不是

0.5,那么不難證明前者將獲勝而后者必然失敗，因為根據(jù)投票原

則前者得票比例將大于0.5,后者得票比例肯定小于0.50如果兩

個候選人的立場都選擇0.5,那么雙方都有一半機會獲勝。因此

對用意一個候選人來說，都是不管對方選擇的立場是.否為

0.5：0.5都是自己的正確選擇，也就是說0.5都是上策。因此

<0.5,0.5)是本博弈的一個上策均衡，當然也是納什均衡。

事實上，即使兩個候選人開始時沒有立即找到最佳立場65,他

們也會通過邊競爭邊學習很快調整到該納什均衡策略。因為當兩

個候選人的立場都不在0.5時，誰更靠近0.5誰選票就多，觀察到這

一點，兩個候選人必然都會向0.5靠攏,直到最后都取0.5的立場。

當兩個候選人都選擇0.5時，各自都能得到一半選民的支持，

誰能夠取勝往往取決于雙方競選立場以外的東西，例如候選人的

個人魅力和演說才能等。

(2)三個候選人時問題比較復雜。因為當三個候選人的立場

都處于中點附近位置時，立場夾在其他兩個候選人之間的候選人

只能獲得很少的選票，從而他(或她)有轉變成比“左”傾者更“左”

傾，或比右傾者更右傾立場的動機。這時候三個候選人在中點附

近處于一種不穩(wěn)定的平衡,也就是三個候選人的位置都在靠近0.5

的地方作小幅度的擺動。納什均衡為(0.5土抗0.5ie,0.5±f),

其中S、e和：是小正數(shù)。如果考慮到現(xiàn)實中競選者的立場不可能

由一維數(shù)學坐標精確描述，選民對候選立場差別的分辨能力也不可

能很精細,那么當候選人的立場都接近中點時，選民很難識別究竟

哪個候選人偏右傾或“左”傾一些，因此三個候選人的立場都接近中

點時可理解為是相同的。這樣,三個候選人與兩個候選人競選的納

什均衡策略可以看成是相同的，即都選擇0.5,(0.5,0.5,0.5)。

三個候選人時在數(shù)學上還可能求出其他純策略納什均衡。如

策略組合(0.4,0,6,68)就是其中一個。因為當三個候選人分

別選擇這些立場時，第一個候選人沒有改變自己立場的動機，因為

該策略組合的結果是他取勝，而第二和第三個候選人則單獨改變

自己的立場并不能改善自己的命運，無論只是稍微改變自己的立

場，還是與其他候選人的相對立場發(fā)生逆轉，都沒有取勝的機會。

因此根據(jù)納什均衡的定義，這是一個純策略的納什均衡。類似的

策略組合還有許多。不過，雖然在數(shù)學上這些納什均衡完全符合

納什均衡的定義，但是它們在現(xiàn)實選舉問題中的意義卻并不大，因

為這種納什均衡本身只是弱均衡(部分博弈方改變策略不損害自

己的利益)，而且部分博弈方(第二、第三個候選人)屬于典型的“破

壞者”，他們的策略改變不影響自已的利益,但卻會對其他博弈方

的利益產(chǎn)生決定性的影響，因此這些納什均衡其實是不穩(wěn)定的,不

會是現(xiàn)實中的均衡結果=

上述博弈模型不僅在政治選舉問題中有意義,在分析經(jīng)濟經(jīng)

營活動中的選址和產(chǎn)品定位等問題方面也非常有用。讀者可以白

行找一些例子進行分析。

12.運用本章的均衡概念和思想討論下列得益矩陣表示的靜態(tài)

博弈。

R

博u

弈6.62,7

方D

17.20.0

解答提示：

在納什均衡分析的基礎上，再進一步考慮運用其他均衡概念

成分析方法，如風險上策均衡等進行分析。

拳考答案：

首先，很容易根據(jù)劃線法等找出本博弈的兩個純策略納什均

衡(U,R)和(D,L)。本博弈還有一個混合第略納什均衡，即兩博

弈方各自以2/3、1/3的概率在自己的兩個策略U、D和L、R中

隨機選擇。

但本博弈的兩個純策略納什均衡中沒有帕累托上策均衡，兩

個博弈方各偏好其中一個，而且另一個策略組合(U,L)從整體利

益角度優(yōu)于這兩個純策略納什均衡，因此博弈方很難在兩個純策

略納什均衡的選擇上達成共識3混合策略納什均衡的效率也不是

很高，因為有一定概率會出現(xiàn)(D,R)的結果。

根據(jù)風險上策均衡的思想進行分析，當兩個博弈方各自的兩

種策略都有一半可能性被選到時，本博弈的兩個純策略納什均衡

都不是風險上策均衡，而策略組合(U,L)卻是風險上策均衡。因

為此時博弈方1選擇U的期望得益是4,選擇D的期望得益是

3.5,博弈方2選擇I.的期望得益是4,選擇R的期望得益是3.5。

因此當兩個博弈方考慮到上述風險因素時，他們的選擇將是(U,

L),結果反而比較理想。

如果博弈問題的基本背景支持,對本博弈還可以用相關均衡

的思想進行分析二讀者可自己作一些討論。

1.判斷下列表述是否正確，并作簡單分析：

(1)納什均衡即任一博弈方單獨改變鍍略都只能得到更小利

益的策略組合。

(2)如果一博弈有兩個純策略納什均衡，則一定還存在一個混

合策略均衡。

(3)純策略納什均衡和混合策略納什均衡都不一定存在。

(4)上簧均衡一定是帕累托最優(yōu)的均衡。

參考答案t

(1)錯誤。只要任一博弈方單獨改變策略不會增加得益，策

略組合就是納什均衡了°單獨改變策略只能得到更小得益的策略

組合是嚴格納什均衡,是比納什均衡更強的均衡概念。

(2)正確。這是納什均衡的基本性質之-----奇數(shù)性所保

證的。

(3)不正確。雖然純策略納什均衡不一定存在，但在我們所

分析的博弈中混合鎮(zhèn)略納什均衡總是存在的c這正是納什定理的

根本結論。也許在有些博弈中只有惟一的純策略納什均衡，沒有

嚴格意義上的混合策略納什均衡，這時把純策略理解成特殊的混

合策略,混合策略納什均衡就存在了。

(4)不正確。囚徒的困境博弈中的(坦白，坦白)就是上策均

衡(同時也是納什均衡)，但該均衡顯然不是帕累托最優(yōu)的，否則該

博弈也不會稱囚徒的困境了。

2.找出下列得益矩陣所表示的博弈的所有納什均衡策略組合。

博棄方2

MR

博

弈U3,12.25,3

方

1M2.31.34.1

B4,52,33,4

未考答案:

首先用嚴格下策反復消去法簡化博弈。對選擇行策略的博弈

方1,U策略嚴格優(yōu)于M策略，所以M為嚴格下策,消去得到如下

博弈：

博弈方2

LMR

3.12,25,3

4,52,33,4

然后分析選擇列策略的堀弈方2的策略，現(xiàn)在其M策略嚴格

劣于R策略，消去M策略得到矩陣：

博外方2

R

網(wǎng)

弈

方

1

在上述2X2博弈中已經(jīng)不存在任何嚴格下策。此時用劃線

法不難找出純策略納什均衡為(D,L)和(U,R),相應的得益為

(4,5)和(5,3)0

鼓后求該博弈的混合策略納什均衡。因為被嚴格下策反復消

去法消亡的策略不可能包含在納什均衡中，因此只需要考慮未被

嚴格下策反復消去法消去的幾個策略。設博弈方1選擇U的概

率為a.D的概率為1-a;博弈方2選擇L的概率為0,R的概率

為]一夕。

此時.博弈方1選擇U的期望得益為3§十5(1一4，選擇D

的期望得益為刎+3(1—0)。令這兩個期望得益相等：

3葉5(1-/?)=笨十3(1—4

=

可解得32/3o

博弈方2選擇L的期望得益為a+5(〕-a),選擇R的期望

得益為3a+4(1-a)。令這兩個期望得益相等：

c+5(1—a)=3a+4(]—a),

可解得a=l/30

因此該博弈的混合策略納什均衡為，博弈方】以1/3和2/3

的概率分布在U和D中隨機選擇,博弈方2以2/3和1/3的概率

分布在L和R中隨機選擇。

3.找出下列得益矩陣表示靜態(tài)博弈的納什均衡。

博弈方2

LM

博u

弈435?16.2

方M

12?18?436

D

3?0996298

同樣可先考慮嚴格下.策反復消去法簡化博弈，然后再運用劃

線法等進行分析,請讀者自行練習。

4.下面的得益矩陣表示一個兩人靜態(tài)博弈。問當*b、c、d、e、

八g和人之間滿足什么條件時，談博弈：

(1)存在嚴格上策均衡；

(2)可以用嚴格下策反復消去法簡化或找出博弈的均衡；

(3)存在純策略納什均衡、

參考答案：

(1)嚴格上策均衡是由各個博弈方的嚴格上策組成的策略組

合。對于博弈方1,如果a>v且￡>g,則U是相近干D的嚴格

上策;如果。Ve且cVg,則D是相對于U的嚴格上策。對于博

弈方2,如果且f>力，則L是相對于R的嚴格上策；如果

bVd且fVA,則R是相對于L的嚴格上策。上述兩個博弈方

各自有兩種嚴格上策的相對得益情況的組合，總共可能構成四種

嚴格上策均衡。

(2)只要出現(xiàn)。>。且<>8、。0且，V8、6>〃§./>A

或6Vd且/V&四種情況中的任何一種，就可以用嚴格下策反復

消去法簡化或直接求出博弈的均衡，因為這時候D、U、R、L分

別是相應博弈方相對于各自另一鎮(zhèn)略的嚴格下策c____

(3)純策略納什均衡是各博弈方單獨改變策略都無利可圖的

策珞組合。在上述博弈中,只要滿足a且6》“、c》g且

</3機且f2鼠gi，?且4四種情況中的任何一種,

就存在純策略納什均衡。

5.企業(yè)甲和企業(yè)乙都是彩電制造商，它們都可以選擇生產(chǎn)低檔產(chǎn)

品或高檔產(chǎn)品，但兩企業(yè)在選擇時都不知道對方的選擇。假設

兩企業(yè)在不同選擇下的利潤如以下得益矩陣所示。問

(1)該博弈有沒有匕策均衡？

(2)該博弈的納什均衡是什么？

企業(yè)乙

高檔低檔

高

企檔

500,5001000,700

業(yè)

低檔

甲

700,1000600.600

參考答案：

(1)根據(jù)得益矩陣可以發(fā)現(xiàn)，兩企業(yè)究竟采用哪種策略更好

完全取決于對方選擇何種策略，因此本溥弈沒有上策均衡,

(2)運用劃線法很容易找出該博弈有兩個純策珞納什均衡,

(高檔，低檔)和(低檔，高檔兀此外本博弈還有一個混合策略納什

均衡:設企業(yè)甲生產(chǎn)高檔彩電的概率為a,生產(chǎn)低檔彩電概率為

1-a.企業(yè)乙生產(chǎn)高檔彩電的概率為0,生產(chǎn)低檔彩電概率為

】一生那么令兩個企業(yè)采取各自兩種策略的期望得益相等，容易

解得a=8=2/3,即兩個企業(yè)都以概率分布2/3和1/3隨機決定

生產(chǎn)高檔彩電還是低檔彩電,是本博弈的混合策略納什均衡。

6.在一個靜態(tài)博弈中，博弈方1選擇U、D,博弈方2選擇L、R,

博弈方3選擇矩陣a、b、c、d0若博弈方3的傅益如下列矩陣

所示,請證明d既不可能是對博弈方1和博弈方2混合博奔的

量優(yōu)反應，也不是一個嚴格下策。

LRLR

U90U09

矩陣aD矩陣bD

0090

LRLR

U00U60

矩陣cD矩陣d