電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一第15章電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型1、電力網(wǎng)絡(luò)的基本方程式2、節(jié)點導(dǎo)納矩陣及其算法3、節(jié)點阻抗矩陣及其算法第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一節(jié)點導(dǎo)納矩陣的特點、形成原理；節(jié)點阻抗矩陣的特點、形成原理。本章提示第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一15.1電力網(wǎng)絡(luò)的基本方程式電力網(wǎng)絡(luò)可以用節(jié)點方程式或回路方程式表示出來。電力系統(tǒng)的基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)方程式一般都用節(jié)點方程式表示。

15.1簡化的有源電力網(wǎng)絡(luò)接線圖第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一網(wǎng)絡(luò)方程組可以表示為：或者寫成

Ｉ＝Y(jié)U

簡單寫成(i=1,2,…,n)上式可化為U＝ZI

15.1電力網(wǎng)絡(luò)的基本方程式第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一15.2節(jié)點導(dǎo)納矩陣及其算法1、節(jié)點導(dǎo)納矩陣2、節(jié)點導(dǎo)納矩陣的計算方法第6頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一1、自導(dǎo)納節(jié)點i的自導(dǎo)納Yii

是當節(jié)點i以外的所有節(jié)點都接地，在節(jié)點i加上單位大小的電壓(=1單位電壓)時，由節(jié)點i流向網(wǎng)絡(luò)的電流就等于i節(jié)點的自導(dǎo)納。自導(dǎo)納等于與節(jié)點i連接的所有支路導(dǎo)納的和15.2節(jié)點導(dǎo)納矩陣及其算法第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一圖15.2電力網(wǎng)絡(luò)接線圖圖15.2中節(jié)點2的自導(dǎo)納Y22為

==++=0.25-j0.25(s)第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一2.互導(dǎo)納節(jié)點j以外的節(jié)點全接地,在節(jié)點j加以單位電壓時，由節(jié)點i流向j的電流加上負號就是互導(dǎo)納Yij

Yij

是連接節(jié)點j和節(jié)點i支路的導(dǎo)納再加上負號而得

15.2節(jié)點導(dǎo)納矩陣及其算法第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一圖15.3電力網(wǎng)絡(luò)接線圖在圖15.2中節(jié)點1,2間的互導(dǎo)納Y12為

=-=j0.1677(s)

=-(1/+1/)右圖中節(jié)點1,2間的互導(dǎo)納Y12為第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)納矩陣是對稱矩陣；導(dǎo)納矩陣是稀疏矩陣；導(dǎo)納矩陣能從系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)接線圖直觀地求出。導(dǎo)納矩陣的特點第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例:求系統(tǒng)的導(dǎo)納矩陣(所給數(shù)字是標么阻抗)圖15.4解:節(jié)點1的自導(dǎo)納為：

=++互導(dǎo)納為：Y=-=-0.4808+j2.4038=0.9346-j4.2616第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一對其它節(jié)點進行同樣的計算，則依次得到第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一3.非標準變比變壓器非標準變比變壓器是指變壓器的線圈匝數(shù)比不等于標準變比。

由上式解出

或者第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一在圖(c)中，由節(jié)點1，即變壓器的接入端來看自導(dǎo)納Y11為變壓器接入端的對側(cè)來看的自導(dǎo)納為

節(jié)點1、2間的互導(dǎo)納Y12為第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一當有非標準變比變壓器時，可按如下次序形成導(dǎo)納矩陣先不考慮非標準變比(認為K=1)求導(dǎo)納矩陣；再把接入非標準變比變壓器的節(jié)點的自導(dǎo)納加上(K-1)Y，其中Y是從變壓器相連結(jié)的另一端節(jié)點來看變壓器的漏抗與兩節(jié)點輸電線的阻抗之和的倒數(shù)；由接入非標準變比變壓器的對端節(jié)點來看自導(dǎo)納不變；變壓器兩節(jié)點間的互導(dǎo)納加上-(K-1)Y。第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例15.2利用例15.1的結(jié)果計算圖15.6(a)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣。圖15.6例15.2的圖第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一所以導(dǎo)納矩陣為

Y=(K-1)Y=(1.1-1)=-j0.7000

Y=-(K-1)Y=-(1.1-1)=j0.3333解:將3、4節(jié)點間用Π

形等值電路表示，如圖15.6(b)，第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一4.系統(tǒng)變更時的修正(1)增加新的節(jié)點和新的支路

如圖(a)所示，新節(jié)點編號為j，節(jié)點i、j間支路阻抗為z。特點：導(dǎo)納矩陣Y的階次增加一階，除節(jié)點i以外的原有節(jié)點和新增節(jié)點間互導(dǎo)納為零，節(jié)點i的自導(dǎo)納由變成，還要新增加互導(dǎo)納、節(jié)點j的自導(dǎo)納為Yjj

。

第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一

圖15.7系統(tǒng)變更的幾種情況（2）在原有節(jié)點i和j間增加阻抗為z的新支路特點：導(dǎo)納矩陣Y階次不變，節(jié)點的自導(dǎo)納Yii、Yjj和互導(dǎo)納Yij分別變化為第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一（4）變壓器變比由K變成K'時第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一15.2.2節(jié)點導(dǎo)納矩陣的計算方法導(dǎo)納矩陣的階數(shù)等于電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點數(shù)；導(dǎo)納矩陣各行非對角元素中非零元素的個數(shù)等于對應(yīng)節(jié)點所連的不接地支路數(shù)；導(dǎo)納矩陣的對角元素即，各節(jié)點的自導(dǎo)納等于相應(yīng)節(jié)點所連支路的導(dǎo)納之和。導(dǎo)納矩陣非對角元素Yij等于節(jié)點i與節(jié)點j之間的導(dǎo)納的負數(shù)。第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一15.2.3形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣的原始數(shù)據(jù)及程序框圖1.形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣的原始數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)接線由節(jié)點及連結(jié)兩個節(jié)點的支路確定，只要輸入了各支路兩端的節(jié)點號，就相當于輸入了系統(tǒng)的接線圖。一條支路一般需要輸入六個數(shù)據(jù),即i,j,z,bc,t,it，在程序中用矩陣B來進行輸入(其中矩陣的行數(shù)為支路數(shù)，列數(shù)為上述六個數(shù)據(jù))。矩陣X是由各節(jié)點的節(jié)點號與該節(jié)點的接地阻抗構(gòu)成。第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣的程序框圖2.形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣的程序框圖第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一例：用節(jié)點導(dǎo)納矩陣的程序所示網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣。圖15.9第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一請輸入節(jié)點數(shù):n=5請輸入支路數(shù):nl=5請輸入由支路參數(shù)形成的矩陣:B=[120.03i01.050;230.08+0.3i0.5i10;340.015i01.051;250.1+0.35i010;350.04+0.25i0.5i10]請輸入由節(jié)點號及其對地阻抗形成的矩陣:X=[10;20;30;40;50]解：輸入數(shù)據(jù)：第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一導(dǎo)納矩陣Y=0-33.3333i0+31.7460i0000+31.7460i1.5846-35.7379i-0.8299+3.1120i0-0.7547+2.6415i0-0.8299+3.1120i1.4539-66.9808i0+63.4921i-0.6240+3.9002i000+63.4921i0-66.6667i00-0.7547+2.6415i-0.6240+3.9002i01.3787-6.2917i結(jié)果：第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法15.3.1節(jié)點阻抗矩陣15.3.2自阻抗和互阻抗15.3.3阻抗矩陣的計算方法第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一15.3.1節(jié)點阻抗矩陣將式（15.6）展開寫成

或縮寫為：=（i=1,2,3……,n）

式中系數(shù)矩陣為節(jié)點阻抗矩陣

15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一自阻抗和互相抗之間的關(guān)系，可以形象地用圖來表示，把總阻抗看成是Zii

，而互阻抗Zij則是其中抽出的一部分。圖15.10自阻抗和互阻抗的關(guān)系15.3.2自阻抗和互阻抗在節(jié)點i上注入一單位電流，而其他各節(jié)點均開路(即注入電流為零)時，節(jié)點i上的電壓即是自阻抗，而節(jié)點j(j=1,2,…,n,j≠i)上的電壓即是節(jié)點j和節(jié)點i之間的互阻抗。15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一阻抗矩陣是對稱矩陣；阻抗矩陣是滿矩陣；迭代計算時收斂性能較好；阻抗矩陣不能從系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)接線圖直觀地求出，因此必須尋找其他求阻抗矩陣的方法。阻抗陣的特點：15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一15.3.3阻抗矩陣的計算方法主要有兩種：一種是用導(dǎo)納矩陣求逆，間接求出阻抗矩陣；另一種是用支路追加法，直接形成節(jié)點阻抗矩陣。支路追加法

特點：矩陣形成的規(guī)律性很強，易于理解和記憶，且編程方便。

追加線路的類型：追加接地樹支，追加樹支，追加接地連支，追加連支。如圖，節(jié)點的電壓、電流關(guān)系為：原始網(wǎng)絡(luò)15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一（1）追加接地樹支(0,4)=結(jié)論：原有矩陣的各元素均不變，新增的行、列元素均為零，只有新增的對角元素為z。特點：原網(wǎng)絡(luò)矩陣增加一階，新增了一個方程，其中z是新增支路的阻抗。追加接地樹支15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一（2）追加樹支(2,4)追加樹支

特點：矩陣增加一階，節(jié)點2的注入電流變?yōu)?，且新增了一個方程：15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一寫成矩陣形式為=結(jié)論：原有矩陣的各元素均不變，新增的行、列元素分別等于樹支所接的原網(wǎng)絡(luò)節(jié)點2所對應(yīng)的行、列元素，新對角元素等于樹支所結(jié)的節(jié)點2的對角元素加上新增支路的阻抗值。15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一(3)追加接地連支(0,2)追加接地連支特點：矩陣的階次不變。對原網(wǎng)絡(luò)來說，節(jié)點2的注入電流變?yōu)槠渌?jié)點注入電流不變。則各節(jié)點電壓方程變?yōu)椋?5.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一寫成矩陣形式為

=

結(jié)論：矩陣可暫時增加一階，原矩陣元素不變，暫時增加的行、列元素分別等于該追加連支的非零節(jié)點所對應(yīng)的行、列元素的負值；新對角元素等于該點的自阻抗加上連支阻抗z。形成了暫時增加一階的節(jié)點阻抗矩陣以后，用高斯消去法消去矩陣的暫增行與列，原矩陣的元素為：(i,j=1,2,3)

15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一追加連支(4)追加連支(2,3)特點：矩陣階次不變，設(shè)連支電流由節(jié)點3流向節(jié)點2，節(jié)點2的注入電流變?yōu)?/p>

()，節(jié)點3的注入電流變?yōu)?/p>

()。則節(jié)點電壓方程的矩陣形式為：

=15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論：

矩陣可暫時增加一階，原矩陣的元素不變，暫時增加的行、列元素分別等于該追加連支的兩個節(jié)點所對應(yīng)的行元素之差和列元素之差；新增對角元為這兩個節(jié)點的自阻抗之和減去相互間的互阻抗之和再加上該連支阻抗。形成了暫時增加一階的節(jié)點阻抗矩陣之后，用高斯消去法消去暫增行、列，即得追加連支的節(jié)點阻抗矩陣。15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一2.追加變壓器支路對于變壓器支路，若變壓器變比等于1，則與一般支路的處理方法相同；若變壓器變比不等于1時，如果采用變壓器的∏形等值電路當成三條支路進行追加，顯然是增加了運算量。下面討論一種不用變壓器∏型等值電路，直接追加變壓器支路的方法。類型：追加變壓器樹支，追加變壓器連支。（1）追加變壓器樹支追加變壓器樹支節(jié)點2的注入電流為(+k)15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一整理后有:=另外還有

=K(+Kz)

=K｛(Z

+Z(

+K

)+Z

)+Kz

｝結(jié)論：追加變壓器樹支和追加普通樹支支路相似，只是在新增行、列的元素，分別乘以變比K，新對角元乘以變比K15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一追加變壓器連支（2）追加變壓器連支

節(jié)點2的注入電流變?yōu)?)，節(jié)點3的注入電流變?yōu)?)，則:另有:即:15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期一把、代入整理后得所以得:=前面討論的都是變壓器的漏抗歸算至低壓側(cè)，如果變壓器的漏抗歸算至高壓側(cè)，則只需將變比變?yōu)?/k即可，即在程序中令TN=T(K)

或令:TN=1/T(K)15.3節(jié)點阻抗矩陣及其算法第43頁，共46頁，2023年，2