PAGE歷年華羅庚金杯試題集第4頁歷年華羅庚金杯試題第一屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題1．1966、1976、1986、1996、2006這5個(gè)數(shù)的總和是多少？2．每邊長是10厘米的正方形紙片，正中間挖一個(gè)正方形的洞，成為一個(gè)寬度是1厘米的方框。把5個(gè)這樣的方框放在桌面上，成為這樣的圖案。問桌面上被這些方框蓋住的部分面積是多少平方厘米？3．105的約數(shù)共有幾個(gè)？4．媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗開水壺要用1分鐘，燒開水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，拿茶葉要用2分鐘。小明估算了一下，完成這些工作要花20分鐘，為了使客人早點(diǎn)喝上茶，按你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就能沏茶了？5．右面的算式里，4個(gè)小紙片各蓋住了一個(gè)數(shù)字。被蓋住的4個(gè)數(shù)字總和是多少？6．松鼠媽媽采松籽。晴天每天可以采20個(gè)。有雨的天每天只能采12個(gè)。它一連幾天采了112個(gè)松籽，平均每天采14個(gè)。問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？7．邊長1米的正方體2100個(gè)，堆成一個(gè)實(shí)心的長方體。它的高是10米，長、寬都大于高。問長方體的長與寬的和是幾米？8．早晨8點(diǎn)多鐘，有兩輛汽車先后離開化肥廠，向幸福村開去。兩輛汽車的速度都是每小時(shí)60公里。8點(diǎn)32分的時(shí)候，第一輛汽車離開化肥廠的距離是第二輛汽車的3倍。到了8點(diǎn)39分的時(shí)候，第一輛汽車離開化肥廠的距離是第二輛汽車的2倍．那么，第一輛汽車是8點(diǎn)幾分離開化肥廠的？9．有一個(gè)整數(shù)，除300、262、205，得到相同的余數(shù)．問這個(gè)整數(shù)是幾？10．甲、乙、丙、丁4個(gè)人比賽乒乓球，每兩個(gè)人都要賽一場．結(jié)果甲勝了丁，并且甲、乙、丙3個(gè)勝的場數(shù)相同．問丁勝了幾場？11．兩個(gè)十位數(shù)1111111111和9999999999的乘積有幾個(gè)數(shù)字是奇數(shù)？12．黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起。黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子。問至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？13．有一塊菜地和一塊麥地，菜地的和麥地的放在一起是13畝，麥地的和菜地的放在一起是12畝，那么，菜地是幾畝？14．71427和19的積被7除，余數(shù)是幾？15．科學(xué)家進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，每隔5小時(shí)做一次記錄．做第十二次記錄時(shí)，掛鐘的時(shí)針恰好指向9，問做第一次記錄時(shí)，時(shí)針指向幾？16．有一路電車的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站分別是甲站和乙站。每隔5分鐘有一輛電車從甲站發(fā)出開往乙站。全程要走15分鐘．有一個(gè)人從乙站出發(fā)沿電車路線騎車前往甲站。他出發(fā)的時(shí)候，恰好有一輛電車到達(dá)乙站．在路上他又遇到了10輛迎面開來的電車，才到達(dá)甲站．這時(shí)候，恰好又有一輛電車從甲站開出。問他從乙站到甲站用了多少分鐘？17．在混合循環(huán)小數(shù)2.718281的某一位上再添上一個(gè)表示循環(huán)的圓點(diǎn)，使新產(chǎn)生的循環(huán)小數(shù)盡可能大．請寫出新的循環(huán)小數(shù)。18．有6塊巖石標(biāo)本，它們的重量分別是8.5公斤、6公斤、4公斤、4公斤、3公斤、2公斤。要把它們分別裝在3個(gè)背包里，要求最重的一個(gè)背包盡可能輕一些．請寫出最重的背包里裝的巖石標(biāo)本是多少公斤？19．同樣大小的長方形小紙片擺成了這樣的圖形。已知小紙片的寬是12厘米，求陰影部分的總面積。

第二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽部分試題以及答案“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽每隔一年舉行一次。今年是第二屆。問2000年是第幾屆？【解法】“每隔一年舉行一次”的意思是每2年舉行一次。今年是1988年，到2000年還有2000-1988=12年，因此還要舉行12÷2=6屆。今年是第二屆，所以2000年是2＋6=8屆答：2000年舉行第八屆?！痉治雠c討論】這題目因?yàn)閿?shù)字不大，直接數(shù)也能很快數(shù)出來：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分別是第二、三、四、五、六、七、八屆。一個(gè)充氣的救生圈（如圖32）。虛線所示的大圓，半徑是33厘術(shù)。實(shí)線所示的小圓，半徑是9厘米。有兩只螞蟻同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，以同樣的速度分別沿大圓和小圓爬行。問：小圓上的螞蟻爬了幾圈后，第一次碰上大圓上的螞蟻？【解法】由于兩只螞蟻的速度相同，由距離÷速度=時(shí)間這個(gè)式子，我們知道大、小圓上的螞蟻爬一圈的時(shí)間的比應(yīng)該等于圈長的比。而圈長的比又等于半徑的比，即：33∶9。要問兩只螞蟻第一次相遇時(shí)小圓上的螞蟻爬了幾圈，就是要找一個(gè)最小的時(shí)間，它是大、小圓上螞蟻各自爬行一圈所齋時(shí)間的整數(shù)倍。由上面的討論可見，如果我們適當(dāng)?shù)剡x取時(shí)間單位，可以使小圓上的螞蟻爬一圈用9個(gè)單位的時(shí)間，而大圓上的螞蟻爬一圈用33個(gè)單位的時(shí)間。這樣一來，問題就化為求9和33的最小公倍數(shù)的問題了。不難算出9和33的最小公倍數(shù)是99，所以答案為99÷9=11。答：小圓上的螞蟻爬了11圈后，再次碰到大圓上的螞蟻。【分析與討論】這個(gè)題目的關(guān)鍵是要看出問題實(shí)質(zhì)是求最小公倍數(shù)的問題。注意觀察，看到生活中的數(shù)學(xué)，這是華羅庚教授經(jīng)常啟發(fā)青少年們?nèi)プ龅?。圖33是一個(gè)跳棋棋盤，請你算算棋盤上共有多少個(gè)棋孔？【解法】這個(gè)題目的做法很多。由于時(shí)間所限，直接數(shù)是來不及的，而且容易出錯(cuò)。下圖（圖34）給出一個(gè)較好的算法。把棋盤分割成一個(gè)平行四邊形和四個(gè)小三角形，如圖34。平行四邊形中的棋孔數(shù)為9×9=91，每個(gè)小三角形中有10個(gè)棋孔。所以棋孔的總數(shù)是81＋10×4=121個(gè)答：共有121個(gè)棋孔?！痉治雠c討論】玩過跳棋的同學(xué)們，你們以前數(shù)過棋孔的數(shù)目嗎？有興趣的同學(xué)在課余時(shí)都可以數(shù)一數(shù)，看誰的方法最巧？有一個(gè)四位整數(shù)。在它的某位數(shù)字前面加上一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，再和這個(gè)四位數(shù)相加，得數(shù)是2000.81。求這個(gè)四位數(shù)?！窘夥?】由于得數(shù)有兩位小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)不可能加在個(gè)位數(shù)之前。如果小數(shù)點(diǎn)加在十位數(shù)之前，所得的數(shù)是原米四位數(shù)的百分之一，再加上原來的四位數(shù)，得數(shù)2000.81應(yīng)該是原來四位數(shù)的1.01倍，原來的四位數(shù)是2000.81÷1.01＝1981。類似地，如果小數(shù)點(diǎn)加在百位數(shù)之前，得數(shù)2000.81應(yīng)是原來四位數(shù)的1.001倍，小數(shù)點(diǎn)加在千位數(shù)之前，得數(shù)2000.81應(yīng)是原來四位數(shù)的1.0001倍。但是（2000.81÷1.001）和（2000.81÷1.0001）都不是整數(shù)，所以只有1981是唯一可能的答案。答：這個(gè)四位數(shù)是1981?！窘夥?】注意到在原來的四位數(shù)中，一定會按順序出現(xiàn)8，1兩個(gè)數(shù)字。小數(shù)點(diǎn)不可能加在個(gè)位數(shù)之前；也不可能加在千位數(shù)之前，否則原四位數(shù)只能是8100，在于2000.81了。無論小數(shù)點(diǎn)加在十位數(shù)還是百位數(shù)之前，所得的數(shù)都大于1而小于100。這個(gè)數(shù)加上原來的四位數(shù)等于2000.81，所以原來的四位數(shù)一定比2000小，但比1900大，這說明它的前兩個(gè)數(shù)字必然是1，9。由于它還有8，1兩個(gè)連續(xù)的數(shù)字，所以只能是1981?！痉治雠c討論】解法1是用精確的計(jì)算，解法2靠的是“判斷”。判斷也需要技巧，而且是建立在對問題的細(xì)致分析上?！痉治雠c討論】這個(gè)題目用的是所謂“抽屜原則”。比如說有4個(gè)抽屜，要在里面放13本書，那么至少有一個(gè)抽屜要放4本。這個(gè)原則也被稱作“鴿子籠原則”或“重迭原則”。抽屜原則雖然簡單，在數(shù)學(xué)上卻有很多巧妙的應(yīng)用。有興趣的同學(xué)可以閱讀常庚哲著的《抽屜原則及其他》這本書。有一個(gè)班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個(gè)班共有多少同學(xué)？【解法1】假定先增加一條船，那么正好每條船坐6人。現(xiàn)在去掉兩條船，就會余下6×2＝12名同學(xué)沒有船坐。而現(xiàn)在正好每條船9人，也就是說，每條船增加9-6＝3人，正好可以把余下的12名同學(xué)全部安排上去，所以現(xiàn)在還有12÷3＝4條船，而全班同學(xué)的人數(shù)是9×4＝36人。答：這個(gè)班共有36個(gè)人?！窘夥?】由題目的條件可知，全班同學(xué)人數(shù)既是6的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)，因而是6和9的公倍數(shù)。6和9的最小公倍數(shù)是18。如果總數(shù)是18人，那么每船坐6人需要有18÷6＝3條船，而每船坐9人需要18÷9＝2條船，就是說，每船坐6人比每船坐9人要多一條船。但由題目的條件，每船坐6人比每船坐9人要多用2條船?？梢娍?cè)藬?shù)應(yīng)該是18×2＝36?！痉治雠c討論】我國古代有很多類似于這個(gè)題目的問題，流傳到現(xiàn)在。例如“雞兔同籠”之類。這道題也可以用列方程來解。同學(xué)們不妨試一試。圖39四個(gè)小動(dòng)物換座位。一開始，小鼠坐在第1號位子，小猴坐在第2號，小兔坐在第3號，小貓坐在第4號。以后它們不停地交換位子。第一次上下兩排交換。第二次是在第一次交換后再左右兩排交換。第三次再上下兩排交換。第四次再左右兩排交換……這樣一直換下去。問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子上？（參看圖39）圖39【解法】這道題問的是第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子上？我們先根據(jù)題意將小兔座位變化的規(guī)律找出來。從圖40的箭頭圖可以看出：每一次交換座位，小兔的座位按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一格，每4次交換座位，小兔的座位又轉(zhuǎn)回原處。知道了這個(gè)規(guī)律，答案就不難得到了。第十次交換座位后，小兔的座位應(yīng)該是第2號位子。答：第十次交換座位后，小兔坐在第2號位子。【分析與討論】“小動(dòng)物換座位”這樣的運(yùn)動(dòng)，在數(shù)學(xué)上稱為“置換”，而小兔座位的改變稱為“旋轉(zhuǎn)”。置換和旋轉(zhuǎn)都是群論、幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支中的重要概念。這道題雖然簡單，但其中卻有不少有趣的道理呢！為了使同學(xué)們加深理解，我們再出兩個(gè)思考題，請同學(xué)們想想。（1）找出其它三個(gè)小動(dòng)物座位變化的規(guī)律。它們的規(guī)律有什么相同點(diǎn)，有什么不同點(diǎn)。（2）將題目中的提問改為：“第十次交換位子后，第4號座位上坐的是哪個(gè)小動(dòng)物？”你知道怎么做嗎？想想看。用1、9、8、8這四個(gè)數(shù)字能排成幾個(gè)被11除余8的四位數(shù)？【解法】什么樣的數(shù)能被11整除呢？一個(gè)判定法則是：比較奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和，如果它們之差能被11除盡，那么所給的數(shù)就能被11整除，否則就不能夠?，F(xiàn)在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了。所以我們得到“一個(gè)數(shù)被11除余8”的判定法則：將偶位數(shù)字相加得一個(gè)和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加上3，得另一個(gè)和數(shù)，如果這兩個(gè)和數(shù)之差能被11除盡，那么這個(gè)數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是。要把1、9、8、8排成一個(gè)被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個(gè)數(shù)分成兩組，每組2個(gè)數(shù)字。其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作A；另外一組作為百位和個(gè)位數(shù)，它們之和加上3記作B。我們要適當(dāng)分組，使得能被11整除。現(xiàn)在只有下面4種分組法：經(jīng)過驗(yàn)證，第（1）種分組法滿足前面的要求：A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝11能被11除盡。但其余三種分組都不滿足要求。根據(jù)判定法則還可以知道，如果一個(gè)數(shù)被11除余8，那么在奇位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，或者在偶位的任意兩個(gè)數(shù)字互換，得到的新數(shù)被11除也余8。于是，上面第（1）分組中，1和8中任一個(gè)可以作為千位數(shù)，9和8中任一個(gè)可以作為百位數(shù)。這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819。答：能排成4個(gè)被11除余8的數(shù)【分析與討論】用1、9、8、8可能組成12個(gè)互不相同四位數(shù)。如果把這12個(gè)數(shù)都列出來，再分別檢驗(yàn)它們被除的余數(shù)，就不勝其繁了。所以在解題時(shí)一定要先設(shè)法簡化檢驗(yàn)過程。圖41是一個(gè)圍棋盤，它由橫豎各19條線組成。問：圍棋盤上有多少個(gè)與圖42中的小正方形一樣的正方形？【解法】要能準(zhǔn)確迅速地?cái)?shù)出小正方形的個(gè)數(shù)，需要?jiǎng)觿?dòng)腦筋。我們先在右圖小正方形中找一個(gè)代表點(diǎn)，例如右下角的點(diǎn)E作為代表點(diǎn)。然后將小正方形按題意放在圍棋盤上，仔細(xì)觀察點(diǎn)E應(yīng)在什么地方。通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（1）點(diǎn)E只能在棋盤右下角的正方形ABCD（包括邊界）的格子點(diǎn)上。（2）反過來，右下角正方形ABCD中的每一個(gè)格子點(diǎn)都可以作為小正方形的點(diǎn)E，也只能作為一個(gè)小正方形的點(diǎn)E。這樣一來，就將“小正方形的個(gè)數(shù)”化為“正方形ABCD中的格子點(diǎn)個(gè)數(shù)”了。很容易看出正方形ABCD中的格子點(diǎn)為10×10＝100個(gè)。答：共有100個(gè)?！痉治鲇懻摗窟@個(gè)題目有很多種解法，而上面這個(gè)解法既巧妙又迅速。它利用了“一一對應(yīng)就一樣多”這個(gè)簡單的道理。一一對應(yīng)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要的基本概念。從這個(gè)題目可以看出，僅僅是搞清楚這么一個(gè)概念，就會起很大的作用了。思考題：如果兩個(gè)圖形均為長方形，情況有什么不同？例如：大棋盤是20×30，而小棋盤是10×15。問大棋盤中有多少個(gè)與小棋盤相同的長方形？計(jì)算【解】=======有三張卡片，在它們上面各寫有一個(gè)數(shù)字（圖43）。從中抽出一張、二張、三張，按任意次序排起來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)。請你將其中的素?cái)?shù)都寫出來?！窘夥ā课覀冎溃粋€(gè)比1大的自然數(shù)，如果除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，那末這個(gè)數(shù)就叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。我們先回想一下被3整除的判定法則：如果一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那末這個(gè)數(shù)也能被3整除。因?yàn)槿龔埧ㄆ系臄?shù)字分別為1，2，3。這三個(gè)數(shù)字的和為6，能被3整除，所以用這三個(gè)數(shù)字任意排成的三位數(shù)都能被3整除，因此不可能是素?cái)?shù)。再看二張卡片的情形。因?yàn)?＋2＝3，根據(jù)同樣的道理，用1，2組成的二位數(shù)也能被3整除，因此也不是素?cái)?shù)。這樣剩下要討論的二位數(shù)只有13，31，23，32這四個(gè)了。其中13，31和23都是素?cái)?shù)，而32不是素?cái)?shù)。最后，一位數(shù)有三個(gè)：1，2，3。1不是素?cái)?shù)。2和3都是素?cái)?shù)?？傊绢}中的素?cái)?shù)共有五個(gè)：2，3，13，23，31。答：共有五個(gè)素?cái)?shù)：2，3，13，23，31。【分析與討論】這道題主要考察問學(xué)們對素?cái)?shù)概念的掌握以及整除的基本規(guī)律（如被3整除的特點(diǎn)）。當(dāng)然，如果將二張卡片組成的所有數(shù)都寫出來，再一個(gè)一個(gè)地分析，也可以做出來。但這樣做是不可取的。有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長分別是6米、3米、2米。把兩堆碎石分別沉沒在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了6厘米和4厘米。如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？【解法】把碎石沉沒在水中，水面升高所增加的體積，就等于所沉入的碎石的體積。因此，沉入水池中的碎石的體積是3米×3米×0.06米＝0.54米3而沉入小水池中的碎石的體積是2米×2米×0.04米＝0.16米3這兩堆碎石的體積一共是0.54米3＋0.16米3＝0.7米3。把它們都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的體積也就是0.7米3。而大水池的底面積是6米×6米＝36米2。所以水面升高了：答：大水池的水面升高了厘米。在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（不到100個(gè)），如圖44。小明像玩跳棋那樣，從A孔出發(fā)沿著逆時(shí)針方向，每隔幾個(gè)孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先試著每隔2孔跳一步，結(jié)果只能跳到B孔。他又試著每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。你知道這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔嗎？【解法】設(shè)想圓圈上的孔已按下面方式編了號；A孔編號為1，然后沿逆時(shí)針方向順次編號為2，3，4，……B孔的編號就是圓圈上的孔數(shù)。我們先看每隔2孔跳一步時(shí)，小明跳在哪些孔上？很容易看出應(yīng)在1，4，7，10，……上。也就是說，小明跳到的孔上的編號是3的倍數(shù)加1。按題意，小明最后跳到B孔，因此總孔數(shù)是3的倍數(shù)加1。同樣道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味著總孔數(shù)是5的倍數(shù)加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A，就意味著總孔數(shù)是7的倍數(shù)。如果將孔數(shù)減1，那么得數(shù)是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，因而是15的倍數(shù)。這個(gè)15的倍數(shù)加上1就等于孔數(shù)，而且能被7整除。注意15被7除余1，所以15×6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。我們還可以看出，15的其他（小于7的）倍數(shù)加1都不能被7整除，而15×7＝105已經(jīng)大于100，7以上的倍數(shù)都不必考慮。因此，總孔數(shù)只能是15×6＋l＝91。答：圓圈上共有91個(gè)孔。【分析與討論】這道題其實(shí)是下面一類問題的特殊情形。一般的問題是：有一個(gè)未知整數(shù)，只知道它被某幾個(gè)整數(shù)除后所得的余數(shù)，求這個(gè)整數(shù)。中國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中，已經(jīng)有解決這類問題的一般方法了。這個(gè)方法在國際上被普遍稱為“中國余數(shù)定理”。華羅庚教授曾為高小初中學(xué)生寫過一本小冊子《從孫子的“神奇妙算”談起》，深入淺出地介紹了解決這個(gè)問題的巧妙方法，還由此引伸出其他一些很有趣的問題，極富啟發(fā)性。這本小冊子已被選入《華羅庚科普著作選集》（上海教育出版社），有興趣的同學(xué)可以讀讀。試將1，2，3，4，5，6，7分別填入圖45的方框中，每個(gè)數(shù)字只用一次：使得這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)。其中一個(gè)三位數(shù)已填好，它是714。【解法】我們知道，如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，那末這兩個(gè)數(shù)就叫做互質(zhì)數(shù)。已經(jīng)填好的三位數(shù)714是個(gè)合數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)分解是714＝2×3×7×17。使得這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)。其中一個(gè)三位數(shù)已填好，它是714。由此可以看出，要使最下面方框中的數(shù)與714互質(zhì)，在剩下未填的數(shù)字2，3，5，6中只能選5，也就是說，第三行的一位數(shù)只能填5?，F(xiàn)在來討論第二行的三個(gè)方框中應(yīng)該怎樣填2，3，6這三個(gè)數(shù)字。因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)偶數(shù)都有公約數(shù)2，因此不互質(zhì)。而714是偶數(shù)，所以第二行的三位數(shù)不能是偶數(shù)，也就是說，2和6不能填在個(gè)位上，因此個(gè)位數(shù)只能是3。這樣一來，第二行的三位數(shù)只能是263或623。但是623能被7整除，所以623與714不互質(zhì)。最后來看263這個(gè)數(shù)。通過檢驗(yàn)可知：714的質(zhì)因數(shù)2，3，7和17都不是263的因數(shù)，所以714與263這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。顯然，263與5也互質(zhì)。因此，714，263和5這一個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。答：填法是：圖47是一張道路圖，每段路上的數(shù)字是小王走這段路所需的分鐘數(shù)。請問小王從A出發(fā)走到B，最快需要幾分鐘？【解法1】為敘述方便，我們把每個(gè)路口都標(biāo)上字母，如圖48、圖49所示首先我們將道路圖逐步簡化。從A出發(fā)經(jīng)過C到B的路線都要經(jīng)過DC和GC。面從A到C有兩條路線可走：ADC需時(shí)間14＋13＝27（分鐘）；AGC需時(shí)間15＋11＝26（分鐘）。我們不會走前一條路線，所以可將DC這段路抹去。但要注意，AD不能抹去，因?yàn)閺腁到B還有別的路線（例如AHB）經(jīng)過AD，需要進(jìn)一步分析。由G到E也有兩條路線可走：CCE需16分鐘，GIE也是16分鐘。我們可以選擇其中的任一條路線，例如選擇前一條，抹掉GIE。（也可以選擇后一條而抹掉CE。但不能抹掉GC，因?yàn)檫€有別的路線經(jīng)過它。）這樣，道路圖被簡化成圖49的形狀。在圖49中，從A到F有兩條路線，經(jīng)過H的一條需14＋6＋17＝37（分鐘），經(jīng)過G的一條需15＋11＋10＝36（分鐘），我們又可以將前一條路線抹掉（圖50）。圖50中，從C到B也有兩條路線，比較它們需要的時(shí)間，又可將經(jīng)過E的一條路線抹掉。最后，剩下一條最省時(shí)間的路線（圖51），它需要15＋11＋10＋12＝48（分鐘）。答：最快需要48分鐘?！窘夥?】要抓住關(guān)鍵點(diǎn)C。從A到B的道路如果經(jīng)過C點(diǎn)，那么，從A到C的道路中選一條最省時(shí)間的，即AGC；從C到B的道路中也選一條最省時(shí)間的，即CFB。因而從A到B經(jīng)過C的所有道路中最省時(shí)間的就是這兩條道路接起來的，即AGCFB。它的總時(shí)間是48分鐘。剩下的只要比較從A到B而不經(jīng)過C點(diǎn)的道路與道路AGCFB，看那個(gè)更省時(shí)間。不經(jīng)過C點(diǎn)的道路只有兩條：①ADHFB，它需要49分鐘；②AGIEB，它也需要49分鐘。所以，從A到B最快需要48分鐘。【分析與討論】上面的簡化過和并不需要逐一畫圖，只要在原圖上將準(zhǔn)備抹掉的路段打上記號，就能很快找出需時(shí)最短的路線來。即使更復(fù)雜的道路圖，也很容易得到簡化。圖52是稍為復(fù)雜一些的道路圖，圖中數(shù)字意義與本題相同。請同學(xué)們試用上面的逐步簡化方法求出從A到B的最短時(shí)間。本題在應(yīng)用數(shù)學(xué)中有個(gè)專門的名稱，叫做“最短路線問題”。最短路線問題在交通運(yùn)輸、計(jì)劃規(guī)劃等許多方面都有廣泛的應(yīng)用。在實(shí)際問題中，道路圖往往很復(fù)雜，要找出從A到B的所有路線是很困難的。因此，象上面這樣的間化方法，就十分必要了。梯形ABCD的中位線EF長15厘米（見圖53），∠ABC=∠AEF=90°，G是EF上的一點(diǎn)。如果三角形ABG的面積是梯形ABCD面積的1/5，那么EG的長是幾厘米？［解］梯形ABCD的面積等于EF×AB，而三用形ABC的面積等于（1/2）EG×AB，因此三角形ABG和梯形ABCD的面積比等于（1/2）EG與EF的比。由題目的條件，三角形ABG的面積是梯形ABCD的面積的1/5，或者說EG是EF的2/5。因?yàn)镋F長15厘米.EG的長就是15厘米×2/5＝6厘米答：EG長6厘米。[分析與討論］在本題中，假設(shè)∠ABC＝∠AEG=90°，這個(gè)條件其實(shí)是多余的。只是考慮到小學(xué)同學(xué)可能還沒有學(xué)過有關(guān)中位線的性質(zhì)，才加上這個(gè)條件的。有興趣的同學(xué)可以考慮一下，如果去掉這個(gè)條件，這一題應(yīng)該怎樣做？有三堆砝碼，第一堆中每個(gè)法碼重3克，第二堆中每個(gè)砝碼重5克，第三堆中每個(gè)砝碼重7克。請你取最少個(gè)數(shù)的砝碼，使它們的總重量為130克寫出的取法：需要多少個(gè)砝碼？其中3克、5克和7克的砝碼各有幾個(gè)？[解法]為廠使問題簡化，我們首先分析一下這三排砝碼之間的關(guān)系。很明顯，一個(gè)3克的破碼加上一個(gè)7克的砝碼正好等于兩個(gè)5克的砝碼（都是10兌）。因此，如果用一個(gè)3克的砝碼和一個(gè)7克的砝碼去替換兩個(gè)5克的砝碼，砝碼的個(gè)數(shù)及總重量都保持不變。這樣一來，我們就可以把5克砝碼兩個(gè)兩個(gè)地?fù)Q掉，直到只剩一個(gè)5克的砝碼或者沒有5克砝碼為止。這樣就將問題歸結(jié)為下面兩種情形：一、所取的砝碼中沒有5克砝碼。很明顯，為了使所取的砝碼個(gè)數(shù)盡量少，應(yīng)該盡可能少取3克砝碼，而130克減去3克砝碼的總重量應(yīng)該是7無的倍數(shù)。計(jì)算一下就可以知道，取0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)3克砝碼，所余下的重量都不是7克的倍數(shù)。面如果取6個(gè)3克砝碼，則130-3克×6=112克=7克×16。于是可以取16個(gè)7克砝碼和6個(gè)3個(gè)克砝碼，總共22個(gè)砝碼，二、所取的砝碼中有一個(gè)5克的。那么3克和7克砝碼的總重最是130克-5克=125克、和第一種情形類似，可以算出應(yīng)取2個(gè)3克砝碼和17個(gè)7克砝碼，這樣總共有17+2+1=20個(gè)砝碼。比較上面兩種情形，我們得知最少也取20個(gè)砝碼。取法可以就象后十種情形那樣；2個(gè)3克的，1個(gè)5克的，17個(gè)7克的；當(dāng)然也可以用兩個(gè)5克砝碼換掉一個(gè)3克和1個(gè)7克的砝碼，例如可以取5個(gè)5克的和15個(gè)7克的。答：最少要取20個(gè)砝碼，取法如上述。[分析和討論]在這個(gè)問題中，有三個(gè)數(shù)（即三種砝碼的個(gè)數(shù)）是可以變的。上面的解法實(shí)質(zhì)上是先固定一個(gè)數(shù)（5克砝碼的個(gè)數(shù)）、那么只剩下的個(gè)數(shù)在變，就比較容易處理了。如果三個(gè)數(shù)都在變，就會變得很亂，即使是找到一種只需20個(gè)砝碼的取法，也很難說清楚為什么這就是最少的。如果同學(xué)們還想冉做一個(gè)這樣的習(xí)題，那么不妨算一下，在本題的條件下，至多可以取多少個(gè)砝碼？怎樣取？有5塊圓形的花圃，它們的直徑分別是3米、4米、5米、8米、9米；請將這5塊花圃分成兩組，分別交給兩個(gè)班管便兩班所管理的面積盡可能接近。[解法]我們知道，每個(gè)圓的面積等于直徑的平方乘以（π/4）?，F(xiàn)在要把5個(gè)圓分組，兩組的總面積累盡可能接近或者說；兩組總面積的比盡可能接近！由于每個(gè)圓面積都有因子（π/4）。而我們關(guān)心的只是面積的比，所以不把這個(gè)共同的因索都去掉，而把問題簡化為：將5個(gè)圓公成兩組，使兩組圓的直徑的個(gè)方和盡可能接近。5個(gè)圓的直徑的平方分別是：9，16，25，64，81。這5個(gè)數(shù)的和是195。由于195是奇數(shù)，所以不可能把這5個(gè)數(shù)分成兩組，使它們的和相等。另一方面.81+16=97，9+25+24=98天者僅相差1，這當(dāng)是我樣期望的最佳分配了。答：應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個(gè)花圃交給一個(gè)班管理，其余三個(gè)花圃交給另一個(gè)班管理。[分析與討論]這個(gè)題目和“華羅庚金杯”賽第一屆初賽第18題屬于同一類型。做這個(gè)題目時(shí)，如果先每花圃的面積、再根據(jù)面積來分組，計(jì)算量就太大了。將這個(gè)因數(shù)去掉，只考慮直徑的平方，就使問題大大簡化。一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，問：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中（包括第100個(gè)數(shù)）有多少個(gè)偶數(shù)？[解法]觀察一下已經(jīng)寫出的數(shù)就會發(fā)現(xiàn)，每隔兩個(gè)奇數(shù)就有一個(gè)偶數(shù)。如果再算幾個(gè)數(shù)，會發(fā)現(xiàn)這個(gè)規(guī)律仍然成立。這個(gè)規(guī)律是不難解釋的：因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)的和是偶救，所以兩個(gè)種數(shù)后面一定是偶數(shù)。另一方面，一個(gè)奇放和一個(gè)偶數(shù)的和是奇數(shù)，所以偶數(shù)后面一個(gè)是奇數(shù)，再后面一個(gè)還是奇數(shù)。這樣，一個(gè)偶數(shù)后面一定有連續(xù)兩個(gè)奇數(shù)，而這兩個(gè)奇數(shù)后面一定又是偶數(shù)，等等。因此，偶數(shù)出現(xiàn)在第三、第六、第九……第九十九個(gè)位子上。所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)等于100以內(nèi)3的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，它等于99÷3＝33。答：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中共有33個(gè)偶數(shù)。［分析與討論]本題給出的這串?dāng)?shù)叫做“菲波那西數(shù)列”，又叫“兔子數(shù)列”，它有許多有趣的性質(zhì)。有興趣的同學(xué)可以想想：在這串?dāng)?shù)的前1000個(gè)數(shù)中，有多少個(gè)3的倍數(shù)？有多少個(gè)11的倍數(shù)？王師傅駕車從甲地開乙地交貨。如果他往返都以每小時(shí)60公里的速度行駛，正好可以按時(shí)返回甲地?？墒?，當(dāng)?shù)竭_(dá)乙地時(shí)、他發(fā)現(xiàn)他從甲地到乙地的速度只有每小時(shí)55公里，如果他想按時(shí)返回甲地，他應(yīng)以多大的速度往回開？[解法]根據(jù)題意，如果王師傅往返都以每小時(shí)60公里的速度行駛，正好按時(shí)返回甲地。也就是說，按計(jì)劃行駛1公里的時(shí)間是小時(shí)。而王師傅從甲地到乙地的實(shí)際行駛速度只有55公里/小時(shí)，這樣一來、實(shí)際行駛1公里所花費(fèi)的時(shí)間是小時(shí)，比計(jì)劃時(shí)間多用了（－）小時(shí)為了能按時(shí)返回甲地，王師傅從乙地返回甲地時(shí)，行駛1公里所花的時(shí)間必須比原計(jì)劃時(shí)間少（－）小時(shí)。也就是說，只能花[－（－）]小時(shí)。因此王師傅往回開的速度應(yīng)是66公/小時(shí)。答：王師傅應(yīng)以66公里/小時(shí)的速度往回開。圖54大圈是400米跑道，由A到B的跑道長是200米，直線距離是50米。父子倆同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)逆時(shí)針方向沿跑道進(jìn)行長跑鍛煉，兒于跑大圈，父親每跑到B點(diǎn)便沿各直線跑。父親每100米用20秒，兒子每100米用19秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時(shí)，第一次與父親再相遇？[解法]首先我們要注意到：父親和兒子只能在由A沿反時(shí)針方向到B這一段跑道上相遇。而且兒子比父親跑得快，所以相遇時(shí)一定是兒子從后面追上父親。兒子跑一圈所用的時(shí)間是19×（400∪÷100）=76，也就是說，兒了每過76秒到達(dá)A點(diǎn)一次。同樣道理，父親每過50秒到達(dá)A點(diǎn)一次。在從A到B逆時(shí)針方向的一段跑道上，兒子要跑19×（200∶100）＝38秒，父親墊跑20×（200÷100）=40.因此，只要在父親到達(dá)A點(diǎn)后的2秒之內(nèi)，兒子到達(dá)A點(diǎn)，兒子就能從后面追上父親。于是，我們需要找76的一個(gè)整數(shù)倍（這個(gè)倍數(shù)是父子相遇時(shí)兒子跑完的圈數(shù)），它比50的一個(gè)整數(shù)倍大，但至多大2。換句話說，以找76的一個(gè)倍數(shù)，它除以50的余數(shù)在0到2之間，這試一下就可以了：76÷50余26，76×2÷50余2，正合我們的要求。因此.在父子辦第一次相遇時(shí)，兒子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈。答：兒子在跑第3圈時(shí)，第一次與父親再相遇。[分析與討論]嚴(yán)格地說，一面用的“試除”的方法不是好方法。在一般情況下，還是應(yīng)該先看看76的倍數(shù)除以50的余數(shù)有什么規(guī)律，有興趣的同學(xué)可想一想：兒子在跑第幾圈時(shí)，第二次與父親再相遇？

決賽第一試試題與解答圖55的30個(gè)格子中各有一個(gè)數(shù)字，最上面一橫行和最左面一豎列的數(shù)字已經(jīng)填好，其余每個(gè)格子中的數(shù)字等于同一橫行最左面數(shù)字與同一豎到最上面數(shù)字之和（例如a=14＋17＝31）。問這30個(gè)數(shù)字的總和等于多少？［解法]從題目的填數(shù)規(guī)則，我們知道，與12同一行的六個(gè)格子中都有12這個(gè)數(shù)，因此總和數(shù)中有六個(gè)12相加。與14同一行的六個(gè)格子中都有14這個(gè)數(shù)，所以總和數(shù)中有六個(gè)14這個(gè)數(shù)。同樣，與16同一行，與18同一行的格子中，分別都有六個(gè)16，六個(gè)18，也就是說，從行看總和中有六個(gè)12，六個(gè)14，六個(gè)16，六個(gè)18.它們的和是6×（12＋14＋16＋18）再從列看，與11同一列的五個(gè)格子中都有11這個(gè)數(shù)。所以在總和數(shù)中有五個(gè)11這個(gè)救。同樣分析，總和數(shù)中有五個(gè)13，五個(gè)15，五個(gè)17，五個(gè)19，它們之和是：5×（11＋13＋15＋17＋19）方格子中還有一個(gè)數(shù)10，此外，沒有別的數(shù)了。所以總和數(shù)＝6×（12＋14＋16＋18）＋5×（11＋13＋17＋19）＋10＝745［分析與討論]這道題，有的同學(xué)按填數(shù)規(guī)則把每個(gè)格于上的數(shù)都填出來，然后用硬加的辦法求出總和數(shù)。這樣做法個(gè)可取，因?yàn)槿绻袛?shù)列數(shù)很大時(shí)，這樣做的計(jì)算最大，硬加就很困難。因此應(yīng)該采用巧算法。本題還有其它的巧算法，這里就不再敘述了。另外需要提醒的是，不少問學(xué)思路是正確的，但忘了加10這個(gè)數(shù)。同學(xué)們不要輕視這種疏忽。本題求一些數(shù)的和，在表現(xiàn)形式上是有新意的，平時(shí)同學(xué)們常做的求和問題，多數(shù)是求一串?dāng)?shù)的和，而本題是求一個(gè)表上所有數(shù)字之和。這種填著數(shù)的表格在工農(nóng)業(yè)和科學(xué)試驗(yàn)上是常用的。平行四邊形ABCD周長為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米（圖57）；以CD為底時(shí)高是16厘米。求：平行四邊形ABCD的面積。[解法]平行四邊形的面積=底×高所以，平行四邊形ABCD的面積S=BC×14，同樣S＝CD×16，也就是CD＝S。所以BC＋CD＝S＋S＝（＋）×S這就是×75＝（＋）×SS=280（平方厘米）答：平行四邊形ABCD的面積是280平方厘米。［分析與討論]本題是求面積問題，解法很多。問學(xué)們可以試試其它解法再和上面的解法比較一下，看看哪種方法最簡便？同一個(gè)問題，可以從不同角把它看成不同的數(shù)學(xué)問題，比如本題可以看成求面積問題，也可以看成“工程問題。這種能力的培養(yǎng)也是非常重要的。一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用時(shí)間之比次依是4∶5∶6。已知他上坡時(shí)速度為每小時(shí)3公里.路程全長50公里。問此人走完全程用了多少時(shí)間？［解法］上坡時(shí)間是（上坡路程）÷（上坡的速度）＝50×÷3＝（小時(shí)）上坡時(shí)間占全程時(shí)間的所以，全程時(shí)間＝（小時(shí)）＝＝（小時(shí)）答：此人走完全程共用了小時(shí)。[分析與討論]這是一道比例題。比例問題在代數(shù)和幾何中都很重要。在小學(xué)算術(shù)課本中也有不少比例問題，主要是搞清楚部分與整體的關(guān)系。在進(jìn)一步學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們會不斷得到有關(guān)知識與技能。小玲有兩種不同形狀的紙板。一種是正方形的，一種是長方形的（圖58）。正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒（圖59）。正好將紙板用完，在小玲所做的紙盒中、豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？[解法1]設(shè)豎式盒總數(shù)：橫式盒總數(shù)=X∶1長方形紙板數(shù)量=（4X＋3）×（橫式盒的總數(shù)）；正方形紙板數(shù)量=（X＋2）×（橫式盒的總數(shù)）。所以4X＋3=2×（X＋2）X＝答：豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。[解法2]如果把無蓋紙盒都加上了蓋子。那么，無論盒是豎式的還是橫式的，在加蓋以后都用了兩塊正方形紙板四塊長方形紙板。因此，加蓋以后所用的正方形紙板總數(shù)長方形紙板總數(shù)之比是2∶4=1∶2。而在加蓋以前所用正方形紙板總數(shù)與長方形紙板總數(shù)之比恰好也是1∶2。由此可見，所加的蓋子中正方形的比是1∶2，因?yàn)樨Q式的蓋子是正方形的，而橫式盒的蓋子是長方形的。所以在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。[分析與討論]注意，“解法2”是對于比數(shù)是1∶2這個(gè)特定條件下的一種特殊解法，它不具普遍性。比如，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶3，那么答案就是3∶1。請同學(xué)們算一算，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是N∶M，那么答案是什么？請自己分析討論一下。在工業(yè)生產(chǎn)中，常常遇到這樣一類問題，原材料的來源是按一定的配比給定了，要用這些材料生產(chǎn)各種類型的產(chǎn)品。這時(shí)有最佳安排問題。安排不好就會造成材料的浪費(fèi)。學(xué)了小學(xué)的數(shù)學(xué)知識就可以解決一些這類問題中最簡單的問題。在一根長木棍上，有三種刻度線、第一種刻度線將木棍分成十等份；第二種將木棍分成十二等份；第三仲將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度先將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？[解法]求出（10，12，15）的最小公倍數(shù)，它是60。把這根木棍的10等分的每等分長6個(gè)單位。12等分的每等分長5單位；15等分的每等分長4單位。不計(jì)木的兩個(gè)端點(diǎn)，木棍的內(nèi)部等分點(diǎn)數(shù)分別是9，11，14（相應(yīng)于10，12，15等分），共計(jì)34個(gè)。由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等分的內(nèi)分點(diǎn)在30單位處處相重，必須從34中減。又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等分的內(nèi)分點(diǎn)在20童位和40童位兩個(gè)相重，必須再減去2。同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等分的內(nèi)分點(diǎn)在12，24，26；48童位處相重，必須再減去4。由于這些相重點(diǎn)，各不相同，所以從34個(gè)內(nèi)分點(diǎn)中減去1，再減去2，再減去4，得27小刻度點(diǎn)，沿這些刻度點(diǎn)把木棍鋸成28段。答：木棍總共被鋸成28段。[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學(xué)把木棍長看成1個(gè)單位，那么等分點(diǎn)將是一批分?jǐn)?shù)，分析起來不如這里父段。[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學(xué)把木棍長看成1個(gè)單位，那么等分點(diǎn)將是一批分?jǐn)?shù)，分析起來不如這里給出的解法清楚，因此計(jì)數(shù)多有錯(cuò)。也有一些同學(xué)列出全部等分點(diǎn)，計(jì)算繁瑣，也未必能做對，所以巧算是很重要的。已知：ａ＝問：a的整數(shù)部分是多少？[解法]ａ＝＝＝＝＝現(xiàn)在我們來看a的第二項(xiàng)的分母，一方面11×65+12×66+13×67+14×68+15×69＜11×69+12×69+13×69+14×69+15×69另一方面11×65+12×66+13×67+14×68+15×69＞11×65+12×65+13×65＋14×65+15×65由于一個(gè)正的分?jǐn)?shù)，分母變小分?jǐn)?shù)變大，分母變大分?jǐn)?shù)變小。所以＜即＜同樣分析可得，＞也就是＜＜100＋＜100＋×100＜100＋100＋＜a＜100＋100＋＜a＜100＋所以a的整數(shù)部分是101。答：a的整數(shù)部分是101。[分析與討論]這是一道估值問題。估值問題不論在純數(shù)學(xué)上還是在應(yīng)用數(shù)學(xué)上都很重要。估值問題在小學(xué)生中很少受到訓(xùn)練。但同學(xué)們在日常生活中，經(jīng)常會遇到一些這類問題，他們也有一些解決的辦法。當(dāng)然直接計(jì)算的方法是不可取的。在小學(xué)生中，適當(dāng)增加一點(diǎn)這方面的訓(xùn)練，是有好處的。圖60算式中，所有分母都是四位數(shù)。請?jiān)诿總€(gè)方格中各填入一個(gè)數(shù)字，使等式成立。圖60[解法］本題中，三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是四位數(shù)、不能立刻看出結(jié)果，因此有必要將問題先簡化一下。我們知道，如果將三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，等式照樣成立。這就啟發(fā)我們一種化簡的方法，使分母盡量變得簡單。自然的想法是將1988這個(gè)數(shù)做質(zhì)因數(shù)分解。通過試除知道1988的質(zhì)因數(shù)分解為：1988＝2×2×7×71。這樣，根據(jù)上面的分析，可以先用1988的約數(shù)來代替1998，試著找一組解，然后再將分母都乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，檢查一個(gè)是否都是四位數(shù)就行了例如：1988的質(zhì)因數(shù)分解中有的數(shù)4，很容易看出：由于1988＝2×2×7×71=4×497，所以，將上面等式的兩邊均乘上，就得，即這樣就給出了一組適合條件的解。再如，1988＝2×2×7×71=（2×7）×（2×71）＝14×142而且有，兩邊同乘以，就得即這就給出了另一組解。[分析和討論]我們在解題中只給出了二組不同的解，而且在找解時(shí)多少帶有一點(diǎn)試探的意味。這是因?yàn)橐抻谛W(xué)教村的內(nèi)容，而且也為了使同學(xué)們對如何簡化問題的技巧有一點(diǎn)體會。這道題有多少組不同的解呢？是不是還有更一般的方法？下面就來討論。因?yàn)?，要涉及到較深一點(diǎn)的知識，同學(xué)們?nèi)绻F(xiàn)在看不懂，可以留到以后再看。為敘述方便，個(gè)妨將問題重寫出來設(shè)X，Y為兩個(gè)四位數(shù)，并適合（1）問：X，Y各為多少？解：從（1）式可以看出，＜，也就是說Y＜1988。令U＝1988－Y根據(jù)題意，Y是四位數(shù)，即Y＞1000，由此可知：0＜U＜988（2）和U代換（1）式中的Y，我們有（3）因此（4）亦即XU=（1988-U）1988=19882-988U（5）從（5）式可以得到19882=XU＋1988U=（X＋1988）U（6）也就是說，（7）其中，S為4位數(shù)，U是適合條件（2）的整數(shù)。由于（7）式左方是整數(shù)，因此U必須是19882的因子。更進(jìn)一步，按題設(shè)X是四位數(shù)，亦即X≤9999。所以從（7）式可知＝X＋1988≤11987（8）即U≥＞329.5（9）再結(jié)合（2）式，我們有330＜U＜988（10）這樣，整個(gè)問題就化為求19882中適合條件（10）的因數(shù)有多少個(gè)？容易看出：1988有質(zhì)因素分解1988=22×7×71（11）因此，19882=24×72×712。其中有哪些因數(shù)適合條件（10）呢？經(jīng)過檢查可知有如下4個(gè)因素：71×7，71×23，72×23，72×24用這4個(gè)數(shù)分別代入（7）式和Y=1988-U，就可以得到四組解如下：（1）X=5964，Y=1491；（Ⅱ）X＝4970，Y=1420；（Ⅲ）X=8094，Y=1596；（Ⅳ）X＝3053，Y＝1204。最后，我們要給出解的一般公式，以供參考。設(shè)X，Y，Z為三個(gè)自然數(shù)，適合（12）求X，Y，Z的一般形式［解］由（12）式可知：＜，＜（13）因此，X＞Z，Y＞Z，由此不妨設(shè)X＝Z+U，Y=Z+V（14）其中U＞0，V＞0.將（14）式代入到（12）式中，我們有＝（15）即（2Z＋U＋V）Z=（Z+U）（Z+V）=Z2＋ZU+ZV+UV（16）化簡后可得：Z2=UV（17）設(shè)U和V有最大公約數(shù)為T，則U=U1·T，V=V1.T（18）其中U1和V1互質(zhì)。將（16）式代入到（17）式中，可以得到Z=Z1T（19）而Z1，U1，V1適合方程（20）因?yàn)閁1和V1互質(zhì)，即只有公因數(shù)1，從（20）可知U1和V1均為平方數(shù)，也就說，一般解為，，（21）將（21）式代入到（14）式中，我們有一般解：X=R（R＋S）TY＝S（R＋S）T（22）Z=R·S·T其中R，S，T均為自然數(shù)。有興趣的同學(xué)不妨用一般公式試試求本題的解。

決賽第二試試題與解答有50名學(xué)生參加聯(lián)歡會。第一個(gè)到會的女生同全部男生握過手，第二個(gè)到會的女生只差1個(gè)男生沒握過手，三個(gè)到會的女生只差2個(gè)男生沒握手，如此等等，最后一個(gè)到會的女生同7個(gè)男生握過手，問這50名同學(xué)中有多少男生？[解法]從題目中已經(jīng)知道參加聯(lián)歡會的男生和女生共有50名。因此，如果知道男生人數(shù)與女生人數(shù)的差，那么這50名同學(xué)中有多少男生就可以知道了。為了使題目中的條件更容易分析，我們不妨將女生的順序反過來，從后往前看。也就是說：最后一個(gè)到會的女生同7個(gè)男生握過手；倒數(shù)第二個(gè)到會的女生同8個(gè)男生握過手；倒數(shù)第三個(gè)到會的女生同9個(gè)男生握過手；如此等等，第一個(gè)到會（即倒數(shù)最后一個(gè)）的女生同全男生握過手，由此立刻可知，男生的人數(shù)比女生的人數(shù)多6個(gè)人，再通過簡單的計(jì)算就可得到：男生的人數(shù)為28人。答：這對50名同學(xué)中有28名男生。[分析與討論]這道題實(shí)際上也就是大家常說的年齡問題。分子小于6而分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？［解法]在解這道題時(shí)，首先要弄清“不可約真分?jǐn)?shù)”的意思。當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子與分母互質(zhì)時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)稱為不可約分?jǐn)?shù)；當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子小于分母時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就稱為真分?jǐn)?shù)。弄清了這些概念以后，剩下的問題就是用什么方法將符合題目條件的分?jǐn)?shù)準(zhǔn)確地找出來。也就是說，“數(shù)”的時(shí)候既不能重復(fù)又不能遺漏。由于分子的取值范圍是從1到5，明顯地小于分母的取值范圍，因此自然會想到對分子分別為1，2，3，4，5的情形逐一考慮。當(dāng)分子為1時(shí)，分母可從2到59，共有58個(gè)真分?jǐn)?shù)，它們當(dāng)然都是不可約分?jǐn)?shù)。由于2，3，5都是質(zhì)數(shù)，因此當(dāng)分子分別為2，3，5時(shí)，分母必須而且只須適合下列二個(gè)條件就可以了.1）分母大于分子且小于60.2）分母不是分子的倍數(shù)。經(jīng)過簡單的計(jì)算（請同學(xué)們仔細(xì)算一算）?？梢灾溃寒?dāng)分子為2時(shí)，適合條件的分母有29個(gè)當(dāng)分子為3時(shí)，適合條件的分母有38個(gè)、當(dāng)分子為5時(shí)，適合條件的分母有44個(gè)最后來看分子為4的情形。因?yàn)?不是質(zhì)數(shù)，所以不能照搬上面的算法。也就是說，不能只將4的倍數(shù)去掉，應(yīng)該去掉偶數(shù)。這樣一來，分母就只有從5到59的奇數(shù)了，一共有28個(gè)。總之，符合要求的分?jǐn)?shù)共有58+29＋38＋44＋28＝197（個(gè)）答：分子小于6而分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)共有197個(gè)。[分析與討論]這道題并不難，但容易算錯(cuò)。有不少同學(xué)的方法是對的，但算不清楚。例如：有的同學(xué)忘了“真分?jǐn)?shù)”的條件，不管分子是幾，分母都從1算起。還有不少同學(xué)在討論分子為4的情形時(shí)，分母只去掉了4的倍數(shù)，而忘掉了2的倍數(shù)與4也不互質(zhì)。另外，還有少數(shù)同學(xué)直接討論分母，當(dāng)然就亂成一團(tuán)了。計(jì)算能力是數(shù)學(xué)的一項(xiàng)基本功，同學(xué)們應(yīng)該從小就扎扎實(shí)實(shí)地打好基礎(chǔ)。千萬不能“眼高手低”。己知五個(gè)數(shù)依次是13，12，15，25，20它們每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得四個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得三個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)相乘得兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相乘得一個(gè)數(shù)。請問最后這個(gè)數(shù)從個(gè)位起向左數(shù)、可以連續(xù)地?cái)?shù)到幾個(gè)0（參看圖61）？[解法]對一般的幾個(gè)整數(shù)的乘積，如果要確定它后面有幾個(gè)0.可以用這樣的辦法：把每個(gè)乘數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，把分解中2的重?cái)?shù)加起來，5的重?cái)?shù)也加起來，看哪一個(gè)小，哪一個(gè)就是乘積尾部0的個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?0＝2×5，所以乘積尾部有個(gè)0，質(zhì)因數(shù)2和5的重?cái)?shù)就至少是幾。我們可以分別計(jì)算質(zhì)因數(shù)2和5的重?cái)?shù)。為此我們畫兩個(gè)圖（圖62、圖63）：圖中的數(shù)字是這樣填的：以2的重?cái)?shù)為例，第一行第一個(gè)數(shù)13不含因數(shù)2，在這個(gè)位置填0，第二個(gè)數(shù)12含2重因數(shù)2（12=2×2×3），在這個(gè)位置填2，等等。下面各行各數(shù)都是肩上兩數(shù)的和（因?yàn)槌朔e的因數(shù)2的重?cái)?shù)等于各乘數(shù)的因數(shù)2的重?cái)?shù)的和）。這樣我們就把圖61中每個(gè)圈中數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中的2的重?cái)?shù)和5的重?cái)?shù)分別標(biāo)在圖62和圖63中了。特別地，最下面一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解中2的重?cái)?shù)是10，5的重?cái)?shù)是15，所以它尾部應(yīng)該有10個(gè)0。答：可以連續(xù)地?cái)?shù)到10個(gè)0。[分析與討論]因?yàn)閿?shù)字不太多，圖62和圖63的圈是逐個(gè)填上的。如果第一行的數(shù)再多幾個(gè)的話；最好還是先找找各圈中數(shù)的規(guī)律。我們先看第二行。第二行第一個(gè)數(shù)是第一行第一、二個(gè)數(shù)的和，第二個(gè)數(shù)是第一行第二、三個(gè)數(shù)的和，等等。再看第三行。第三行第一個(gè)數(shù)是第二行第一、二個(gè)數(shù)的和，也就等于第一行第一個(gè)數(shù)加上第二個(gè)數(shù)的2倍再加第三個(gè)數(shù)。類似地，第三行第一個(gè)數(shù)等于第一行第一個(gè)數(shù)加第二個(gè)數(shù)的3倍加第三個(gè)數(shù)的3倍加第四個(gè)數(shù)。最后，最下面一個(gè)數(shù)等于第一行的數(shù)分別乘以1，4，6，4，1再加起來，如0×1＋2×4＋0×6＋0×4＋2×1=10，0×1＋0×4＋1×6＋2×4＋1×1＝15?？傊?，在一般情況下，每個(gè)圈中的數(shù)可以這樣得到：在第一行找出與這個(gè)圈有直線相連的兩個(gè)圈、將這兩個(gè)圈之間的圈（包括這兩個(gè)圈）中的數(shù)分別乘以一個(gè)整數(shù)再加起來，所乘的整數(shù)見圖64：圖中的乘數(shù)排列成一個(gè)三角形，這就是著名的“揚(yáng)輝角”，其中的每個(gè)數(shù)部稱為“組合數(shù)”。將來同學(xué)們在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)，會知道楊輝三角有很多有趣的性質(zhì)。參看華羅庚：《從楊輝三角談起》。用1分、2分和5分的硬幣湊成一元錢、共有多少種不同的湊法？【解法】為了找到簡捷的解法，我們先將問題作一番分析。首先注意.要確定二種湊法是否相同，只要看二種湊法中所用的二分硬幣的個(gè)數(shù)和五分硬幣的個(gè)數(shù)是否分別相等就可以了。其次，用一分，二分和五分硬幣湊成一元錢與用二分和五分硬幣湊成不超過一元錢的湊法是一樣的。最后，不難看出，二分硬幣最多用50個(gè)，五分硬幣最多用20個(gè)。經(jīng)過上面的分析，我們看到問題的提法可以改為：有二分硬幣50個(gè)，五分硬幣20個(gè)。問：湊成不超過元錢的個(gè)同湊法有多少種？這個(gè)問題的解法有很多，這坐我們將給出二種不同的解法?！窘夥?】這是一種直接的解法?；鞠敕ㄊ前?五分硬幣的個(gè)救將所有湊法分類。假定五分硬幣有20個(gè)，則沒有二分硬幣，因此只有一種湊法。假定五分硬幣有19個(gè)，幣值為5×19=95分，因此要使總幣值不超過1元=100分，所取二分硬幣的幣值不能超過5分。很明顯，二分硬幣的個(gè)數(shù)可以為0個(gè)，1個(gè)，或2個(gè)，這樣就有三種不同的湊法。如此繼續(xù)下去，可以看出不同的湊法共有1＋3＋6＋8＋11＋13＋……＋48+51=（1＋48）＋（3＋46）＋（6＋43）＋……＋（23+26）+51=49×10+51=541（種）答：共有541種湊法?！窘夥?】這是一種比較巧妙的簡便算法。將50個(gè)二分硬幣和20個(gè)五分硬幣分成甲、乙二組。因?yàn)檫@些硬幣的總幣值為50×2+20×5=200（分）。所以甲、乙二組的幣值無非是下面三種情形；（1）甲組的錢比一元少，乙組的錢比1元多。（2）甲組的錢比一元多，乙組的錢比1元少。（3）甲、乙兩組的錢相等，都是一元錢。這里有兩點(diǎn)要特別注意：第一，情形（1）與情形（2）是對稱的，只不過甲和乙交換了位置。第二，（1）的所有可能性加上（3）的所有可能性就是我們的問題的答案。那么（1），（3）的個(gè)數(shù)各有多少呢？先計(jì)算一下上面的分組總共有多少不同的方法。因?yàn)槎钟矌庞?0個(gè)，所以有51種分法。類似地，五分硬幣有20個(gè)，所以有21種分法。這樣總共就有21×51種不同的分法。再來看甲，乙兩組的錢都是一元這種情形的分法有多少種？很明顯，這時(shí)五分硬幣必須有偶數(shù)個(gè)（為什么？），所以五分硬幣的數(shù)可以為0個(gè)，2個(gè)，……，20個(gè)，共有十一種分法。根據(jù)情形（1）和情形（2）的對稱性，容易知道（1）的個(gè)數(shù)為（21×51-11）÷2=530（1）的個(gè)數(shù)加上（3）的個(gè)數(shù)是530+11=541（種）這就是答案?！痉治雠c討論】這是一道思考與計(jì)算相結(jié)合的題。用解法1來做的同學(xué)比較多。但大部份同學(xué)都沒有算對，也許是“數(shù)”不清楚吧。學(xué)會“數(shù)”數(shù)是數(shù)學(xué)原基本的功夫，可不能馬虎。提高你的“數(shù)”數(shù)能力，不妨換個(gè)方法試試。解法2避免了較多的計(jì)算，但不容易想到。建議同學(xué)們仔細(xì)想清楚，或許能從中得到一點(diǎn)啟示。有的同學(xué)在答卷上寫了一個(gè)方程式X+2Y-5Z=100.X、Y、Z分別為一分，二分和五分硬幣的個(gè)數(shù)。這個(gè)方程式當(dāng)然是對的，但怎樣解？答卷上找不到下文。解法二實(shí)際上是上述方程的一種解法。有兩個(gè)班的小學(xué)生要到少年宮參加活動(dòng)，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時(shí)，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速度為每小時(shí)4公里，載學(xué)生時(shí)車速每小時(shí)40公里，空車每小時(shí)50公里。問：要使兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)少年宮，第一班學(xué)生步行了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時(shí)間不計(jì)）【解法】首先注意，由于兩個(gè)班的同學(xué)都是一段路步行一段路乘車，而乘車的速度比步行快，中間又沒有停留，因此要同時(shí)到達(dá)少年宮，兩個(gè)班的同學(xué)步行的路程一定要一樣長。我們畫一個(gè)圖（見圖書65）來分析。圖中A是學(xué)校，B是少年宮，C是第一班學(xué)生下車的地點(diǎn)，D是第二班學(xué)生上車的地點(diǎn)。由上所述AD和CB一樣長。設(shè)第一班同學(xué)下車時(shí)，第二班同學(xué)走到E處。由于載學(xué)生時(shí)車速為每小時(shí)40公里，而步行的速度為每小時(shí)4公里，是車速的1/10，因而AE是AC的1/10。在第一班學(xué)生下車后，汽車從C處迎著第二班學(xué)生開，車速是每小時(shí)50公里，而第二班學(xué)生從E處以每小時(shí)4公里的速度向前走，汽車和第二班學(xué)生在D點(diǎn)相遇。這是普通的行程問題，不難算出ED是EC的，由于EC是AC的，可見ED是AC的。這樣AD就是AC的最后，由于AD=CB，AD就是AB的答：第一班學(xué)生步行了全程的?！痉治雠c討論】這道題比普通行程問題略為復(fù)雜一些，有不少同學(xué)做出來了，而且方法也很多。有興趣的同學(xué)可以想想其它的解法，如列方程的方法，并比較一下各種解法的不同。下面是兩個(gè)1989位整數(shù)相乘：問：乘積的各位數(shù)字之和是多少？【解】首先注意1989是9的倍數(shù)。由9的倍數(shù)的判定法則，我們知道也是9的倍數(shù)。事實(shí)上，1989=221×9，111111111=12345679×9。所以另一方面，因此=1234567901234…01234156×（101989-1）==↑如果把最末一個(gè)1并到箭頭所指的8上去，我們就得到221個(gè)12345679和221個(gè)98765432。所以各位數(shù)字的和是221×81=17，901。答：乘積的各位數(shù)字的和是17，901。

決賽面試試題與解答圖66圖66是一個(gè)對稱的圖形。黑色部分面積大還是陰影部分面積大？【解法】因?yàn)槭菍ΨQ圖形、四個(gè)小圓半徑相等，且恰好是大園半徑的一半。這樣，每個(gè)小圓面積等于大圓面積的，四個(gè)小圓面積之和正好等于大圓面積。陰影部分是四個(gè)小圓相重迭的部分，而黑色則是由于重迭而空余出來的部分，所以這兩部分面積相等。答：一樣大。你能不能將自然數(shù)1到9分別填入圖67的方格中，使得每個(gè)橫行中的三個(gè)數(shù)之和都是偶數(shù)？【解法】9個(gè)自然數(shù)中有5個(gè)奇數(shù)，所以這9個(gè)數(shù)字之和一定是奇數(shù)。如果每一行3個(gè)數(shù)的和都是偶數(shù)，那么9個(gè)數(shù)之和便是偶數(shù)，這是不可能的。答：不可能。司機(jī)開車按順序到五個(gè)車站接學(xué)生到學(xué)校（圖68）。每個(gè)站都有學(xué)生上車。第一站上了一批學(xué)生，以后每站上車的人數(shù)都是前一站上車人數(shù)的一半。車到學(xué)校時(shí)，車上最少有多少學(xué)生？【解法】因?yàn)槊總€(gè)站都有學(xué)生上車，所以第五站至少有1個(gè)學(xué)生上車。假如第五站只有一個(gè)學(xué)生上車，那么第四、三、二、一站上車的人數(shù)分別是2，4，8，16個(gè)。因此五個(gè)站上車的人數(shù)共有1＋2＋4＋8＋16=31（人）很明顯，如果第五站有不止一個(gè)學(xué)生上車，那么上車的總?cè)藬?shù)一定多于31個(gè).答：最少有31個(gè)學(xué)生。圖69中五個(gè)正方形的邊長分別是1米、2米、3米、4米、5米。問：白色部分面積與陰影部分面積之比是多少？【解法1】先分別算出這兩部分的面積。根據(jù)正方形面積公式，白色部分的面積是（22-12）＋（42-32）=10平方米陰影部分面積是大正方形面積減去白色部分面積，即等于52-10＝15平方米。因此白色部分與陰影部分面積之比是10∶15，即2∶3。答：2∶3?！窘夥?】我們先來看看怎樣計(jì)算每個(gè)方框的面積。以最外面的方框?yàn)槔?；如?0所示，按虛線將方框剪開、再拼成兩個(gè)寬的1米，長分別為4米和5米的矩形。可見方框的面積等于4+5（平方米）。按這個(gè)方法，可知陰影部分的面積是1＋2＋3＋4+5=15（平方米）而白色部分的面積是1+2+3+4=10（平方米）所以白色部分和陰影部分的面積比是10∶15＝2∶3【分析與討論】計(jì)算方框面積的方法很多。由于本題方框個(gè)數(shù)少，各種計(jì)算方法差別不大。如果方框多一些，解法2就有明顯的優(yōu)越性了。用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)兩兩相乘?？梢缘玫?0個(gè)不同的乘積。問乘積中是偶數(shù)多還是奇數(shù)多？【解法】如果二個(gè)整數(shù)乘積是奇數(shù)，那么這二個(gè)整數(shù)都必須是奇數(shù)。五個(gè)數(shù)中有三個(gè)奇數(shù)，這三個(gè)奇數(shù)兩兩相乘，只有3個(gè)乘積，也就是說總共只有3個(gè)奇數(shù)。而偶數(shù)的乘積有10-3=7個(gè)，因此偶數(shù)多。答：乘積中偶數(shù)比奇數(shù)多。1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）＝？【解法】如果去掉括號，第一個(gè)3前面變?yōu)椤撂?，第二個(gè)3前面仍為÷號，所似3可以約掉。同樣，4和5都可以約掉，只剩下1÷2×6=3答：原式=3?！痉治雠c討論】本題是搶答題，要求四則運(yùn)算熟練準(zhǔn)確。如果列出算式計(jì)算便嫌太慢了，必須用心算很快算出來。將右邊的硬紙片沿虛線折起來。便可作成一個(gè)正方體。問：這個(gè)正方體的2又號面對面是幾號面？【解法1】正方體中，相對的兩個(gè)面?zhèn)€能有公共頂。給出的硬紙片中，1、3、4、5號面都與2號面有公共頂點(diǎn)，只有6號面與2號而沒有公共頂點(diǎn)，所以2號面的對面是6號面。【解法2】這道題的目的是檢查同學(xué)們對簡單的空間圖形的想象力。在下面的解法中、請同學(xué)們注意空間圖形面展開圖之間的聯(lián)系。我們先來看一個(gè)簡單的情形（圖72）。左圖是平面展開圖，而右圖是立體圖。對于這個(gè)圓形，很容易看出：1、2、4、6這四個(gè)面圍成立方體的四個(gè)側(cè)面，3號面為頂面，5號面為底面。因此，1號面的對面是4號面；2號面的對面是6號面；3號面的對面是5號面。我們現(xiàn)在換一個(gè)方式將立方體拆開，看新的平面展開圖是什么形狀？例如：將4號面與6號面的公共邊剪開，將6號面與5號面粘上，這樣，平面展開圖就成了圖71。也就是說：圖71和圖72只不過同一個(gè)立方體的不同平面展開圖而已，因此，圖71中2號面的對面是6號面。順便說一句，我們也同時(shí)知道了1號面，3號面的對面分別是4號面和5號面。答：2號面的對面是6號面。【分析與討論】空間圖形的想象力是數(shù)學(xué)的基本功之一。如果同學(xué)們對這個(gè)問題有點(diǎn)生疏的話，不妨自己動(dòng)手用硬紙片做一個(gè)立方體。然后再用不同的方法展開成平面圖。為了幫助大家加深理解，我們再出一道思考題，有興趣的同學(xué)可以想一想?！舅伎碱}】圖73的兩塊紙板能不能折成正方體盒子？如果能，請指出每個(gè)面的對面是哪一個(gè)面；如果不能，請說明原因。下面是一個(gè)11位數(shù)，它的每三個(gè)相鄰數(shù)字之和都是20。如你知道打“？”的數(shù)字是幾？【解法】因?yàn)槊肯噜?位數(shù)字之和為20，從左數(shù)起第一位數(shù)字9與第二、三位數(shù)字之和為20，第二、三位數(shù)字與第四位數(shù)字之和也走20，所以第四位數(shù)字是9。這樣，我們便找到一條規(guī)律：每隔2位必出現(xiàn)相同的數(shù)字！現(xiàn)在從最末一位數(shù)字7開始，每隔2位跳一次，正好跳到打“？”處、所以打“？”的數(shù)字應(yīng)該是7.答：打“？”的數(shù)字是7。有八張卡片。上面分別寫著自然數(shù)1到8（圖74）。從中取出三張，要使這三張卡片上的數(shù)字之和為9。問有多少種不同的取法？【解法】先確定三張卡片中數(shù)字最大的卡片。8、7都不用考慮，因?yàn)樽钚〉膬蓮埧ㄆ?和2）相加都超過9。最大數(shù)字為6時(shí)，與之搭配的只有1和2；最大數(shù)字為5時(shí)，與之搭配的只有1和3；最大數(shù)字為4時(shí)，與之搭配的只有2和3；如果最大數(shù)字不超過3，三張卡片數(shù)字之和小于9。所以，只有3種不同的取法。答：有3種不同的取法。

第三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試題以及答案（1）光的速度是每秒30萬千米，太陽離地球1億5千萬千米。問：光從太陽到地球要用幾分鐘（得數(shù)保留一位小數(shù)）？[分析]知道距離和速度，求通過全程的時(shí)間，這是很容易做的一道題。但是因?yàn)榻o出的數(shù)字很大，同學(xué)們在大數(shù)算術(shù)運(yùn)算時(shí)一定要注意計(jì)量單位，不然便會出錯(cuò)。[解法1]將距離單位換為“萬千米”，時(shí)間單位用“分”。光速=30萬千米／秒=1800萬千米／分，距離=1億5千萬千米=15000萬千米，時(shí)間=距離÷速度=15000÷1800＝[解法2]如果時(shí)間單位用“秒”，最后必須按題目要求換算為“分”．光速=30萬千米／秒，距離=15000萬千米，時(shí)間=15000÷30=500（秒），500÷60＝≈8.3（分）答：光從太陽到地球約需8.3分鐘。（2）計(jì)算[分析]這是一道很簡單的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算題，但要在30秒鐘內(nèi)算出正確答案，需要平時(shí)養(yǎng)成簡捷的思維習(xí)慣。同學(xué)們可以比較一下后面的兩種解法。[解法1]先求出30，35，63的最小公倍數(shù)。30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍數(shù)是2×3×3×5×7=630。原式通分，有原式＝＝（約分）＝〔解法2〕原式＝＝＝[注]兩種解法同樣都用到通分和約分的技巧，只有一點(diǎn)小區(qū)別：解法2在通分時(shí)不急于把公分母算出來，而是邊算邊約分。這一點(diǎn)小小的不同，卻節(jié)省了求連乘積的運(yùn)算，約分也簡單些，使計(jì)算快了不少哩?。?）有3個(gè)箱子，如果兩箱兩箱地稱它們的重量，分別是83公斤、85公斤和86公斤。問：其中最輕的箱子重多少公斤？[分析]如果將3個(gè)箱子按重量區(qū)分為大、中、小，在草稿紙上可以這樣寫：83=中+小，85=大+小，86=大+中．這樣分析后，便很容易想到簡單的解法。[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是（83＋85＋86）×－86＝41（公斤）[解法2]（83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量是（83+85-86）×＝41（公斤）答：最輕的箱子重41公斤。[注]我們當(dāng)然可以用列方程的方法求解這道題，例如設(shè)3箱的重量分別是x，y，z，再列出方程。思維過程同上面的分析是一樣的，不過速度可能會慢些。（4）請將算式的結(jié)果寫成最簡分?jǐn)?shù)。[分析]這一道題，主要是檢查同學(xué)們將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的熟練程度。[解法]原式＝＝＝＝（5）將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的表面積。[分析]我們知道，底面半徑r、高h(yuǎn)的圓柱體表面積是S=2πr2＋2πrh．本題的物體由三個(gè)圓柱組成，如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，還得注意減去重疊部分的面積，算起來便麻煩多了。但是仔細(xì)觀察后會發(fā)現(xiàn)，向上的三塊表面積之和恰好是大圓柱的一個(gè)底面面積，這樣便想到了簡單的解法。[解法]物體的表面積恰好等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1=4.5π+3π＋2π＋π=10.5π（平方米）取π值為3，上式等于41.5（平方米）。答：這個(gè)物體的表面積是41.5平方米。[注]因?yàn)槿齻€(gè)圓柱的高都是1米，所以求三個(gè)圓柱側(cè)面積之和時(shí)，還可以再簡便些：2π×（1.5＋1+0.5）＝6π。中學(xué)生學(xué)過提取公因子知識，更應(yīng)該想到這樣簡化的算法。這小小的簡化可以使計(jì)算時(shí)間縮短幾秒鐘，這在初賽時(shí)可是很有用的哩?。?）一位少年短跑選手，順風(fēng)跑90米用了10秒鐘。在同樣的風(fēng)速下，逆風(fēng)跑70米，也用了10秒鐘。問：在無風(fēng)的時(shí)候，他跑100米要用多少秒？[分析]順風(fēng)跑時(shí)的速度等于無風(fēng)時(shí)速度與風(fēng)速之和，逆風(fēng)跑時(shí)的速度等于它們的差。這樣便可以根據(jù)題目給出的條件計(jì)算無風(fēng)時(shí)的速度，然后再求出解答。[解法1]順風(fēng)時(shí)速度=90÷10=9（米／秒），逆風(fēng)時(shí)速度=70÷10=7（米／秒），無風(fēng)時(shí)速度＝（9＋7）×＝8（米/秒）無風(fēng)時(shí)跑100米需要100÷8=12.5（秒）．答：無風(fēng)時(shí)跑100米需要12.5秒。[解法2]當(dāng)然也可以列方程求解。設(shè)風(fēng)速為ｖ，無風(fēng)時(shí)跑100米需用ｘ秒。那么無風(fēng)時(shí)跑速是，它應(yīng)是順風(fēng)跑的速度減去風(fēng)速v，或是逆風(fēng)跑時(shí)的速度加上風(fēng)速v。列出方程解方程，得x=12.5（秒），v=8（米／秒）．[注]比較兩種解法，解法1直接快當(dāng)，解法2表達(dá)清楚，但花時(shí)間多些。所以在初賽時(shí)，列方程求解往往要慢些。（7）一個(gè)矩形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占矩形面積的15％，黃色三角形的面積是21平方厘米。問：矩形的面積是多少平方厘米？[分析]考察黃、綠兩個(gè)三角形，它們的底邊都等于矩形的一邊，它們的高相加恰好等于矩形的另一邊，所以它們的面積之和等于矩形面積的一半。[解法1]黃色三角形與綠色三角形面積之和是矩形面積的50％，而綠色三角形面積占矩形面積的15％，所以黃色三角形面積占矩形面積的50％-15％=35％。已知黃色三角形面積是21平方厘米，所以矩形面積等于21÷35％=60（平方厘米）[解法2]用記號S黃、S綠和S分別表示黃色三角形、綠色三角形和矩形的面積，根據(jù)上面的分析知道S黃＋S綠=S／2，或S黃=S／2-S綠．題目給出，所以（平方厘米）答：矩形面積是60平方厘米。（8）有一對緊貼的傳動(dòng)膠輪，每個(gè)輪子上都畫有一條通過軸心的標(biāo)志線。主動(dòng)輪的半徑是105厘米，從動(dòng)輪的半徑是90厘米。開始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)輪子上的標(biāo)志線在一條直線上。問：主動(dòng)輪至少轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)后，兩輪的標(biāo)志線又在一條直線上？[分析]我們將兩輪緊貼的點(diǎn)叫做接觸點(diǎn)。通過觀察不難看出，當(dāng)兩輪各有一個(gè)標(biāo)志線端點(diǎn)在接觸點(diǎn)相遇時(shí)，兩輪的標(biāo)志線便會在同一直線上。所以這道題是問：在開始轉(zhuǎn)動(dòng)后，第一次出現(xiàn)有兩個(gè)標(biāo)志線端點(diǎn)同時(shí)到達(dá)接觸點(diǎn)時(shí)，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？[解法1]兩個(gè)傳動(dòng)膠輪的轉(zhuǎn)數(shù)與它們的半徑成反比，所以為了敘述方便，用n1和n2分別代表主動(dòng)輪和從動(dòng)輪標(biāo)志線端點(diǎn)通過接觸點(diǎn)的次數(shù)。因?yàn)橹鲃?dòng)輪和從動(dòng)輪都是每轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)就有一個(gè)標(biāo)志線端點(diǎn)通過接觸點(diǎn)，所以當(dāng)主動(dòng)輪標(biāo)志線第6次通過接觸點(diǎn)時(shí)，從動(dòng)輪標(biāo)志線端點(diǎn)恰好通過接觸點(diǎn)7次，這時(shí)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。[解法2]主動(dòng)輪標(biāo)志線兩端點(diǎn)間的圓弧長恰是半個(gè)圓周，即πR，從動(dòng)輪標(biāo)志線兩端點(diǎn)間的圓弧長是πr，它們的比是πR∶πr＝R∶r＝105∶90，求兩個(gè)標(biāo)志線端點(diǎn)同時(shí)到達(dá)接觸點(diǎn)的問題，可以化成求105和90的公倍數(shù)問題。它們的公倍數(shù)是630，630÷105=6。所以主動(dòng)輪轉(zhuǎn)了6個(gè)半圈，即轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。答：主動(dòng)輪轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。（9）小明參加了四次語文測驗(yàn)，平均成績是68分。他想在下一次語文測驗(yàn)后，將五次的平均成績提高到70分以上，那么，在下次測驗(yàn)中，他至少要得多少分？[分析]對于這道題，只需知道總分=平均分×次數(shù)，便很容易做出來。[解法1]要想五次測驗(yàn)平均成績至少70分，那么五次總分至少是70×5=350分。前四次總分是68×4=272分，所以第五次測驗(yàn)至少要得350-272＝78分。[解法2]要從平均68分提高到至少70分，前四次測驗(yàn)總分少了（70-68）×4=8分。所以第五次至少要得70+8=78分。答：第五次測驗(yàn)至少要得78分。[注]比較兩種解法，解法2當(dāng)然要簡便些。在初賽和決賽口試時(shí)，時(shí)間很寶貴。即使是簡單的題目，也要用盡量快捷的方法，以便贏得哪怕是幾秒鐘的時(shí)間。北京市一位小同學(xué)來信對這道題的敘述提出意見：“將五次的平均成績提高到70分以上”究竟是否包含70分？這意見提得很好。為了表達(dá)更明確，這句話應(yīng)改為“將五次的平均成績提高到最少70分?！敝?jǐn)向那位小同學(xué)致謝。（10）圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個(gè)數(shù)與黑色小三角形的個(gè)數(shù)之比。[分析]一看到題目，當(dāng)然會先試試計(jì)算黑、白兩種小三角形的個(gè)數(shù)，這是很容易做到的。[解法]白色小三角形個(gè)數(shù)＝1＋2＋…＋6＝黑色小三角形個(gè)數(shù)＝1＋2＋…＋7＝所以它們的比＝。答：白色與黑色小三角形個(gè)數(shù)之比是。[思考]用同樣的圖形，可以問不少有趣的計(jì)數(shù)問題。例如：設(shè)小三角形面積為1，那么在圖中面積為4（或9，或16）的三角形有多少個(gè)？你能想出簡便的算法嗎？（11）下面的算式里，每個(gè)方框代表一個(gè)數(shù)字。問：這6個(gè)方框中的數(shù)字的總和是多少？[分析]像這樣類型的題目，一般都要先抓住式中的某些特點(diǎn)，確定其中的一、兩個(gè)數(shù)字，再逐步推斷其余的數(shù)，最后給出解答。[解法1]每個(gè)方框中的數(shù)字只能是0～9，因此任兩個(gè)方框中數(shù)字之和最多是18。現(xiàn)在先看看被加數(shù)與加數(shù)中處于“百位”的兩個(gè)數(shù)字之和。這個(gè)和不可能小于18，因?yàn)椴还芩鼈兒竺娴膬蓚€(gè)二位數(shù)是什么，相加后必小于200，也就是說最多只能進(jìn)1。這樣便可以斷定，處于“百位”的兩個(gè)數(shù)字之和是18，而且后面二位數(shù)相加進(jìn)1。同樣理由，處于“十位”的兩個(gè)數(shù)字之和是18，而且兩個(gè)“個(gè)位”數(shù)字相加后進(jìn)1。因此，處于“個(gè)位”的兩個(gè)數(shù)字之和必是11。6個(gè)方框中數(shù)字之和為18＋18＋11=47。[解法2]被加數(shù)不會大于999，所以加數(shù)不會小于1991-999=992。同樣，被加數(shù)不會小于992。也就是說，加數(shù)和被加數(shù)都是不小于992，不大于999的數(shù)。這樣便確定了加數(shù)和被加數(shù)的“百位”數(shù)字和“個(gè)位”數(shù)字都是9，而兩個(gè)個(gè)位數(shù)字之和必是11。9×4+11=47。答：總和為47。（12）在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)？[分析]適合要求的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字。試將它們列出來：十位數(shù)字個(gè)位數(shù)字1020，130，1，2………90，1，2，…，8一找出規(guī)律，便很容易