第五章數(shù)值積分方法計(jì)算

但是在許多實(shí)際問題經(jīng)常遇到下列情況：（1）原函數(shù)存在但不能用初等函數(shù)表示；（2）原函數(shù)可以用初等函數(shù)表示，但結(jié)構(gòu)復(fù)雜；（3）被積函數(shù)沒有表達(dá)式，僅僅是一張函數(shù)表。問題提出

解決以上情況的積分問題，最有效的辦法為數(shù)值積分法。此種方法是利用被積函數(shù)在一些離散點(diǎn)處的函數(shù)值，而求得滿足一定代數(shù)精度要求的定積分近似值。1取左端點(diǎn)矩形近似數(shù)值積分的思想：分割、近似、求和取右端點(diǎn)矩形近似定積分幾何意義：曲邊梯形的面積2數(shù)值積分公式的一般形式：其中求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)僅與求積節(jié)點(diǎn)有關(guān)求積公式的截?cái)嗾`差或余項(xiàng)：3§5.1插值型求積公式思想用被積函數(shù)在區(qū)間上的插值多項(xiàng)式近似代替計(jì)算作n次Lagrange插值多項(xiàng)式:設(shè)已知函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值4其中余項(xiàng)5則有數(shù)值積分公式

這是用插值函數(shù)代替被積函數(shù)導(dǎo)出的定積分近似計(jì)算公式，稱為插值型數(shù)值積分公式。6n=1時(shí)的求積公式一、梯形公式7用梯形面積近似

這是用線性插值函數(shù)代替被積函數(shù)導(dǎo)出的定積分近似計(jì)算公式，稱為梯形數(shù)值積分公式。幾何意義8截?cái)嗾`差：已知線性插值的截?cái)嗾`差為

積分中值定理：連續(xù)、不變號9n=2時(shí)的求積公式二、Simpson公式將[a,b]二

等分，等分節(jié)點(diǎn)x0

=a，x1

=(a+b)/2，x2

=b作為積分節(jié)點(diǎn)，構(gòu)造二次Lagrange插值多項(xiàng)式L2(x)：10

這是用二次插值函數(shù)代替被積函數(shù)導(dǎo)出的定積分近似計(jì)算公式，稱為辛普森數(shù)值積分公式。幾何意義：11Simpson積分公式的截?cái)嗾`差（定理）：

積分中值定理：連續(xù)、不變號12復(fù)合求積法

通常把積分區(qū)間等分成若干個(gè)子區(qū)間，在每個(gè)子區(qū)間上用低階的求積公式（如梯形積分公式Simpson積分公式），對所有的子區(qū)間求和即得整個(gè)區(qū)間[a,b]上的積分公式，這種方法稱為復(fù)合求積法?！?.2復(fù)合求積公式135.2.1復(fù)化梯形積分

將[a,b]分成若干小區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間[xi,xi+1]上用梯形積分公式，再將這些小區(qū)間上的數(shù)值積分累加起來，就得到區(qū)間[a,b]上的數(shù)值積分。這種方法稱為復(fù)化梯形積分?！镉?jì)算公式將[a,b]n等分,h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,14記為T(h)或Tn(f):復(fù)化梯形公式的幾何意義小梯形面積之和近似復(fù)化梯形公式15復(fù)化梯形公式的余項(xiàng)設(shè)由介值定理余項(xiàng)估計(jì)式16★計(jì)算公式將[a,b]2m等分,m為積分子區(qū)間數(shù)，記n=2m，n+1為節(jié)點(diǎn)總數(shù)，h=xi+1-xi=(b-a)/n,xi=a+ih,i=0,1,2,…,n,5.2.2復(fù)化Simpson公式：17復(fù)化Simpson公式復(fù)化Simpson公式的幾何意義小拋物面積之和近似系數(shù)首尾為1，奇數(shù)點(diǎn)為4，偶數(shù)點(diǎn)為218復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)設(shè)由介值定理余項(xiàng)估計(jì)式19例：分別利用復(fù)化梯形公式、復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分的近似值，要求按復(fù)化Simpson公式計(jì)算時(shí)誤差不超過。解：首先來確定步長復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)：其中20本題的求法：由歸納法知21解不等式得將區(qū)間8等分，分別采用復(fù)化Simpson、梯形公式01/81/43/810.9973980.9896880.9767271/25/86/87/810.9588510.9361560.9088580.8771930.84147122復(fù)化梯形公式(n=8)復(fù)化Simpson公式(n=4)23代數(shù)精度的判別方法

如果求積公式對一切不高于m次的多項(xiàng)式都恒成立，而對于某個(gè)m+1次多項(xiàng)式不能精確成立，則稱該求積公式具有m次代數(shù)精度。

定理求積公式具有次m代數(shù)精度的充要條件是為時(shí)求積公式精確成立，而為時(shí)求積公式不能成為等式?！?.3數(shù)值積分公式的代數(shù)精度和Gauss求積公式24例2見p73的例5.525

Gauss求積公式一、Gauss積分問題的提法前述的求積公式中求積節(jié)點(diǎn)是取等距節(jié)點(diǎn)，求積系數(shù)計(jì)算方便，但代數(shù)精度要受到限制；為了提高代數(shù)精度，需要適當(dāng)選擇求積節(jié)點(diǎn):①當(dāng)求積節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)確定后，不管這些求積節(jié)點(diǎn)如何選取，求積公式的代數(shù)精度最高能達(dá)到多少？②具有最高代數(shù)精度的求積公式中求積節(jié)點(diǎn)如何選??？積分公式的一般形式：26

形如的插值型求積