平行四邊形平行四邊形是特殊的四邊形,它具有許多特點(diǎn),我們要認(rèn)真研究。因?yàn)榫匦?菱形,正方形等特殊的平行四邊形的知識(shí)都是建立在這個(gè)基礎(chǔ)之上的，所以掌握平行四邊形的知識(shí)不僅是學(xué)好本部分的關(guān)鍵,也是學(xué)好全章的關(guān)鍵。一.重點(diǎn)：平行四邊形的概念，性質(zhì)和判定是這部分的重點(diǎn)。二.知識(shí)要點(diǎn)：（一）平行四邊形定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（二）平行四邊形的性質(zhì)：從它的邊,角,對(duì)角線(xiàn)三個(gè)方面進(jìn)行研究。.由定義知平行四邊形的對(duì)邊平行。.兩組對(duì)邊分別相等；.兩組對(duì)角分別相等；.對(duì)角線(xiàn)互相平分；.平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形。（三）平行四邊形的判定。.利用定義判定。.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。.對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形。三.例題：（一）要熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及判定,就要學(xué)會(huì)多角度地思考問(wèn)題,要學(xué)會(huì)認(rèn)真審題,注意題設(shè)中的關(guān)鍵詞語(yǔ),如:〃兩組〃，〃互相〃,〃平行且相等〃等等,并會(huì)舉反例否定一個(gè)命題。例1.判斷正誤（我們要判斷一個(gè)命題是假命題，舉一個(gè)反例即可）.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。 （）分析： 1 ,如圖，四邊形ABCD中,AB#CD,ZA=ZC,?/ZA+ZD=180°,ZB+ZC=180°,.??ZB=ZD,用心愛(ài)心專(zhuān)心

???四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形）。???此命題正確。.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。 （）分析：此命題不正確。反例：AB〃CD,AD=BC,但四邊形ABCD不是平行四邊形。.一組對(duì)邊平行,一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。分析：是錯(cuò)誤的。反例：如圖，AB〃CD,NA+NC=180°,但四邊形ABCD不是平行四邊形。.一組對(duì)邊平行,一組鄰角相等的四邊形是平行四邊形。分析：是錯(cuò)誤的。反例：如圖,AB〃CD,NA=ND=90°,但四邊形ABCD不是平行四邊形。.四條邊都相等的四邊形是平行四邊形。分析:正確。根據(jù)〃兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形〃即可證明。.兩組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形。分析：是錯(cuò)誤的。反例：如圖,AB=BC,AD=DC,但ADWAB,四邊形ABCD不是平行四邊形。.兩組鄰角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。分析：是錯(cuò)誤的。反例：如圖，ZA+ZD=180°,ZB+ZC=180但四邊形ABCD不是平行四邊形。.各組鄰角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形。 （）分析:正確。由各組鄰角互補(bǔ)，可得兩組對(duì)邊分別平行,由定義知是平行四邊形。用心愛(ài)心專(zhuān)心

.一組對(duì)邊相等,一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。分析:是錯(cuò)誤的。反例.作^ABC,使AB=AC,在BC上取一點(diǎn)E使得BE>EC,當(dāng)NAED二NEAC且ED=AC時(shí)，可證△AEC04EAD(SAS),可得ND=NC,從而有ND=NB,DE=AB,但BEWAD,四邊形ABED不是平行四邊形。.一條對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn)的四邊形是平行四邊形。()分析:是錯(cuò)誤的。反例,如圖,AO=CO,但BOWDO,四邊形ABCD不是平行四邊形。(二)對(duì)四邊形的問(wèn)題，經(jīng)常要轉(zhuǎn)化為三角形的問(wèn)題來(lái)解決平行四邊形也不例外。例2.填空題：1.平行四邊形ABCD中,AB±AC,NB=60°,AC=2石，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是分析:按照題意正確畫(huà)出圖形。關(guān)鍵是要求出AB和BC的長(zhǎng),Rt^ABC中，NB=60°,所以NACB=30°,...AB=2BC,由勾股定理得AB2+AC2=BC2,又知AC=2^J,???有AB2+(2石)2=(2AB)2,可以求得AB=2,BC=4,?「AB=CD,AD=BC,A平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為12。在這里我們用到了直角三角形的知識(shí)。.平行四邊形的兩邊長(zhǎng)為3cm和6cm,夾角為60°,則平行四邊形的面積為cm。分析:依題意畫(huà)出圖形，平行四邊形ABCD中，NA=60°,AD=3cm,AB=6cm,平行四邊形的面積為其一邊與這邊上的高 片7c的積，因此我們作DEXAB于E,只需求出DE的長(zhǎng)。Rt△ADE中，?二N {A=60°,；.NADE=30°,；.AE=2AD=之cm。；.由勾股定理得用心愛(ài)心專(zhuān)心

DE=山。2 （城）石（cm）,因此我們可以計(jì)算出平行四邊形的面積;AB-DE=6x2 =943（cm2）。在這里我們復(fù)習(xí)了平行四邊形的面積的求法，并且利用了直角三角形的知識(shí)。.在平行四邊形ABCD中，如果一邊長(zhǎng)6cm,一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是8cm,則另一條對(duì)角線(xiàn)x的取值范圍是分析：由于平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分,如圖,在平行四邊形ABCD中，AC,BD交于O,如果BC=6cm,AC=8cm,[1BD=x,則有BO=之，OC=之AC=4cm,在^OBC中由于三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊的差小于第三邊,所以有bc-oc<ob<bc+oc,即2cm<之<10cm,；.4cm<x<20cm。在這里我們用到了三角形三邊之間的關(guān)系。例3.已知：如圖，AB//CD,AD=BC,求證：od=oc。分析：要證明od=oc,根據(jù)圖形特點(diǎn)，只需證nd=nc,證明角等的方法可以通過(guò)全等、等邊、平行等得到。條件ad=bc的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵，所給的圖形使此條件無(wú)法直接應(yīng)用，需構(gòu)造三角形或四邊形，使其成為三角形或四邊形中完整的邊。證明：過(guò)B作EB//AD,交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E/AB//CD??四邊形ADEB為平行四邊形??ad=be又;ad=bc,；.be=bc??zc=ze??EB//AD???zadc=ze二zc=zadc,aod=oc例4.已知：如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為AB、cd中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)ba、DC至6、M,使AG=CM,用心愛(ài)心專(zhuān)心

求證求證：EM//GFO分析：要證明EM//GF,或是通過(guò)證明角等，或是證明EM與GF所在的四邊形是平行四邊形，通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)得到平行關(guān)系。圖中給出了平行四邊形ABCD的條件，也就意味著EG與MF平行，只需證明EG與MF相等，即可得到四邊形分析：要證明EM//GF,證明：???ABCD是平行四邊形，??AB//CD,AB=CD又：E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)JJ.??AE=2AB=2CD=CF?「AG=CM.??AG+AE=CM+CF即EG=FM在四邊形EMFG中，EG//MF,EG=FM.四邊形EMFG是平行四邊形.EM//GF例5.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，K、L、M、N分別為AB、BC、CD、AD上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足AK=CM,BL=DN,求證：四邊形KLMN為平行四邊形。分析：證明四邊形是平行四邊形的方法有很多，首先要明確證明的方向，根據(jù)題目所給的條件及圖形特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，圖形中角等的條件比較少，所以通過(guò)角等或?qū)吰叫锌赡軙?huì)比較困難，通過(guò)兩組對(duì)邊分別相等應(yīng)是此題的證明方向。證明：???ABCD是平行四邊形，.ZC=ZA,AD=BC,又：BL=DN,.AD-DN=BC-BL,即AN=CL???AK;CM,.AANK^ACLM,.KN=ML,同理：ADMN04BKL,MN=KL???四邊形KLMN為平行四邊形。例6.求證：平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)到一組對(duì)邊的距離相等已知:如圖：平行四邊形ABCD中對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O,OELAB于E,OFLCD于F,求證：OE=OFo分析：顯然是通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等得到此結(jié)論，但是垂線(xiàn)的構(gòu)成是由對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)向一組對(duì)邊引的兩條垂線(xiàn)，在沒(méi)有證明E、O、F三點(diǎn)共線(xiàn)的情況下，切不可用對(duì)頂角相等作用心愛(ài)心專(zhuān)心

為全等三角形判定的條件。ZCAB=ZACD證明：：平行四邊形ABCD,ZCAB=ZACD??AB//CD??ZCAB=ZACD又：OELAB于E,OFLCD于F??ZAEO=ZOFC=9G°在AAOE和ACOF中ZAEO=ZOFCAO=CO???AAOE0ACOF,???OE=OF例7.已知：如圖，E、F分別為平行四邊形ABCD中AB、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O,求證：AO=CO。分析：證明線(xiàn)段相等的問(wèn)題可以利用平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)的性質(zhì)，但顯然證明AC、BD交于O是涉及到三線(xiàn)共點(diǎn)的問(wèn)題，是比較困難的。所以不妨仍舊通過(guò)三角形的全等來(lái)尋找相等的線(xiàn)段。證明：：ABCD為平行四邊形??AB=CD,AB//CD又：E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)??CF=AE/AB//CD???ZCAE=ZACFZAEF=ZEFC??AAOE0ACOF,???AO二CO。例8.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別在AB、BC上，且EF//AC,求證：AAED與ADCF面積相等。分析：證明三角形面積相等有幾種常見(jiàn)的方法：（1）全等三角形面積相等（2）等底（同底）等高三角形面積相等。從圖形中觀察，AAED與ADCF顯然不全等。只有找等底等高，而相等的高往往通過(guò)平行線(xiàn)找到。AAED與ADCF這兩個(gè)三角形的底與高并無(wú)直線(xiàn)相等關(guān)系，這就需要借助于中間圖形，構(gòu)造面積相等的輔助三角形。證明：連結(jié)AF、EC??ABCD為平行四邊形，??AB//CD,AAED與AAEC等積AD//BCADCF與AAFC等積/EF//AC ???AAEC與AAFC等積??AAED與ADFC等積。用心愛(ài)心專(zhuān)心例9.如圖，將DABCD沿AC折疊，點(diǎn)B落在B'處，AB'交DC于點(diǎn)M.求證：折疊后重合的部分（即AMAC）是等腰三角形.評(píng)析：該題是等腰三角形、軸對(duì)稱(chēng)圖形、平行四邊形性質(zhì)的綜合.因?yàn)檠谹C折疊，所以AC所在直線(xiàn)是四邊形ABCB'的對(duì)稱(chēng)軸，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以判定N4=N5.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行，易知N3=N4,所以N3=N5,可知MA=MC,△MAC是等腰三角形得證.另外證明△ADM/^CB'M,