初三數(shù)學(xué)圓的有關(guān)性質(zhì)知識精講叵太@豪過國容i圓的有關(guān)性質(zhì).圓的有關(guān)概念圓、圓心、半徑、弦、直徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、弦心距、等弧、等圓、同心圓、弓形、弓形的高。說明：(1)直徑是弦，但弦不一定是直徑，直徑是圓中最長的弦。(2)半圓是弧，但弧不一定是半圓。(3)等弧只能是同圓或等圓中的弧，離開“同圓或等圓”這一條件不存在等弧。(4)等弧的長度必定相等，但長度相等的弧未必是等弧。.點和圓的位置關(guān)系說明：點和圓的位置關(guān)系與點到圓心的距離和半徑大小的數(shù)量關(guān)系是對應(yīng)的，即知量位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系。.和圓有關(guān)的角圓心角、圓外角說明：這兩種與圓有關(guān)的角，可以通過對比，從(1)角的頂點的位置；(2)角的兩邊與圓的位置關(guān)系，兩個方面去把握它們。補充：如果角的頂點在圓內(nèi)，則稱這樣的角為圓內(nèi)角，圓心角是特殊的圓內(nèi)角；如果角的頂點在圓外，且角的兩邊都與同一個圓相交，則稱這樣的角為圓外角。.圓的有關(guān)性質(zhì)(1)圓的確定1>圓心確定圓的位置半徑確定圓的大小。2>不在同一直線上的三個點確定一個圓。(2)圓的對稱性1>圓是軸對稱圖形，任何一條經(jīng)過圓心的直線都是它的對稱軸。2>圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心。說明：一個圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個，一個圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠和原圖形重合，即圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性。(3)垂徑定理如果一條直線具有⑴經(jīng)過圓心(2)垂直于弦⑶平分弦(4)平分弦所對的劣弧(5)平分弦所對的優(yōu)弧，這五個性質(zhì)的任何兩個性質(zhì)，那么這條直線就具有其余三個性質(zhì)，即：垂徑定理：⑴(2)n⑶(4)(5)推論1：⑴(3)n(2)(4)(5)(2)(3)n⑴(4)(5)⑴(4)(或(5))n(2)(3)(5)(或(4))(1)(3)n(2)(4)(5)是“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧”其中的弦必須是非直徑的弦，假若弦是直徑，那么這兩條直徑不一定互相垂直。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。說明：在解決圓的有關(guān)問題時，有以下幾種常引用的輔助線：(1)連弦的端點與圓心的半徑。(2)作弦心距

（3）連圓心和弦的中點（遇弦的中點時）（4）連圓心和弧的中點（遇弧的中點時）主要目的是：<1>利用垂徑定理及推論解決有關(guān)線段相等、弧相等，兩條直線互相垂直的問題。<2>構(gòu)造直角三角形，溝通已知量及未知量之間的關(guān)系，利用解直角三角形的知識去解決問題。（4）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。說明：<1>在運用上述定理時，一定要注意“在同圓或等圓中”這一前提，否則結(jié)論不一定成立。<2>上述定理是論證同圓或等圓中弧相等、角相等、線段相等的重要依據(jù)，尤其在證明圓內(nèi)兩弦相等時，最常用的方法是證明它們的弦心距相等。<3>在同圓或等圓中，大弦的弦心距較小，小弦的弦心距較大。<4>經(jīng)過圓內(nèi)任意一點最長的弦是過這一點的直徑，最短的弦是與過這一點的直徑垂直的弦。（5）圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。說明：推論2的應(yīng)用非常廣泛，一般地，題目中已知條件有直徑時，往往要作出直徑所對的圓周角一一直角，在解決問題需要直角或證明垂直時，往往作出直徑。推論3是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)定理的逆定理，是判斷直角三角形或直角的又一依據(jù)。（6）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角。說明：<1>這個定理在圓中探求角的相等或互補關(guān)系時經(jīng)常用到。<2>這個定理的逆命題也是正確的，即對角互補的四邊形內(nèi)接于圓。例（1998南京）已知：如圖，在。O的內(nèi)接AABC中，AB+AC=12,AD±BC,垂足為D（點D在邊BC上），且AD=3，設(shè)。O的半徑為y,AB的長為x。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。AJ-ACDB（2）當(dāng)AB的長等于多少時，。O的面積最大？并求出。OAJ-ACDB分析：由題設(shè)，觀察到圖中有兩個直角三角形：RtAADC、RtNADB，要建立。O的

半徑r與AB的長x的函數(shù)關(guān)系式，就要以AB,OO的直徑(或半徑)為邊構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形中的邊角關(guān)系或利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，將兩個量y、x聯(lián)系起來。解：(1)連結(jié)AO并延長交。O于點E,連結(jié)BE則/E=/C,/ABE=90。AD1BC, /ADC=/ABE??.NADC?NABEAD_ACAB-AE3即一=

x3即一=

x-1x2+2x(3<x<9)c2)y=——x2+2x6=--(x-6)2+66二.當(dāng)x=6時，y最大二6「?當(dāng)AB長為6時，。O的最大面積為36幾說明：此題先用幾何知識建立函數(shù)關(guān)系式，再利用此關(guān)系式求解其他問題，只有善于觀察圖形與圖形之間關(guān)系，才能順利地將量與量聯(lián)系起來。u題散噩示m1cc例1.已知。。，弦AB、CD相交于P,求證：/APC^=-(AC+BD)證明：連結(jié)ADAAPC=/A+ZD1c1cmBD+-AC=2 21ccmyBD+AC)CP

CP說明：(1)此題說明圓內(nèi)角的度數(shù)等于它和它的對頂角所對的兩弧度數(shù)和的一半。(2)同學(xué)們用同樣的方法可以證明圓外角的度數(shù)等于它所夾兩弧度數(shù)差的一半。掌握這兩個結(jié)論，對提高解題速度大有幫助。例2.在銳角三角形ABC中，BC=a，CA=b，AB=c外接圓半徑為R，求證:sinAsinBsinC證明：連結(jié)CO,并延長交。O于A'則/A=ZA',/A'BC=90°BCa即=2RsinA=2=2RsinC-c-=2R同理 =2R，sinBabsinAsinBsinC說明：上面這個等式就是正弦定理，它說明任意一個銳角三角形中，一邊與其所對的角的正弦值之比都等于該三角形的外接圓的直徑。例3.例3.已知。O中半徑r=5cm，AB、CD是兩條平行弦，且AB=8cm，CD=6cm，■ 8-6一 . 8-6 -從而AC=<72+(—)2=5+2或AC=412+(—)2=v22 I2如圖2,AC=7<2或AC=5<2???滿足條件的AC可能是<2或5v-2或7<2圖2例4.已知：如圖，。O中，AB//CD,AE=BF,CG=DH,求證：PQ=RS。分析一：要證同圓中的兩條弦相等的一般方法有：等弧對等弦；相等的圓心角或圓周角所對弦相等；弦心距相等的兩弦相等，如能證明兩弦PQ、RS的弦心距OM=ON,則PQ=RSo證法一：過O作KLLAB于K,交CD于L,過O作OM1PQ于M過O作ON1RS于N,連OE、OF、OG、OHKA=KBAE=BF,:.KE=KFOK1AB于K,「.OE=OF,/./1=Z2KL1AB,AB//CD,,\KL1CD同理可證OG=OH，Z3=Z4.../EOG=/FOH:.AEOG=AFOH:.OM=ON??.PQ=RS分析二：由于圓是軸對稱圖形，作出。O的對稱軸XY，利用對稱性證明完全可行。證法二：過O作直線XY1AB

AB//CD,??.XY.1CDP-t"「?A、B兩點，??.AEAB//CD,??.XY.1CDP-t"「?A、B兩點，??.AE=BF,C、D兩點關(guān)于直線XY對稱CG=DH「?PQ、RS關(guān)于直線XY對稱丁XY是。O的對稱軸??.PQ=RS例5.已知：如圖，AM是。O的直徑，過。O上一點B作BN1AM，垂足為N,其延長線交。O于點C，弦CD交AM于點E。（1）如果CD1AB，求證：EN=NM。（2）如果弦CD交AB于點F,且CD=AB,求證：CE2=EF?ED。AM（3）如果弦CD、AB的延長線交于點F,且CD=AB,那么（2）的結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。AMAMAM證明：（1）連結(jié)BMAM是直徑，.?./ABM=90。CD1AB,??.BM//CD:.乙ECN=/MBN又AM.1BC..CN=BN

...RtACEN=RtABMN:.EN=NM(2)連結(jié)BD、BE、ACAMAM??點E是BC垂直平分線AM上一點?.BE=ECccccCD=AB,CD=AB,,\AD=BC:.AACD=ZBDC,又AB=AC,AE=AE?.AABE=AACE?./ABE=/ACD=/BDC而/BED是公共角?.ABED?AFEB?.BE2=EF?ED?.CE2=EF?ED(3)結(jié)論成立，如圖A仿(2)可證AABE二AACE，,\BE=CE:./ABE=/ACE又?:AB=CD，，/ACB=/DBC，/.BD//AC：./BDE+/ACE=180。=/FBE+/ABE：./BDE=/FBE?/BED是公共角，/.ABED?AFEB??.BE2=EF?ED/CE2=EF?EDv_實而模就IAD=6,.如圖，。0是AABC的外接圓，AD是BC邊上的高，已知BD=8,CD=AD=6,則直徑AM的長為.已知：如圖AABC內(nèi)接于。O,過圓心0作BC的垂線交。O于點P,Q,交AB于點D,QP、CA的延長線交于點E，求證：OA2=ODOE。.如圖，P為半。0直徑AB延長線上一點，PCD交半。0于C、D,已知/P=20。，/CAD=40。，求/ACD的度數(shù)。P B O A.已知：如圖，過平行四邊形的頂點A任作一圓分別交AB、AC、AD于E、F、G,求證：AF?AC=AE?AB+AG?AD。.已知90的半徑r=4,AB、CD為。0的兩條弦，AB、CD的長分別是方程%2-(4V3+4)%+16<3=0的兩根，其中AB>CD且AB//CD，求AB與CD間的距離。.已知：如圖AB是。O直徑，CD是弦，AE.1CD，垂足為E,BF1CD，垂足為F。(1)求證：EC=DF(2)若AE=a,EF=b,BF=c,求證：tg/EAC和tg/EAD是方程ax2-bx+c=0的兩個根。

參考答案

http://.解：連結(jié)BM:AD是BC邊上的高，，/ADB=/ADC=90。在RtAADB和RtAADC中AB=BD22+AD2=*82+62:10AC=、*CD2+AD2=<32+62=3V'5:AM是直徑，，/ABM=90°「./ABM=AADC又/M=/C,NABM?AADCAB_AMAD-AC10AM10AM33??.AM=5v5.證明：延長AO交。O于F,連結(jié)BF丁AF是直徑，.../ABF=90°，/BAF=90°—/FEQ1BC，??./E=90°—/C又/F=/C，.??/E=/BAF即/DAO=/E，又/DOA=/AOE??.ADOA?AAOEOA_OEOD-OA??.OA2=OD?OEm1cc.解：/P--(AD—BC)ccmcAD+BC^180°—CD=180°—2/CAD=100°cmcm設(shè)AD^=x，BC^=y，則有1(x-y)=20°x+y=100°fx=70°解得1[y=30°m1cm一一:./ACD^=-AD=35(°2.證明：連結(jié)GF、￡尸，作/ADM=/AFG，DM交AC于M

則N則NAFG?NADM,AF_AGAD-AM:.AG-AD=AF-AM/AGF=/AMD且ZAGF+/AEF=180。AEAF_AF

Cm―Cd―AB「./AEAF_AF

Cm―Cd―AB易證NAEF?NCMD,:.AE-AB=AF-CM???AF?(AM+CM)=AG?AD+AE?AB即AF-AC=AG-AD+AE-AB

5,解：由%2-(4v,3+4)x+1673=0解得兩根為%1=4,13,x2—4?.?AB、CD為方程兩根且AB>CD:.AB—433,CD—4作OF1CD于fAB//CD,??.OF1AB，設(shè)垂足為E則OE=.：OB2-(AB)2―、：4