李雅普諾夫指數(shù)一、李雅普諾夫指數(shù)的提出與歷史1961年冬季的一天，為了考察一條更長(zhǎng)的序列，洛倫茲走了一條捷徑。他在進(jìn)行天氣模式計(jì)算時(shí)沒有從頭開始運(yùn)行，而是從中途開始。作為計(jì)算的初值，他直接輸入了上次運(yùn)算的輸出結(jié)果，然后他穿過大廳下樓，清凈的去喝一杯咖啡。一個(gè)小時(shí)之后他回來時(shí)，看到了出乎意料的事。從幾乎相同出發(fā)點(diǎn)開始，洛倫茲看到他的計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的天氣模式差別愈來愈大，終至毫無相似之處。就是這件事播下了一門新科學(xué)的種子。穩(wěn)定體系的相軌線相應(yīng)于趨向某個(gè)平衡點(diǎn)，如果出現(xiàn)越來越遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)只要有一個(gè)正值就會(huì)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。判斷一個(gè)非線性體統(tǒng)是否存在混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)，需要檢查它的李雅普諾夫指數(shù)久是否為正值。二、李雅普諾夫指數(shù)的定義Lyapunov指數(shù)是描述時(shí)序數(shù)據(jù)所生成的相空間中兩個(gè)極其相近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨時(shí)間推移按指數(shù)方式分散或收斂的平均變化率。任何一個(gè)系統(tǒng)，只要有一個(gè)Lyapunov大于零，就認(rèn)為該系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。李雅普諾夫指數(shù)是指在相空間中相互靠近的兩條軌線隨著時(shí)間的推移，按指數(shù)分離或聚合的平均變化速率。李雅普諾夫指數(shù)的定義：首先考慮一維映射 假設(shè)初始位置附近有一點(diǎn) ，則經(jīng)過一次迭代后，這兩點(diǎn)之間的距離為：二1（1）并利用微分中值定理有:2）n次迭代后，并利用微分中值定理，這兩點(diǎn)之間的距離為:^=—I"I=—I"「'收小1由（3）式可得： （4）又由復(fù)合函數(shù)的微分規(guī)則有:其中富"心那么式（4）就變?yōu)椋簄-lx—nIn-lx—nI（xj二—￡hi門對(duì)I（5）k-liin—￡In「（xj則稱 （6）為L(zhǎng)yapunov指數(shù)。一維映射就對(duì)應(yīng)一個(gè)李雅普諾夫指數(shù)，而且當(dāng)時(shí)，該系統(tǒng)具有混沌特性。當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)著分岔點(diǎn)或系統(tǒng)的周期解，既系統(tǒng)出現(xiàn)周期現(xiàn)象。 時(shí)，系統(tǒng)有穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，即此時(shí)對(duì)應(yīng)的是一個(gè)點(diǎn)。而對(duì)于多維系統(tǒng)則有多個(gè)李雅普諾夫指數(shù)。Lyapunov特性指數(shù)沿某一方向取值的正負(fù)和大小表示長(zhǎng)時(shí)間系統(tǒng)在吸引子中相鄰軌線沿該方向平均發(fā)散'足"或收斂?'、/L<n'i的快慢程度，僅從數(shù)學(xué)角度考慮，Lyapunov特性指數(shù)無量綱。n維系統(tǒng)具有n個(gè)Lyapunov特性指數(shù)，形成指數(shù)譜。其中數(shù)值最大的被稱為最大Lyapunov特性指數(shù)。最大Lyapunov指數(shù)定義為"nm—tm-其中，Lti.表示ii.時(shí)刻最鄰近零點(diǎn)間的距離；M為計(jì)算總步數(shù)。最大Lyapunov指數(shù)不僅是區(qū)別混沌吸引子的重要指標(biāo)，也是混沌系統(tǒng)對(duì)于初始值敏感性的定量描述。其中一維系統(tǒng)只有一個(gè)指數(shù)，二維系統(tǒng)有兩個(gè)指數(shù)來表征。在實(shí)際計(jì)算中，要計(jì)算所有的Lyapunov指數(shù)，計(jì)算量較大，尤其當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)L較大時(shí)更為突出.所以注意力集中在計(jì)算系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)Am上.三、 李雅普諾夫指數(shù)的物理意義系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜可有效地表征變量隨時(shí)間演化時(shí)，系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性。指數(shù)小于零說明體系的相體積在該方向上是收縮的，此方向的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；而正的指數(shù)值則表明了體系的相體積在該方向上不斷膨脹和折疊，以致吸引子中本來鄰近的軌線變得越來越不相關(guān)，從而使初態(tài)對(duì)任何不確定性的系統(tǒng)的長(zhǎng)期行為成為不可預(yù)測(cè)，即所謂的初值敏感性。進(jìn)一步意義：設(shè)某一系統(tǒng)的指數(shù)譜為（從大到小排列），若該系統(tǒng)具有混沌吸引子，則必須同時(shí)滿足以下條件（1） 至少存在一個(gè)正李雅普諾夫指數(shù)（2） 至少存在某一指數(shù)為0（3） 指數(shù)譜之和為負(fù)?；煦邕\(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)初始條件的高度敏感性。兩個(gè)極為靠近的初值所產(chǎn)生的軌道,隨時(shí)間推移按指數(shù)形式分離,Lyapunov指數(shù)是定量描述這一現(xiàn)象的量。對(duì)所討論的Duffing振子,若它的Lyapunov指數(shù)均小于零，：若存在一個(gè)Lyapunov特性指數(shù)大于零，就說明系統(tǒng)是處于混沌狀態(tài)。這種判別方法計(jì)算簡(jiǎn)單物理意義明確,誤差小。四、 計(jì)算此指數(shù)的幾種方法用Logistic映射產(chǎn)生的模擬時(shí)間序列數(shù)據(jù)，采用兩種從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)間序列恢復(fù)動(dòng)力學(xué)的方法，計(jì)算混沌吸引子的Lyapunov指數(shù)。一種方法是S.J.Chang和J.Wright提出的混合嫡法〔8一），這種方法特別適合一維的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。另一種方法是A.wolf提出的重構(gòu)吸引子法〔7），這種方法可以推廣到相空間維數(shù)及動(dòng)力學(xué)規(guī)律都不知道的更普遍的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，在原則上可以計(jì)算系統(tǒng)的全部正Lyapunov指數(shù)譜。具體的方法還有從動(dòng)力學(xué)規(guī)律計(jì)算Lyapunov指數(shù)Chang一Wright混合嫡法Chang一wright混合嫡法僅適用于可化為一維凸映射的情況。一般來說，總點(diǎn)數(shù)N及盒子數(shù)凡越大，所得結(jié)果越精確。Wolf重構(gòu)法Wolf重構(gòu)法以Takens的延