代數(shù)方程化歸思想：高次化低次：降次的方法：因式分解，換元分式化整式：化整式的方法：去分母，換元無(wú)理化有理：化有理方程的方法：平方法，換元多元化一元：代入和加減消元一、一元一次方程和一元二次方程的解法1、一元二次方程的解法重要有四種：（1）直接開(kāi)平方法：合用于（mx+n）2=h(h≥0)的一元二次方程。（2）配方法：合用于所有化為一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)特點(diǎn)的一元二次方程，用配方法解才較簡(jiǎn)便。配方法是通過(guò)配方將一元二次方程化成（mx+n）2=h(h≥0)的形式，再運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法。其基本環(huán)節(jié)是：①一方面在方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1；②把常數(shù)項(xiàng)移到等式的右邊；③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④方程左邊寫(xiě)成完全平方式，右邊化簡(jiǎn)為常數(shù)；⑤運(yùn)用直接開(kāi)平方法解此方程用配方法解一元二次方程要注意，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，一定要化為1，然后才干方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方（3）公式法：合用于解一般形式的一元二次方程。運(yùn)用公式可以解所有的一元二次方程。注意：當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程才有實(shí)數(shù)解；當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)解。（4）因式分解法：合用于方程右邊是0，左邊是易于分解成兩個(gè)一次因式乘積的一元二次方程。2、含字母系數(shù)的整式方程的解法3、特殊的高次方程的解法（1）二項(xiàng)方程的解法二項(xiàng)方程的定義：假如一元n次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，此外一邊是零，那么這樣的方程叫做二項(xiàng)方程。關(guān)于x的一元n次二項(xiàng)方程的一般形式是二項(xiàng)方程的解法及根的情況：一般地，二項(xiàng)方程可變形為可見(jiàn)，解一元n次二項(xiàng)方程，可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)已知數(shù)的n次方根，運(yùn)用開(kāi)方運(yùn)算可以求出這個(gè)方程的根。二項(xiàng)方程的根的情況：對(duì)于二項(xiàng)方程，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程只有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，假如，那么方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)；假如，那么方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。（2）因式分解法解高次方程解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，對(duì)有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法時(shí)要注意：一定要使方程的一邊為零，另一邊可以因式分解。例題解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0（2）x3-2x2+x-2=0解：（1）方程左邊因式分解，得x(2x2+7x-4)=0x(x+4)(2x-1)=0得x=0或x+4=0或2x-1=0∴原方程的根是x=0，x=-4，x=注意：不要漏掉x=0這個(gè)根!（2）方程左邊因式分解，得(x3-2x2)+(x-2)=0x2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x2+1)=0即x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得x=2方程x2+1=0沒(méi)有實(shí)數(shù)根所以，原方程的根是x=2二、可化為一元二次方程的分式方程的解法1．適宜用“去分母”的方法的分式方程解分式方程，通常是通過(guò)方程兩邊同乘以方程中各分式的最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程來(lái)解。解分式方程要注意驗(yàn)根！例題解下列方程分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。（1）一方面應(yīng)觀測(cè)各項(xiàng)分母，如能分解因式必須先分解因式，如本例x2-17x+60可分解因式為（x-5）（x-12）.（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例為“（x-5）（x-12）”.（3）用此整式去乘方程的每一項(xiàng)，便可約去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.（4）最后應(yīng)檢查，至此例可找到本例完整解在去分母的過(guò)程中要注意兩點(diǎn)：（1）必須注意符號(hào)的變化規(guī)律（如本例“12-x”與“x-12”的關(guān)系）；（2）用整式乘以方程的每一項(xiàng)，一項(xiàng)都不能漏.2.適宜用“換元法”的分式方程適宜用換元法的分式方程有兩種，一是二次項(xiàng)與一次項(xiàng)相同的，采用同底換元法；二是不看系數(shù)，方程的未知項(xiàng)呈倒數(shù)關(guān)系的，可采用倒數(shù)換元法，下面的例題中的兩個(gè)方程，分別具有這兩種特點(diǎn)。例題解下列方程：（1）；（2）.（1）分析：觀測(cè)方程（1）可發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)底數(shù)與一次項(xiàng)未知底數(shù)相同，因而，可考慮同底換元法為宜.2）分析：觀測(cè)方程（2）可發(fā)現(xiàn)這個(gè)方程左邊兩個(gè)分式中的與互為倒數(shù)，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，可以用倒數(shù)換元法來(lái)解.由此可以看出，解分式方程“轉(zhuǎn)化”為整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基礎(chǔ)方法，解分式方程應(yīng)一方面考慮用基本方法求解，然后再根據(jù)分式方程特點(diǎn)，考慮換元法，便可達(dá)成轉(zhuǎn)化的目的，找到思緒.對(duì)于解題過(guò)程的每一個(gè)環(huán)節(jié)都不能疏忽，才干對(duì)的求解.三、無(wú)理方程的解法解無(wú)理方程的基本思緒是把無(wú)理方程化為有理方程，通常采用“兩邊平方”的方法解。對(duì)有些特殊的無(wú)理方程，可以用“換元法”解。解無(wú)理方程一定要驗(yàn)根！在初中階段，我們重要學(xué)習(xí)下面兩種無(wú)理方程的解法。1．只有一個(gè)含未知數(shù)根式的無(wú)理方程當(dāng)方程中只有一個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使這個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。例題解下列方程：(1)（2）解：（1）兩邊平方，得4（x-3）=(x-6)2整理，得x2-16x+48=0解這個(gè)方程，得x1=4，x2=12經(jīng)檢查，x=4是增根，舍去；x=12是原方程的根。所以，原方程的根是x=12（2）原方程可變形為兩邊平方，得(3-x)2=2x-3整理，得x2-8x+12=0解得x1=2，x2=6經(jīng)檢查，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=22.有兩個(gè)含未知數(shù)根式的無(wú)理方程當(dāng)方程中有兩個(gè)含未知數(shù)的二次根式時(shí)，可先把方程變形，使一個(gè)二次根式單獨(dú)在一邊，此外一個(gè)二次根式在方程的另一邊；然后方程的兩邊同時(shí)平方，將這個(gè)方程化為有理方程。例題解下列方程：（1）（2）解：（1）原方程可變形為兩邊平方，得x2-2=2x+1整理，得x2-2x-3=0解得x1=-1,x2=3經(jīng)檢查，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。所以，原方程的根是x=33.適宜用換元法解的無(wú)理方程假如無(wú)理方程中，二次根式里面的未知項(xiàng)和二次根式外面的未知項(xiàng)相同，可以使用換元法來(lái)解。例題解方程練習(xí)1.在方程中，使用換元法，則原方程化為關(guān)于y的方程是2.當(dāng)m=時(shí)，關(guān)于x的分式方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.答案：4或-63.若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是.答案：a≥-24.用換元法解方程時(shí)，可設(shè)=y,這時(shí)原方程變?yōu)?答案：5.方程的根是；的根是；的根是.答案：0；0和1；06.無(wú)理方程的根為，則a的值為.答案：7.若a，b都是正實(shí)數(shù)，且，則.答案：8.若a+b=1，且a∶b=2∶5,則2a-b=.答案：9.當(dāng)a=時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根答案：-2，110.若，則.答案：±211.下列方程中既不是分式方程，也不是無(wú)理方程的有（）A.B.C.D.E.F.答案：A12．方程的最簡(jiǎn)公分母是（）A.24（x+3）(x-3)B.(x+3)(x-3)2C.24（x+3）(x-3)2D.12（x+3）(x-3)2答案：D13.觀測(cè)下列方程，經(jīng)分析判斷得知有實(shí)數(shù)根的是（）A.B.C.D.答案：C14.假如，那么的值是（）A.1B.-1C.±1D.4答案：A15.方程的解是（）A.0B.2C.0或2D.答案：B16.設(shè)y=x2+x+1,則方程可變形為（）A.y2-y-2=0B.y2+y+2=0C.y2+y-2=0D.y2-y+2=0答案：A17.若，則a的取值范圍是（）A.全體實(shí)數(shù)B.a≥0C.a≥D.A≤答案：D18.已知，則相等關(guān)系成立的式子是（）A.B.C．D.答案：B19.關(guān)于x的方程的根是（）A.x=aB.x=-aC.x1=a；x2=-D.x1=a；x2=答案：D20.一個(gè)數(shù)和它的算術(shù)平方根的4倍相等，那么這個(gè)數(shù)是（）A.0B.16C.0或16D.4或16答案：C21.；解，，，..經(jīng)檢查知：x=1是增根，x=-4是原方程的根.22.；23.；24.；25.；26.【應(yīng)用題知識(shí)講解】一、列方程（組）解應(yīng)用題的一般環(huán)節(jié)有:（1）審題.弄清題中哪些是已知量，哪些是未知量，已知量與未知量之間有哪些關(guān)系，有些應(yīng)用題還需通過(guò)畫(huà)示意圖來(lái)幫助我們分析.（2）設(shè)未知數(shù),列出相關(guān)代數(shù)式.設(shè)未知數(shù)分為直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，可根據(jù)題目的需要采用適當(dāng)?shù)脑O(shè)法.（3）找等量關(guān)系列方程（組）.（4）解方程（組）.（5）檢查.一要檢查所得的未知數(shù)的值是不是方程的解,二要檢查所得的未知數(shù)的值是否符合題意.（6）寫(xiě)出答案.二、應(yīng)用題通?？筛鶕?jù)不同的文字表述分為如下幾種類(lèi)型,每種類(lèi)型常用到一些基本等量關(guān)系式，歸納如下：（1）行程問(wèn)題：路程=速度×?xí)r間，順流逆流航行問(wèn)題中：順流速度=船速+水速，逆流速度=船速－水速；（2）工程問(wèn)題：工作總量=工作效率×工作時(shí)間（3）百分率問(wèn)題：新數(shù)=基數(shù)×(1±百分率)（4）存款利率問(wèn)題：利息=本金×利率×所存期數(shù)，本息和=本金+利息=本金×（1+利率×所存期數(shù)）（5）商品利潤(rùn)問(wèn)題：利潤(rùn)=成本價(jià)（或買(mǎi)入價(jià)）×利潤(rùn)率，銷(xiāo)售價(jià)=成本價(jià)+利潤(rùn)=成本價(jià)×（1+利潤(rùn)率）【例題講解】1.某校辦工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，第一季度產(chǎn)量為25件，通過(guò)技術(shù)革新，二、三季度產(chǎn)量都比前一季度增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分率，這樣到第三季度時(shí)三個(gè)季度共生產(chǎn)91件產(chǎn)品，求增長(zhǎng)的百分率.2.A、B兩地相距900千米，甲、乙兩車(chē)分別由A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，它們?cè)谕局蠧處相遇，相遇后甲再過(guò)4小時(shí)到達(dá)B地，乙再過(guò)16小時(shí)到達(dá)A地，求A、B距離及兩車(chē)速度.分析:據(jù)題意可找出以下兩個(gè)等量關(guān)系:(1)相遇時(shí)兩車(chē)所走的路程之和為900千米（路程關(guān)系）(2)兩車(chē)從出發(fā)到相遇所通過(guò)的時(shí)間相等（時(shí)間關(guān)系）根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組.3.某項(xiàng)工程，若甲單獨(dú)做2天后，剩下部分由乙去做，則乙還需要做的天數(shù)等于甲單獨(dú)做完此項(xiàng)工程的天數(shù)；若乙單獨(dú)做2天后，剩余的工程由甲去做，則甲還需3天完畢.問(wèn)甲、乙單獨(dú)完畢此工程各需多少天？4.甲、乙兩店以同樣價(jià)格進(jìn)同一種貨品，甲店以20%的利潤(rùn)加價(jià)出售，共獲利12023元，乙店以10%的利潤(rùn)加價(jià)出售，十分暢銷(xiāo)，在相同時(shí)間，銷(xiāo)售量乙店比甲店多100件，因而總利潤(rùn)比甲店多4000元，問(wèn)甲、乙兩店各售出多少件？每件的售價(jià)各多少元？5．一桶內(nèi)裝滿(mǎn)了純農(nóng)藥液體，從中倒出5升后用水加滿(mǎn)，然后再倒出5升液體，再用水加滿(mǎn)，這時(shí)桶內(nèi)純農(nóng)藥是本來(lái)的，求該桶的容積.分析：由于題目中給出的桶一開(kāi)始裝滿(mǎn)純農(nóng)藥液體，所以該桶的容積就是一開(kāi)始的純農(nóng)藥液體量，不妨設(shè)該桶的容積為x升，則第一次倒出5升后，桶內(nèi)的純農(nóng)藥量變?yōu)椋▁－5）升，此時(shí)用水加滿(mǎn)，桶內(nèi)就不再是純農(nóng)藥液體，純農(nóng)藥的濃度變?yōu)椤?00%；第二次倒出的5升中含純農(nóng)藥量為5×（×100%）.說(shuō)明:解應(yīng)用題所得的解不僅要適合列出的方程，同時(shí)還要考慮符合應(yīng)用題的實(shí)際.6．某電廠規(guī)定，該廠家屬區(qū)的每戶(hù)居民假如一個(gè)月用電量不超過(guò)A度,那么這個(gè)月只要交10元用電費(fèi)，假如超過(guò)了A度，則這個(gè)月除了仍要交10元用電費(fèi)外,超過(guò)部分還要按每度0.01A元交費(fèi).(1)該廠某戶(hù)居民2月份用電90度,超過(guò)了規(guī)定的A度,則超過(guò)部分應(yīng)交電費(fèi)元(用A表達(dá))（2）下表是這戶(hù)居民三、四月用電情況和交費(fèi)情況：月份用電量交電費(fèi)總數(shù)三月80度25元四月45度10元根據(jù)上表的數(shù)據(jù),求電廠規(guī)定的A度是多少？分析：這是一道與平常生活密切相關(guān)的圖表信息類(lèi)應(yīng)用題,這種類(lèi)型的問(wèn)題是近幾年中考中較熱門(mén)的問(wèn)題,值得同學(xué)們關(guān)注.【練習(xí)】一、選擇題：（每小題4分，計(jì)20分）1.某件上衣標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以9折出售，仍可獲利10%，則該上衣的進(jìn)貨價(jià)是()A、108元B、105元C、106元D、118元2.為慶祝建國(guó)五十三周年，國(guó)慶期間某商場(chǎng)的電視一律按原價(jià)九折銷(xiāo)售（即降價(jià)10%），若要使銷(xiāo)售總收入不變，那么銷(xiāo)售量應(yīng)增長(zhǎng)（）A、B、C、D、3.要在規(guī)定日期內(nèi)完畢一項(xiàng)工程，如甲隊(duì)獨(dú)做，剛好按期完畢；如乙隊(duì)獨(dú)做，則要超過(guò)規(guī)定期間3天才干完畢；甲乙兩隊(duì)合作兩天，剩下的工程由乙隊(duì)獨(dú)做，則剛好按期完畢，那么求規(guī)定日期為x天的方程是（）.A、B、C、D、4.某商店銷(xiāo)售一批皮衣,一月份的每件利潤(rùn)是售出價(jià)的20%,春節(jié)前后為了搞促銷(xiāo),二月份該商場(chǎng)在買(mǎi)入價(jià)不變的情況下,將每件皮衣的售出價(jià)調(diào)低了10%,結(jié)果銷(xiāo)售量比一月份增長(zhǎng)120%,那么二月份的利潤(rùn)之比為()A、5：3B、11：9C、11：10D、25：275.商店購(gòu)進(jìn)某種商品的進(jìn)價(jià)是每件8元，銷(xiāo)售價(jià)是每件10元，現(xiàn)為了擴(kuò)大銷(xiāo)售量，將每件的售價(jià)減少x%出售，但規(guī)定賣(mài)出一件商品所獲利潤(rùn)是降價(jià)前所獲利潤(rùn)的90%，則x等于（）A、10B、4C、2D、1.8二、列方程（組）解應(yīng)用題：（每小題4分，計(jì)20分）1.A、B兩地間的路程為150千米，甲、乙兩車(chē)分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2小時(shí)相遇.相遇后，兩車(chē)各以本來(lái)速度繼續(xù)行駛，甲車(chē)到達(dá)B后立即原路返回，返回時(shí)的速度是本來(lái)速度的2倍，結(jié)果甲、乙兩車(chē)同時(shí)到達(dá)A地，求甲車(chē)和乙車(chē)的速度.2．裝配車(chē)間原計(jì)劃在若干天內(nèi)裝配出44臺(tái)機(jī)床，最初3天是按計(jì)劃進(jìn)行的，以后為了趕進(jìn)度，天天多裝配2臺(tái)，因此