PAGE17復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案第2章習(xí)題詳解第二章習(xí)題詳解利用導(dǎo)數(shù)定義推出：（為正整數(shù)）解：解：下列函數(shù)何處可導(dǎo)？何處解析？解：設(shè)，則，，，，都是連續(xù)函數(shù)。只有，即時才滿足柯西—黎曼方程。在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。解：設(shè)，則，，，，都是連續(xù)函數(shù)。只有，即時才滿足柯西—黎曼方程。在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。解：設(shè)，則，，，，都是連續(xù)函數(shù)。只有且，即時才滿足柯西—黎曼方程。在點(diǎn)處可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。解：設(shè)，則，，，，都是連續(xù)函數(shù)。完全滿足柯西—黎曼方程。在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。指出下列函數(shù)的解析性區(qū)域，并求出其導(dǎo)數(shù)。解：，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。解：，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。解：，，在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)外處處解析。（，中至少有一個不為）解：當(dāng)，則當(dāng)時，，在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)外處處解析。當(dāng)時，則，，在復(fù)平面內(nèi)處處解析。求下列函數(shù)的奇點(diǎn)：解：令，解得，。故有、、三個奇點(diǎn)。解：令，解得，。故有、、三個奇點(diǎn)。復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性有什么不同？判斷函數(shù)的解析性有哪些方法？解：復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性是函數(shù)在某一點(diǎn)的局部性質(zhì)，而解析性是函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)的整體性質(zhì)。判斷函數(shù)的解析性有兩種法。一是用定義，利用函數(shù)的可導(dǎo)性判斷解析性；二是用定理：函數(shù)在其定義域內(nèi)解析和在內(nèi)點(diǎn)可微，并且滿足柯西—黎曼方程。判斷下列命題的真假，若真，請給以證明；若假，請舉例說明。如果在連續(xù)，那末存在；解：假命題。例如，在復(fù)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都連續(xù)，但不滿足柯西—黎曼方程，故不存在。如果存在，那末在解析；解：假命題。例如，，在點(diǎn)可導(dǎo)，但在點(diǎn)不解析。如果是的奇點(diǎn)，那末在不可導(dǎo)；解：假命題。例如，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析，因此處處是奇點(diǎn)，但在上的點(diǎn)均可導(dǎo)。如果是和的一個奇點(diǎn)，那末也是和的奇點(diǎn)；解：假命題。例如，與在復(fù)平面內(nèi)處處不解析，即復(fù)平面內(nèi)任意一點(diǎn)都是與的奇點(diǎn)。但在復(fù)平面內(nèi)處處解析，即在復(fù)平面內(nèi)沒有奇點(diǎn)。如果和可導(dǎo)（指偏導(dǎo)數(shù)存在），那末亦可導(dǎo)；解：假命題。例如，設(shè)，則，均可導(dǎo)，但不滿足柯西—黎曼方程，因此不可導(dǎo)。設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的。如果是實(shí)常數(shù)，那末在整個內(nèi)是常數(shù)；如果是實(shí)常數(shù)，那末在內(nèi)也是常數(shù)。解：真命題。下面證明：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)解析，即滿足柯西—黎曼方程：，如果是實(shí)常數(shù)，則，，即為實(shí)常數(shù)，故在內(nèi)為常數(shù)。如果是實(shí)常數(shù)，則，，即為實(shí)常數(shù)，故在內(nèi)為常數(shù)。如果是的解析函數(shù)，證明：。證明：在點(diǎn)處解析，，設(shè)為解析函數(shù)，試確定、、的值。解：設(shè)，，則，，，，，為解析函數(shù)證明柯西—黎曼方程的極坐標(biāo)形式是：，證明：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換公式為，于是由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得：，即：，證明：如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，并滿足下列條件之一，那末是常數(shù)。恒取實(shí)值；證明：恒取實(shí)值，即。是解析函數(shù)，所以，即為常數(shù)，故是常數(shù)。在內(nèi)解析；證明：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)解析，所以，又為在區(qū)域內(nèi)解析，所以，，故是常數(shù)。在內(nèi)是一個常數(shù)；證明：設(shè)同時，成立。所以即，均為常數(shù)，故是常數(shù)。在內(nèi)是一個常數(shù)；證明：設(shè)，則。eq\o\ac(○,1)如果，則，從而，又在內(nèi)解析，，所以為常數(shù)，故是常數(shù)。eq\o\ac(○,2)如果，則，于是有同時，成立。所以即，均為常數(shù)，故是常數(shù)。eq\o\ac(○,3)如果，則；如果，則，與eq\o\ac(○,2)的討論一樣，可得到是常數(shù)。，其中，與為不全為零的實(shí)常數(shù)。證明：因?yàn)?，且與為不全為零，所以和不能同時為零。假設(shè)，則有，于是，在區(qū)域內(nèi)解析，，，，所以為常數(shù)，故是常數(shù)。下列關(guān)系是否正確？解：設(shè)，則解：解：找出下列方程的全部解：解：，，即解：，，即解：，，即解：，，即證明：，證明：證明：證明：令，則證明：，令，則，，證明：，證明：令，則同理可證：說明：當(dāng)時，和趨于無窮大；解：，而，同理：當(dāng)為復(fù)數(shù)時，和不成立。解：由于為復(fù)數(shù)，可設(shè)，則故當(dāng)為復(fù)數(shù)時，和不成立。求，和它們的主值。解：主值為主值為證明對數(shù)的下列性質(zhì)：證明：所以：證明：所以：說明下列等式是否正確：解：設(shè)所以和的實(shí)部相同，但虛部不盡相同，故不正確。解：設(shè)所以和的實(shí)部相同，但虛部不盡相同，故不正確。求，，和的值。解：證明，其中為實(shí)數(shù)。證明：如果是整數(shù)，則如果不是整數(shù)，則證明：；證明：；證明：，。證明：解下列方程：；解：即；解：即。解：即