PAGEPAGE4奧數(shù)專題之遞推遞推法專題遞推法是組合數(shù)學(xué)中的一個重要解題方法，許多問題通過遞推法來解決就顯得精巧簡捷．鑒于這一方法在學(xué)習(xí)中的應(yīng)用越來越廣泛，掌握和運用這種方法，就顯得更加重要．遞推方法問題主要有兩類：一是問題中有明顯的遞推關(guān)系，重點在于遞推關(guān)系的應(yīng)用；二是問題中沒有明顯的遞推關(guān)系，需要對已有條件進行變形或改變問題的有關(guān)形式而建立遞推關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為第一類問題。本文重點探索第二類問題。通過建立、研究遞推關(guān)系Sk+1=f(Sk)，使問題得以解決的方法稱為遞推方法。例1平面上有n條直線，它們中任意兩條都不平行，且任意三條都不交于一點。這n條直線可以把平面分割成多少個部分？請看一個引起普遍關(guān)注的關(guān)于世界末日的問題。例2有這樣一段關(guān)于“世界末日”的傳說。在印度北部的一個佛教的圣廟里，桌上的黃銅板上，放著三根寶石針，每根長約0.5米。據(jù)說印度教的主神梵天在創(chuàng)造世界時，在其中的一根針上，自上而下由小到大放了六十四片金片。每天二十四小時內(nèi)，都有僧侶值班，按照以下的規(guī)律，不停地把這些金片在三根寶石針上移來移去：每次只準(zhǔn)移動一片，且不論在那根針上，較小的金片只能放在較大的金片上。當(dāng)所有六十四片金片都從梵天創(chuàng)造世界時所放的那根針上移到另一根針上時，世界的末日就要到來。這雖是一個傳說，但卻引起人們的重視，大家都想知道僧侶移動完畢這六十四片金片需要多少時間。也就是說，人類在這個世界上還可以生存多少時間。例3有10級臺階，小王從下向上走，若每次只能跨一級或兩級，他走上去共有多少種不同的走法？追問：10級的情況可以一一列出，臺階數(shù)比較多的情況，怎么辦？提示：此即為斐波那契數(shù)列{an}求通項的問題。例4同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式共有()（A）6種 （B）9種 （C）11種 （D）23種這里，我們引進一個概念：設(shè)a1,a2,a3,…，an是1，2，3，…，n的一個排列,如果aii,(i=1,2,…，n),則稱這種排列為一個錯位排列（也稱為更列）。更列問題也可以形象地理解為：將1，2，3，…，n看成已經(jīng)排好對的n個人，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上。例5A、B二人拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)時，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點數(shù)不是3的倍數(shù)時就由對方接著擲，第一次由A開始擲，求第5次仍由A擲的概率。例6將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使每一條棱的兩端異色。如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法總數(shù)有多少種？例7設(shè)實數(shù)a,b,x,y滿足方程組，求的值。例8設(shè)為下列自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n，且每位數(shù)字只能是1，3或4.求證a2n是一個完全平方數(shù)。例9過平面上兩點A、B分別有m、n條直線，問這m+n條直線最多可以把平面分成多少部分？（m和n均為正整數(shù)）這里都是常數(shù)，它們由初始值可以確定。特征根方法使用較多的是求二階線性遞推數(shù)列的通項問題。若遞推數(shù)列的特征方程有兩個不等實根（稱為特征根），則遞推數(shù)列的通項，其中由數(shù)列的初始值唯一確定。若特征方程有兩個相等實根，則遞推數(shù)列的通項，其中由數(shù)列的初始值唯一確定。三、例題精講例1已知數(shù)列中，，，求此數(shù)列的通項。例2已知，求.例3在數(shù)列中，，求通項公式.例4設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足，且，求的通項公式。例5數(shù)列與定義如下：證明：對每一個，有例6數(shù)列滿足遞推式，試求的通項公式。在數(shù)列中，1，，求通項例8數(shù)列滿足且，求通項公式。解析幾何專題講座一知識補充（部分）1直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式及其應(yīng)用，（t為參數(shù)）注意：t的幾何意義2圓錐曲線的焦半徑公式及其應(yīng)用3圓錐曲線的統(tǒng)一定義及其應(yīng)用平面內(nèi)，到定點的距離與它到定直線的距離之比為一個常數(shù)e的點的軌跡。這里e∈（0，1）時軌跡是橢圓；e=1時軌跡是拋物線；e∈（1，+∞）時軌跡是雙曲線。4圓錐曲線的極坐標(biāo)方程二幾個問題問題1：已知Q為拋物線上的動點，M（m,0）為其對稱軸上的點，試討論|QM|的最小值，并指出何時取得該最小值。變式：橢圓E：+=1()上的點Q到其長軸上的點N（m,o）的最小距離。問題2AB是過拋物線（p>0）的焦點F的動弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，求動點M的軌跡。并將問題作進一步的推廣。推廣：AB是過拋物線（p>0）的點（m,0）的動弦,該拋物線在A,B處的切線交于M，求動點M的軌跡。問題3直線上任意一點引拋物線的兩條切線，切點分別為，問：直線是否過定點？問題4求證橢圓的一條弦的兩端與焦點所在的軸的端點連線的交點在準(zhǔn)線上的充要條件是該弦過橢圓焦點問題5過拋物線（p>0）的焦點F的弦AB，A在準(zhǔn)線上的射影為E，求證：BE過頂點O；并請將該命題推廣到橢圓和雙曲線情形推廣：問題6圓錐曲線焦點三角形的一些性質(zhì)例題分別是橢圓E：+=1()的左右焦點，P是E上的動點，I是三角形的內(nèi)心，PI與x軸的交點為E，求的值。請把該結(jié)果推廣到雙曲線。推廣：對于雙曲線……三經(jīng)典題型1.已知橢圓的左右焦點分別為與，點P在直線l：上.當(dāng)取最大值時，比的值為.2．已知點P（1，2）既在橢圓內(nèi)部（含邊界），又在圓x2+y2=外部（含邊界），若a,b∈R+,則a+b的最小值為_________.3.在Rt△中，.如果橢圓經(jīng)過兩點,它的一個焦點為，另一個焦點F在邊上.如圖，以CF所在直線為x軸，CF中點O為原點建立直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上的動點，是否存在定圓，使得以PC為直徑的圓始終內(nèi)切于圓，若存在，求出圓的方程，若不存在，說明理由.4.A、B為雙曲線上的兩個動點，滿足。（1）求證：為定值；（2）動點P在線段AB上，滿足，求證：點P在定圓上.5（2015全1-20）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C：y=與直線(＞0)交與M,N兩點，（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由。2016年高校自主招生模擬試題一、填空題1.函數(shù)與其反函數(shù)有且只有一個公共點，則a的值為2.實數(shù)滿足，則的最大值為3.已知三棱錐的所有頂點球O的球面上，是邊長為1的正三角形，SC是球O的直徑，且,則此三棱錐的體積是4．集合的交集所表示的圖形面積為5．在圓周上隨機取四點A、B、C、D，則線段AB與CD相交的概率是．6.設(shè)是的內(nèi)的一點，，，，，，動點的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于___________.7．設(shè)函數(shù)，若表示不大于的最大整數(shù)，則函數(shù)的值