人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

第二章函數(shù)

第一教時

教材：映射

目的：要求學(xué)生了解映射和一一映射的概念，為今后在此基礎(chǔ)上對函數(shù)概念的理

解打下基礎(chǔ)。

過程：

一、復(fù)習(xí)：以前遇到過的有關(guān)“對應(yīng)”的例子

1?？措娪皶r，電影票與座位之間存在者一一對應(yīng)的關(guān)系。

20對任意實數(shù)a,數(shù)軸上都有唯一的一點A與此相對應(yīng)。

3°坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點A都有唯一的有序數(shù)對（x,y）和它對應(yīng)。

4’任意一個三角形，都有唯一的確定的面積與此相對應(yīng)。

二、提出課題：一種特殊的對應(yīng)：映射

(3)

引導(dǎo)觀察，分析以上三個實例。注意講清以下幾點:

1.先講清對應(yīng)法則：然后，根據(jù)法則，對于集合A中的每一個元素，在集

合B中都有一個（或幾個）元素與此相對應(yīng)。

2.對應(yīng)的形式：一對多（如①）、多對一（如③）、一對一（如②、④）

3.映射的概念（定義）：強(qiáng)調(diào)：兩個“一”即“任一”、“唯一”。

4.注意映射是有方向性的。

5.符號：f：A-B集合A到集合B的映射。

6.講解：象與原象定義。

再舉例：1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法則：乘2加1是映射

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2A=N+B={0,1}法則：B中的元素x除以2得的余數(shù)是映射

3A=ZB=N*法則：求絕對值不是映射（A中沒有象）

2

4八={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法則：f:a——b=（a-1）是映

射

三、一一映射

觀察上面的例圖（2）得出兩個特點:

1對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（單射）

2窠合B中的每一個元素都是集合A中的每一個元素的象（滿射）

即集合B中的每一個元素都有原象。

結(jié)論：（見P48）從而得出一一映射的定義。

例一：A={a,b,c,d}B={m,n,p,q}

它是----映射

例二：P48

例三：看上面的圖例（2）、⑶、（4）及例

映射。

四、練習(xí)P49

五、作業(yè)P49-50習(xí)題2.1

《教學(xué)與測試》P33—34第16課

第二教時

教材：函數(shù)概念及復(fù)合函數(shù)

目的：要求學(xué)生從映射的觀點去理解函數(shù)的概念，明確決定函數(shù)的三個要素。

過程：

一、復(fù)習(xí)：（提問）

1.什么叫從集合到集合上的映射？

2.傳統(tǒng)（初中）的函數(shù)的定義是什么？初中學(xué)過哪些函數(shù)？

二、函數(shù)概念：

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1.重復(fù)初中時講的函數(shù)(傳統(tǒng))定義：“定義域”“函數(shù)值”“值域”的

定義。

2.從映射的觀點定義函數(shù)(近代定義)：

1°函數(shù)實際上就是集合A到集合B的一個映射f：『8這里人出非

空。

ZA：定義域，原象的集合

B：值域，象的集合(C)其中Cm

f：對應(yīng)法則xAeyBe

3福數(shù)符號：y=f(x)----y是x的函數(shù)，簡記f(x)

3.舉例消化、鞏固函數(shù)概念：見課本P51-52

一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)

注意：1嘮必注意語言規(guī)范

2匚次函數(shù)的值域應(yīng)分a^O,a<0討論？

4.關(guān)于函數(shù)值f(a)例：f(x)=x+3X+1則f(2)=2+3X2+1=11

20f(x)不一定是解析式，有時可能是“列表”“圖象”。

3°f(x)與f(a)是不同的，前者為函數(shù)，后者為函數(shù)值。

三、函數(shù)的三要素：對應(yīng)法則、定義域、值域

只有當(dāng)這三要素完全相同時，兩個函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。

例一：判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么？

(x+3)(x_5)

==

1.yi一工—y2x-解：不是同一函數(shù)，定義域

不同

+

2ylX=V1>/x-1y2=J(x+l)(xd)解：不是同一函數(shù)，定義域

不同

3f(x)Xg(x)x解：不是同一函數(shù)，值域不同

4。f(x)=xF(x)=解：是同一函數(shù)

2

5.fi(x)=(>4x-5)f2(x)=2x-5解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都

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不同

例二：P55例三(略)

四、關(guān)于復(fù)合函數(shù)

2

設(shè)f(x)=2x3g(x)=x+2則稱f[g(x)](或g[f(x)])為復(fù)合函數(shù)。

22

f[g(x)]=2(x+2)-3=2x+1

22

g[f(x)]=(2x-3)+2=4x_12x+11

例三：已知：f(x)=X2_x+3求：f(1)f(x+l)

X

解：f(?l)2」+3

XXX

f(x+1)=(X+1)2_(X+I)+3=X2+x+3

例四：課本P54例一

五、小結(jié)：從映射觀點出發(fā)的函數(shù)定義，符號f(x)

函數(shù)的三要素，復(fù)合函數(shù)

六、作業(yè)：《課課練》P48-50課時2函數(shù)(一)除.“定義域”等內(nèi)容

第三教時

教材：定義域

目的：要求學(xué)生掌握分式函數(shù)、根式函數(shù)定義域的求法，同時掌握表示法。

過程：

一、復(fù)習(xí)：

1.函數(shù)的定義(近代定義)2.函數(shù)的三要素

今天研究的課題是函數(shù)的定義域一自變量x取值的集合(或者說：原象的

集合A)叫做函數(shù)y=f(x)的定義域。

二、認(rèn)定：給定函數(shù)時要指明函數(shù)的定義域。對于用解析式表示的函數(shù)如果沒有

給出定義域，那么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量取

值的集合。

例一、(P54例二)求下列函數(shù)的定義域：

1?f(X)=———2f(x)=J3x42

x-2

解：要使函數(shù)有意義，必須：解：要使函數(shù)有意義，必須：

3x+20

x-20*2

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>_2

即x*2即X-3

.??函數(shù)f(x)=_L.的定義域是：；?函數(shù)」用釬的定義域

X-2

是：

(xIX*2}

3f(x)=Jx+1+—L

2-x

rx+1>0，x>-1

解：要使函數(shù)有意義，必須：<-

12-x#0：x*2

，函數(shù)f(x)=8+2的定義域是:{x|x2-1且X。?

例二、求下列函數(shù)的定義域:

&，3x4

1.f(x)=JvTT7r_1

2.f(

k+卜-2

解：要使函數(shù)有意義，必須:解：要使函數(shù)有意義，必須:

2

4>-1

x2-3x-420xN-4或x4—1

x+1-2X0X。-3且xH1

即：一43?X?73=>3域3-<x<-1或*4

?函數(shù)f(x)的定義域為:函數(shù)f(x)N-3x-的定義

|x+1-2

域為：

{XI-J3<X<y/3}{X|x>_3或_3<x4］或x24}

1

3.f(x)=---------

1

1+-----

1

1+

X

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解：要使函數(shù)有意義，必須：1+一二0=<

和一1

X1

〈11力一

"-r-*1o2

+—1

1X

，函數(shù)的定義域M：€x|x伴且4-廿，I

0

+（X1）

4

[+10'壬一X1

解：要使函數(shù)有意義，必須：<I=<

[II-*X01<x0

0

.??函數(shù).]|Jx1）的定義域%:STx-或<

5x0

+1

Wlyx-2I

33x7

€

I一1530_xR

解：要使函數(shù)有意義，必須*一一7

+y3x70=11X

3

時Xv7或一~X>7

33

“一］7

■函數(shù)J卜1:21的定義域為：\

|XR,x,

飛3x73

例三、若函數(shù)S-ax-Wx1的定義域是一切實數(shù),

求實數(shù)a的取值范圍。

a

f>0,

解：-ax2+飛立10恒成立，等價機(jī)=_2.a—<節(jié)〈停a2

aa-4a0

a

+_1_1

例四、若函數(shù)yf（x）的定義域為[1,1],求函數(shù)yT(x)一口)的定

44

義域。

L<+—<1\—<

爰一3

-1X1-/J不一<2—3

解：要使函數(shù)有意義，必須：4斗I4=4**x

-17111一S~x544

444

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函數(shù)yf(X=+1).f(X_」)的定義域為：|<X<2,

44,4~-4；

例五、設(shè)f(x)的定義域是[-3,y12],求函數(shù)f(J7—2)的定義域。

解：要使函數(shù)有意義，必須：-3<<7-2<^2得：-1x<^2<+

,/，工》00<yx<2+>/20雜化4超7

，函數(shù)f(「-2)的定域義為：{X|04X46+4￡}

三、小結(jié)：求(整式、分式、根式)函數(shù)定義域的基本法則。

四、P57習(xí)題2、21—3(其中1、3題為復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容)

《課課練》P49-50有關(guān)定義域內(nèi)容

《精編》P815P8215、16、17、18

第四教時

教材：函數(shù)的表示法，分段函數(shù)，區(qū)間。

目的：要求學(xué)生明確函數(shù)的三種表示方法，繼而要求學(xué)生掌握分段函數(shù)的概念

和區(qū)間的概念。

過程：

一、復(fù)習(xí)：函數(shù)的概念

提出課題：函數(shù)的表示法。

常用的函數(shù)表示法有三種：解析法、列表法、圖象法。

二、解析法：

定義：把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)

的解析表達(dá)式。

它的優(yōu)點是：關(guān)系清楚，容易求函數(shù)值、研究性質(zhì)。

例：加速度公式：s=Jgt2(如sJ

2

圓面積公式：A=7Rr2圓柱表面積：s=2rf

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)y=Jx-2(x22)

又例：y=x+1-x-3我們可用“零點法”把絕對值符號打開，即:

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-4x<-1

y=|+|-x|1-x|3~i=2x-2-Vx<3

I

4x>3

這一種函數(shù)我們把它稱為分段函數(shù)。

三、列表法：

定義：列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系。

它的優(yōu)點是：不必通過計算就能知道函數(shù)對應(yīng)值。

例：初中接觸過的平方表，平方根表，立方表，立方根表，三角函數(shù)表，

汽車、火車站的里程價目表等等。

又如：1984-1994年國民生產(chǎn)總值表。P52

四、圖象法

定義：用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系。

例：平時作的函數(shù)圖象：二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象。

又如：氣象臺溫度的自動記錄器，記錄的溫度隨時間變化的曲線（略）

人口出生率變化曲線（見P53）略

它的優(yōu)點是：直觀形象地表示出函數(shù)變化情況。

注意：函數(shù)的圖象可以是直線（如：一次函數(shù)）、曲線（如：拋物線），也可

以是折線及一些孤立的點集（或點）。

例四、例五、例六見P55-56（略）

（注意強(qiáng)調(diào)分段函數(shù)概念）

五、區(qū)間見課本P53-54

注意：1）這是（關(guān)于區(qū)間）的定義

2）今后視題目的要求，可用不等式、區(qū)間、集合表示（答案）

3）“閉”與“開”在數(shù)軸上的表示

4）關(guān)于“+8”“一8”的概念

六、小結(jié)：三種表示法及優(yōu)點練習(xí)：P56練習(xí)

七、作業(yè)：P57習(xí)題2、23,4,5,6

第五教時

教材：函數(shù)的解析式：《教學(xué)與測試》第17、18課

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目的：要求學(xué)生學(xué)會利用換元法、定義法、待定系數(shù)法等方法求函數(shù)解析式。

過程：

一、復(fù)習(xí)：函數(shù)的三種常用表示方法。

坦LV口5,,、°<0)f⑴匿M1)—=0；f(0)=7T

提問：1>已知f(x)=〈冗(x=0)貝IJ：-

f{f[f(1)}}

x+1(x>0)

2、已知f(x)=x2-1g(x)=、x+i求f[g(x)]

解：f[g(x)]=(+1)-1=x+2^T

二、提出問題：已知復(fù)合函數(shù)如何求

例一、(《教學(xué)與測試》P37例一)

1.若f(、/x*=x+2<X),^tf(x)o

+2.》

解法一(換元法)：令1=x1則X=t1,t1代入原式有

f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1/?f(x)=x2-1(X"1)

解法二(定義法)：x+2Jx=(+1)2-1,f(+1)=(&_f)2-1

vx+l"1f(X)=d1(X31)

2.若--)=」-求f(X)

x1-X

1_

解：令t=—則X=_(t9)則f(t)=—t—=-------

Xt1t_1

t

/.f(x)=1(x4)且xa

X-1

例二、已知f(x)=ax+b,且af(x)+b=ax+8求f(x)

解：(待定系數(shù)法)

'a?=9

af(x)+b=a(ax+b)+b=a“x+ab+b:.<

[ab+b=8

「a=31a=_3

解之|-或，--f(x)=3x+2或f(x)=，x4

b=2b=-4

例三、已知f(x)是一次函數(shù),且中(x)]=4x1,求f(x)的解析式。

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解：（待定系數(shù)法）設(shè)f（x）=kx+b則k（kx+b）+b=4xJ

'k2_4"k2fk__2

則《一=〈b_」或〈一一

l(k+1)b=-1l一-3?=1

1-

/.f(x)=2x__或f(x)__2x

3

(岸0)求f-f1)

例四、g(x)=1-2x,ffg(x)]=~s

X

(1-t)

1-43+2t-t2

解一：令-2x則x=±±

f(t)=-----------------5—=---------------------?

2(1-t)1-21+t

4

1

3+1__

________-15

「J

4

解二：令1_2x=一1則

24

三、應(yīng)用題：《教學(xué)與測試》思考題

例五、動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)順次經(jīng)過B、C、D再回

到A。設(shè)x表示P點的行程，y表示PA的長，求y關(guān)于x的函數(shù)。

解：如圖當(dāng)P在AB邊上運動時，PA=x

當(dāng)P在BC邊上運動時PA=+（x-1）

當(dāng)P在CD邊上運動時PA=4+（3-x）

當(dāng)P在DA邊上運動時PA=4-x

X_______(0?x〈1)

Jx2-2x+2(1<x<2)

Vx2-6X+10(2<x43)

4-x(3<x?4)

四、小結(jié)：幾種常見方法

五、作業(yè)：《教學(xué)與測試》P384、5、6、7、8

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《課課練》P493P508

補(bǔ)充:

1?設(shè)f/x-廣)婢x3,g(X4Xx,求f[g(x)]o

解：f(x+J_)=(x+J_)3_3(x+」)/?f(x)_x3_3x

XXX

2

g(X+-)=(X+工)2_2/.g(X)=X_2

XX

■[1642

,?fb(x)J=x—6x+9x-2

2.已知t(\=X+Ji+X2(x>0)求f(x)(T'1，x-)

XX

2

3.已知f(2x+1)=x-2x求f(X)

4.《精編》P316、7、8

第六教時

(若時間不夠，可將部分內(nèi)容延至第七教時)

教材：函數(shù)圖象；《教學(xué)與測試》第19課

目的：要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)解析式作出它們的圖象，并且能根據(jù)圖象分析函數(shù)的

性質(zhì)；同時了解圖象的簡單變換（平移變換和對稱變換）

過程：

一、復(fù)習(xí)：函數(shù)有哪三種表示方法？

今天主要研究函數(shù)的圖象。

二、例一、畫出下列函數(shù)的圖象。（《教學(xué)與測試》P39）

1y=fi)xxO^,2,32y=5c1--x

注意：由于定義域從而導(dǎo)致

函數(shù)圖象只是若干個孤立點。

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,10

(X+一)

2

3y=注意:先寫成分段函數(shù)再作圖。

|x|-x

1

xWII-1

解：定義域為《2=x<ofLx。一一

2

X演*0

強(qiáng)調(diào)：定義域十分重要。

三、例二、根據(jù)所給定義域，畫出函數(shù)y=x2-2x+2的圖象。

1XeR2xe(T,2]3xe(4,2]且XZ

y

、4

3

1

~2lOi23*X

四、關(guān)于分段函數(shù)的圖象

3x2-(x>0)

例三、已知f(x)=〈7Tf⑴,f(2)。

-1

2

解：f⑴=3X1：2=1

五、關(guān)于函數(shù)圖象的變換

1.平移變換研究函數(shù)y=f(x)與y=f(x+a)+b的圖象之間的關(guān)系

例四、函數(shù)V=(X41)2_2和丫=(x_4/+1的圖象分別是由v4函數(shù)的圖象

2

經(jīng)過如何變化得到的。

0

y=(x_JL)z+1

解:/21)將y=x2的圖象沿軸向左平移個單

x1

位再沿y軸向下平移2個單位得

y=(x+l)22的圖象;

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2)將y_x?的圖象沿X軸向右平移［今

2-2

單位再沿y軸向上平移1個單位得函數(shù)

12

y=(x--)+1的圖象。

小結(jié)：1將函數(shù)的圖象向左(或向右)平移|k|個單位(k>0向左，k<0

y=f(x)

向右)得y=f(x+k)圖象；

2.將函數(shù)y=f(x)的圖象向上(或向下)平移|4個單位(k>0向上,k<0

向下)得y=f(x)+k圖象。

2、對稱變換函數(shù)y=f(x)與y=?x)、y=f(-x)及y=-f(*)的圖象分別關(guān)于X軸、y軸、

原點對稱

例五、設(shè)f(x)=1.(x>0)作出y=_f(x)、y=f(一x)及y=f(刈的圖象。

橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都取

取相反數(shù)取相反數(shù)原來相反數(shù)

圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于原點對稱

3、翻折變換由函數(shù)y=f(x)的圖象作出y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象

例六、作出函數(shù)y=|x2-2x-1|及y=|x|2-2|x|-1的圖象。

解：分析1：當(dāng)x：2x1/-2_2x-1

當(dāng)x-2x-1<0時，y=-(x2-2x-1)

步驟：1.作出函數(shù)y=x2/x」的圖象

2.將上述圖象x軸下方部分以x

軸為對稱軸向上掣折(上方部分不

分析2：當(dāng)X，0時y=x2_2x-1

當(dāng)x<0時y=x2+2x-f即y=(-x)-2(-x)H

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y

步驟：1)作出y=X2-2x-1的圖象；

)y軸右方部分不變，再將右方部

分以y軸為對稱軸向左翻折，即得

y=|x|^2|x|-1的圖象。

X

小結(jié):將y=f(x)的圖象，x軸上方部分不變，下方部分以x軸為對稱軸向上翻

一折即得y=|f(x)|的圖象；

將y=f(x)的圖象，y軸右方部分不變，以y軸為對稱軸將右方部分向左

翻折即得y=f(|x|)的圖象。

六、作業(yè)：

《教學(xué)與測試》P407、8

《課課練》P533P549

《精編》P8324、25、26

2x52(x31

(第26題應(yīng)作啟發(fā)：y=-=_-^=_)

3-xx-3x-3

第七教時

教材：續(xù)函數(shù)圖象

目的：完成第六教時可能沒有完成的教學(xué)任務(wù)，然后進(jìn)行綜合練習(xí)。

過程：

例一、某學(xué)生離家去學(xué)校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余

下的路程。在下圖中縱軸表示離學(xué)校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下

解：A、C圖中t=0時d=0即該生一出家門便進(jìn)家門(與學(xué)校距離為0)

應(yīng)排除，B、D中因該生一開始就跑步與學(xué)校距離迅速減小。故應(yīng)選D。

例二、設(shè)M={x|0wxw2},N={y|0wyw2}給出下列四個圖形，其中能表示從集

合M到集合N的函數(shù)關(guān)系有幾個？

LLvhb

111

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

(A)(B)(C)(D)

解：(A)中定義域為[0,1](C)中值域[0,3]#N(D)中x的值(如x=1)

有兩個y值與之對應(yīng)，不是函數(shù)...只有(B)正確。

例三、討論函數(shù)y_二+7的圖象與y1的圖象的關(guān)系。(《精編》P79)

x+2X

癡,3x73x6-(11

解：y_---+--=----+-----_3+----

X+2x+2x+2

可由y=4"的圖象向左平移兩個單位得y=」!-的圖象，再向上平移三

xx+2

個單位得y=，+3的圖象。

x+2

例四、如圖為y=f(x)的圖象，求作y=-f(x),y=fjx),y=|f(x)|,y=f(|x|)的圖象。

作業(yè)：作出下列函數(shù)的圖象：

2

■1,4-x?(2?x40)門2,?

'-f(x)=422.y=x+2x|-3

Lx-1(0<xS2)

c7-4x.2..

3.y=----------4.y=x_2卜_3

x+4

第八教時

教材：函數(shù)的值域

目的：要求學(xué)生掌握利用二次函數(shù)、觀察法、換元法、判別式法求函數(shù)的值域。

過程：

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

一、復(fù)習(xí)函數(shù)的近代定義、定義域的概念及其求法。

提出課題：函數(shù)的值域

二、新授：

1.直接法(觀察法)：

例一、求下列函數(shù)的值域：1。v_X2Of(x)=51+&17

X+1

..1

解：10y__X__X1V_1__1—?-------#0，y)

x+1x-itx+1x+1

x

即函數(shù)y=-------的值域是{y|比R且辿1}

x+1

(此法亦稱部分分式法)

2''f(x)=5+-x?'V—x?[0,中

f(x)e[5,4=o)

即函數(shù)y=f(x)=5+J-x的值域是{y|y>5}

2.二次函數(shù)法：

例二、1°若口實數(shù)，求y=x2+2x+3的值域

解：由題設(shè)X》0I2X2

當(dāng)x=0時ymin=3函數(shù)無最大值v>

二函數(shù)y/x的值域是y丫？

=+2+3{|3}

2家函數(shù)y=2-74x-xz的值域

解：由4x*220得0wxw4

在此區(qū)間內(nèi)(4X-X2)max=4(4X-X2)min=0

，函數(shù)y=2-V4x-X。的值域是{y|0wyw2}

3.判別式法(△法)

z_+6

例三、求函數(shù)y的值域

x+x-6

解一：去分母得(y-.?2+(y+5)x_,沅=0(*)

當(dāng)yH1時Vx€RA△=(y+5)2+4(y-1)X6(y+1)&0

由此得(5y+1『二0

----+5

檢驗y=」時X=-5=2(代入(*)求根)

52

5

1

定義域{X|x*2且x*3}/.y*—

5

再檢驗y=1代入(*)求得x=2???y￡

人教版高中數(shù)學(xué)全部教案

26

綜上所述，函數(shù)y_X-5x+的值域為｛yl*1且

x2+x-6

y」｝

5

&力一必入、皿

解一：把un已-知ijp函數(shù)化為ip函數(shù)y「(x一2，)'(x_3')=x_3=1_6

(x-2)(x+3)x+3x-3

(X0由此可得yj

Vx=2時y=_1即y.」

55

2_+61

，函數(shù)y=xJ5x'的值域為｛y|#y上息~y｝

x+x-65

4.換元法

例四、求函數(shù)y=2x+4,一x的值域

解：設(shè)t=Jl-x貝It30X=1-t2

代入得yf(t212tt2tts

X

t>04

三、小結(jié)：

1.直接法：應(yīng)注意基本初等函數(shù)的值域

2.二次函數(shù)法：應(yīng)特別當(dāng)心“定義域”

3.△法：須檢驗

4.換元法：注意“新元”的取值范圍

四、練習(xí)與作業(yè)：

《課課練》P51-54中有關(guān)值域部分

《教學(xué)與測試》P41-42中有關(guān)值域部分

第九教時

教材：函數(shù)的單調(diào)性

目的：要求學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性的定義,并掌握判斷一些函數(shù)單調(diào)性的方法。能