中國海洋高校2007-2008學(xué)年第2學(xué)期期末考試試卷數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院《高等代數(shù)》課程試題(A卷)優(yōu)選專業(yè)年級優(yōu)選專業(yè)年級XXXXXXX學(xué)號姓名授課老師座號----------------裝----------------訂----------------線----------------考試說明：本課程為閉卷考試，可攜帶文具，滿分為：100分.題號一二三四五六七八總分得分一.推斷題(每題2分,共10分)1.線性空間V＝＋,則dim+dim=dimV.()2.特征向量的和仍是特征向量.()3.歐氏空間中不同基的度量矩陣是相像的.()4.一個線性變換的不變子空間之和仍是它的不變子空間.()5.全體階上三角矩陣對于矩陣的加法和數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間.()二(20分)已知,.求的特征值和特征向量,并求一正交陣使成對角形.三(20分)設(shè)是數(shù)域上形如的循環(huán)矩陣的集合，(1)證明:是線性空間的子空間.（2）證明:有.（3）求的維數(shù)和一組基.四(10分)設(shè)3階復(fù)數(shù)矩陣,，的若當標準形.授課老師命題老師或命題負責人簽字年月日院系負責人簽字年月日共2頁第2頁五(10分)證明：設(shè)為n級矩陣,是矩陣的最小多項式,則多項式以為根的充要條件是|.六(10分)設(shè)V是數(shù)域上的n維線性空間,是上的線性變換，且.證明:的值域與核都是的不變子空間.七(10分)設(shè)階矩陣,,求的最小多項式.八(10分)設(shè)是數(shù)域上線性空間上的線性變換,多項式互素,且滿意(零變換)求證：中國海洋高校XXXX-XXXX學(xué)年第X學(xué)期期末考試試卷學(xué)院《XXXXXXXX》課程試題(A卷)優(yōu)選專業(yè)年級XXXXXXX優(yōu)選專業(yè)年級XXXXXXX學(xué)號姓名授課老師座號----------------裝----------------訂----------------線----------------優(yōu)選專業(yè)年級XXXXXXX學(xué)號姓名授課老師座號----------------裝----------------訂----------------線----------------中國海洋高校2007-2008學(xué)年第2學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院《高等代數(shù)》試題(A卷)答案一.推斷題1.×2.×3.×4.√5.√二.解：=，，所以特征值為0，4（3重）.將特征值代入，求解線性方程組，得4個線性無關(guān)的特征向量（答案可以不唯一），再正交單位化，得4個單位正交向量：，，，.所以正交陣而.三.證：(1)驗證即可.(2)令，為循環(huán)陣，，(為階單位陣)則在上線性無關(guān).且，令有.，必上次多項式，使，反之亦真. (3)由上可知：是的一組基，且.四.解：A的行列式因子為,.所以，不變因子為,，初等因子為，因而A的Jordan標準形為五．證：：設(shè),或.所以,因而.因為為最小多項式，所以..六．證：在的核中任取一向量，則所以在下的像是零，即．即證明白是的不變子空間．在的值域中任取一向量，則.因此，也是的不變子空間．綜上，的值域