PAGE8平面向量三點共線性質(zhì)定理的推論及空間推廣平面向量三點共線定理的推論及空間推廣南昌外國語學(xué)校梁懿濤郵編：330025地址：江西省南昌市桃苑西路126號南昌外國語學(xué)校電話子信箱：liangyitao@一．問題的來源平面向量三點共線定理:對于共面向量,，則、、三點共線的充要條件是．二．問題的提出問題1.在上述定理中，如果、時，分別有什么結(jié)論？問題2.、有什么特定的意義嗎？問題3.上述問題可以推廣到空間嗎？三．問題的解決推論1.對于不共線向量,若，則（1）點在直線外側(cè)（不含點一側(cè)）的充要條件是．（2）點在直線內(nèi)側(cè)（含點一側(cè)）的充要條件是．證明：（1）必要性：如圖1-1，連OC交AB于點，則存在實數(shù)，使得，，，，．充分性：，存在，使得且．，在直線上，在直線外側(cè)．同理可證（2）．

進一步分析，得：推論.對于不共線向量,若，則（1）連接得直線，過點作平行于的直線，則、將平面分成三個區(qū)域，如圖1-2點落在各區(qū)域時，、滿足的條件是：（Ⅰ）區(qū)：；（Ⅱ）區(qū)：；（Ⅲ）區(qū)：．特別地，當(dāng)點落在上時，；當(dāng)點落在上時，．（2）直線、將平面分成四個區(qū)域，如圖1-3，則點落在各區(qū)域時，、滿足的條件是：（Ⅰ）區(qū)：；（Ⅱ）區(qū)：；（Ⅲ）區(qū)：；（Ⅳ）區(qū)：．證明略．推論2.若，，則，且當(dāng)，則點在線段上；當(dāng)，則點在線段的延長線上；當(dāng)，則點在線段的延長線上．證明：且，，，。當(dāng)時，與同向，如圖2-1所示，則點在線段上；當(dāng)時，與反向，且，如圖2-2所示，則點在線段的延長線上；當(dāng)時，與反向，且，如圖2-3所示，則點在線段的延長線上．推論3.點是所在平面上且與不重合的一點，若，則，，．證明：只證的情形，其它情形可類似證明．由得，，存在點使得，且，，，如圖3，，同理有，，命題得證．將以上結(jié)論拓展到空間，得：推論4.對于不共面的向量,若，則：（1）若，則點在平面上（空間向量基本定理）；（2）若，則點在平面的外側(cè)（不含點O一側(cè)）；（3）若，則點在平面的內(nèi)側(cè)（含點O一側(cè)）．證明：仿照推論1，略．推論5.對于不共面的向量，若，則（1），，；（2）；（3），，．證明：（1），，由推論3，可知結(jié)論成立．（2）由（1）得證．（3），同理可證，．推論6.已知四面體及與其頂點不重合的點，若，則．證明：只證的情形，其它情形可類似證明．由，得，令，則四點共面，由推論5，，又，如圖4，知，，同理可證，，，命題得證．四．結(jié)論的應(yīng)用1．（2006年湖南（理））如圖，∥，點在由射線，線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動，且，則的取值范圍是；當(dāng)時，的取值范圍是．解析：由推論1及推論，有，且當(dāng)，有，即．答案為：，（，）．2．（2009年安徽卷（理））給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為．如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動．若其中,則的最大值是________．解析：由推論3，，，設(shè)，，，，此時3．(2010年高考天津卷理)如圖，在中，，，則=．解析：，由推論2，得，．答案：．4．（2011屆黑龍江省哈爾濱三中高三10月月考理）如圖所示，兩射線與交于，下列向量若以為起點，終點落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的是.①；②；③；④；⑤．解析：由推論1及推論，可知的系數(shù)要滿足，適合的只有②．答案為②．5．（江西省十所重點中學(xué)2010屆高三第一次模擬理）設(shè)點在的外部,且,則=．解析：由推論3，可知=．5.（2011屆江蘇省南京師大附中高三學(xué)情調(diào)研）設(shè)點是內(nèi)一點（不包括邊界），且，則的取值范圍是.解析：由推論1及推論，可知滿足，表示點（）到的距離的平方，由線性規(guī)化知識可得所求的范圍為．6．（自編題）已知點與四面體，且，則．解析：由推論5，，可知．7．（自編題）已知點與四面體，且，則=.解析：由推論6，可知.8．（自編題）已知點是四面體內(nèi)一點（不包括邊界），且，則點滿足的概率是.解析：因