數(shù)學(xué)甘肅地區(qū)題型五與圓有關(guān)的證明與計(jì)算類型一與切線判定有關(guān)的證明與計(jì)算例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AB上一點(diǎn)，⊙O過(guò)B、D兩點(diǎn)，且分別交AB、BC于點(diǎn)E、F.(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半徑r.

【方法指導(dǎo)】1.證明圓的切線時(shí)，可分以下情況證明：(1)若已知條件給出圓與直線有公共點(diǎn)，只要證明圓心與公共點(diǎn)的連線與這條直線垂直即可，即“連半徑，證垂直”；(2)在已知條件中，未給出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，那么就應(yīng)自圓心向這條直線作垂線，再證明垂線段的長(zhǎng)度與半徑相等即可，即“作垂直，證半徑”.2．運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常作的輔助線有連接圓心與切點(diǎn).構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角為直角或構(gòu)造相似三角形，根據(jù)勾股定理或利用相似比求出相關(guān)線段長(zhǎng).(1)證明：如解圖，連接OD，BD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠90°，∴BD⊥AC.∵AB＝BC，∴AD＝DC，∵OC＝OB，∴OD∥AB，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線；3．(2017·鹽城)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交邊BC于點(diǎn)E，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點(diǎn)G.(1)求證：BC是⊙F的切線；(2)若點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別為A(0，－1)，D(2，0)，求⊙F的半徑；(3)試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(1)證明：如解圖，連接EF，∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠FEA，∴∠FEA＝∠EAC，∴FE∥AC，∴∠FEB＝∠C＝90°，即BC是⊙F的切線；類型二與切線性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算例2

(2017·北京)如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.(1)求證：DB＝DE；(2)若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半徑.(1)證明：∵AO＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵BD是⊙O的切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBE＋∠DBE＝90°，∵EC⊥OA，∴∠CAE＋∠CEA＝90°，∵∠CEA＝∠DEB，∴∠DBE＝∠BED，∴DB＝DE；

【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1．(2017·涼山州)如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC∥AD，BA、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E.(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑.(1)證明：如解圖，連接DO，∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.在△COD和△COB中，∵OD＝OB，OC＝OC，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO，∵BC是⊙O的切線，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°，又∵點(diǎn)D在⊙O上，∴CD是⊙O的切線；

(2)解：設(shè)⊙O的半徑為R，則OD＝R，OE＝R＋1，∵CD是⊙O的切線，∴∠EDO＝90°，∴ED2＋OD2＝OE2，∴32＋R2＝(R＋1)2，解得R＝4，∴⊙O的半徑為4.2．(2017·麗水)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，切線DE交AC于點(diǎn)E.(1)求證：∠A＝∠ADE；(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的長(zhǎng).

(1)證明：如解圖，連接OD，∵DE是切線，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠A＝∠ADE；(2)如解圖，連接CD，∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直徑，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切線，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20，解：(1)BC與⊙O相切.理由如下：連接OD，如解圖，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，